对《运用余弦定理解三角形的一类错误认识》一文的推敲及续谈

问题发现，推敲问题

文献[1]原文摘录如下：已知a，b和角B，常常可对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解，这样的观念是错误的.

笔者认为以上论断不正确，其实这种观念是正确的，文献[1]通过例2，例3两个具体题目，利用余弦定理都求出两个正解，例2得出三角形有两个解，而例3意在说明虽然有两个正解但是三角形却只有一个解，由此还应该结合条件利用三角形内角和定理，大边对大角等进行检验.笔者产生疑问，利用余弦定理判断三角形解的个数时，需要给定两边及其中一边的对角，而例2和例3所给的条件并不相同，例3中的“A=2B”并不等价于例2中的一个给定角度“B=60°”，若例3中的“A=2B”用此题求出的“cosB=35”替换后，才与例2题目类型相同，A=2B看似一个条件，实际上潜在蕴含了A，B之间的关系，一但求出B，A也就成已知了，无形中多了一个条件，由此通过例3的方程求解中有两个正根，三角形并非有两个解的推断是不合适的.

结论证明，续谈问题

结论：已知a，b和角B（强调条件是其中一边的对角，不能是其他的不等价条件），对角B应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程c2-2accosB+a2-b2=0（*）.

判别式Δ=（2acosB）2-4（a2-b2）化简得Δ=4（b2-a2sin2B），而三角形中sinB>0恒成立.

ⅰ若方程（*）有两个不等的正数解，则该三角形有两解；

ⅱ若方程（*）有一个正数解，则该三角形有一解；

ⅲ若该方程（*）无解或只有负数解，则该三角形无解；

证明：对于ⅰ，若方程有两个不等的正数解，则Δ>0得b>asinB，

设两个正根c1，c2，c1+c2=2acosB>0，c1·c2=a2-b2>0.

得B为锐角，且asinB

对于ⅱ，若方程有一个正数根，包括①方程有两个相等的正数根；②方程有一个正数根和一个负数根

①当方程有两个相等的正数根时，则Δ=0得b=asinBc1+c1=2acosB>0，c21=a2-b2>0，得B为锐角，且asinB=b

②当方程有一个正数根和一个负数根时，则Δ>0，得b>asinB，c1+c2=2acosB，c1·c2=a2-b2<0（a

对于ⅲ，当方程无解时，则Δ<0得b

当只有负数根时，则Δ>0得b>asinB，c1+c1=2acosB<0，c21=a2-b2>0，得B为钝角且a>b，三角形无解.

综上可知，结论是正确的，用方程的正数解来判断三角形解的个数勿庸置疑.

方程增根的几何解释

对于方程（*）有两个正根；无正根情况，对三角形解的个数而言，都能较易理解，而方程有一个正根，一个负根，三角形有一个解，这个负根（增根）的几何意义是什么？下面通过具体实例作几何解释，以便较好地理解.

实例一：在△ABC中，a=2，b=22，B=45°，求c.

解：由b2=a2+c2-2accosB，得c=2±6，如图1所示：作CH⊥BA于点H，作DH=HA，其中BH=2，HA=6，AB=2+6符合题意，而2-6=

-|DB|（增根）.

实例二：在△ABC中，a=2，b=22，B=135°，求c.

解：由b2=a2+c2-2accosB，得c=-2±6.作CH⊥BA于点H，作DH=HB，其中BH=2，HA=6，AB=-2+6符合题意，而-2-6=-|DA|（增根）.

结语

只要甄别好具体条件，运用余弦定理来辨别三角形解的个数，不存在任何争议，由此，可消除学生判断三角形解的个数的苦恼.对于给定两边及其中一边的对角，当角的余弦值已知时，用此法确实简便易行，但对于角的余弦值未知或不好求解时，笔者认为仍要用《解讨论》辨别三角形解的个数相对更适宜.

参考文献

[1]施元兰.运用余弦定理解三角形的一类错误认识[J].中学数学杂志，2014（11）：60-61.

作者简介孔德泉.男.1978年7月生，教育硕士，黑龙江省优秀教师，牡丹江市名优工程骨干教师，牡丹江市专家资源库中心成员，牡丹江市高中数学学科教学能手，牡丹江市百强岗位能手，致力于高考数学试题命制与解法研究.