剖析高考压轴题目，挖掘压轴命题规律

1问题的提出

对于准备考取名校的高三优秀学生来说，在准确解决高考中低档题目后，攻克高考压轴题就显得尤为重要.这就要求我们老师及时全面的研究各地高考压轴题，思考挖掘题中的命题规律，从而形成一些培养尖子生的方案.笔者研究了2014年安徽理科压轴题后，产生了一些想法，现把想法整理出来，希望对大家理解新课程理念，把握新课程内容，从容面对新课程下的高考有所帮助.

题目（2014年安徽卷理科21题）设实数c>0，整数p>1，n∈N*.

（1）证明：当x>-1且x≠0时，（1+x）p>1+px；

（2）数列{an}满足a1>c1p，an+1=p-1pan+cpa1-pn，证明：an>an+1>c1p.

2剖析典型高考题目，洞察压轴命题规律

题目第一问是选修45教材上的例题，证明贝努利（Bernouli）不等式，第二问则是应用贝努利不等式结论解决数列问题，体现了高考命题植根于教材又高于教材的特点.

2.1第一问解法剖析

本题第一问，教材中给出的是数学归纳法证明（略）.其实还有很多证法，不等式中的实数x和正整数p让我们联想到函数和数列，从而发现其它两种证法.

法一令f（x）=（1+x）p-1-px，x∈（-1，+∞），则f′（x）=p（1+x）p-1-p=p[（1+x）p-1-1]，易知f′（0）=0，所以x∈（-1，0）时，f′（x）<0，x∈（0，+∞）时，f′（x）>0，所以x∈（-1，+∞）且x≠0时，f（x）>f（0）=0，即（1+x）p>1+px.

法二只需证1+px1+xp<1.设bp=1+px1+xp，bp+1-bp=1+p+1x1+xp+1-1+px1+xp=1+p+1x-1+px1+x1+xp+1=-px21+xp+1<0，所以{bp}为单减数列，故p>1时，bp

在很多不等式证明的题目中，常常含有函数和数列的特征，那么构造函数和数列解决问题就不失一种好的方法，多角度看待问题很好地训练了学生的发散思维.

2.2第二问解法剖析

有了第一问的结论，我们就可以使用此结论证明第二问，这种搭设台阶逐步解题的方式也是高考命题中很重要的手段.

法一由条件和结论中的c1p，想到把问题拆成两步：an>c1p和an>an+1.

先用数学归纳法证明an>c1p，当n=1时显然a1>c1p；假设n=k时，不等式ak>c1p成立.要证ak+1>c1p，考虑到ak+1ak=p-1p+cpapk，只需证（ak+1ak）p=（p-1p+cpapk）p=（1+cpapk-1p）p>capk，因为apk>c，所以cpapk-1p∈（-1p，0）（-1，0），由贝努利不等式知：（ak+1ak）p>1+（cpapk-1p）×p=capk，所以ak+1>c1p.

再证an>an+1，由an+1an=p-1p+cpapn

用数学归纳法证明数列an大于常数这类问题往往需要很强的构造能力，如果没有贝努利不等式这个台阶，将很难达到以上目的.其实对于已知递推关系但难求通项的数列综合问题，运用函数的相关性质解题也是这类问题的重要方法.把数列递推关系看成函数an+1=f（an），即得f（x）=p-1px+cpx1-p，且f（c1p）=c1p（即c1p是不动点），此时由a1>c1p去推an>c1p，只需证f（x）在x∈（c1p，+∞）上单调递增即可.

法二设f（x）=p-1px+cpx1-p，x∈（c1p，+∞），所以xp∈（c，+∞），所以f′（x）=p-1p+c（1-p）px-p=p-1p（1-cxp）>0，所以f（x）在x∈（c1p，+∞）上单调递增，即x>c1p时，f（x）>f（c1p）=c1p.所以由a1>c1p推出a2=f（a1）>c1p，依次推得a3>c1p，…，an>c1p.证明an>an+1时同法一.

无独有偶，2007年湖北省压轴题也考了与贝努利不等式有关的题目（理科21题）：已知m，n∈N*，（1）用数学归纳法证明：当x>-1时，1+xn>1+nx；（2）对于n≥6，已知1-1n+3n<12，求证：1-mn+3n<12m，m=1，2，3，…；（3）求出满足等式3n+4n+…+n+2n=n+3n的所有正整数n.

把贝努利不等式从右向左应用易证（2），再由（2）的结论可证n≥6时（3）无解，只需特殊检验n<6时的情况即可.两题的命题思路有很多相似之处，命题规律已然显现：随着新课程标准的实施，部分大学高等数学的内容被引入高中教材，如贝努利不等式，再如选修22的导数内容（它使函数的研究范围扩展到很多超越函数）.同时随着高考命题自主化的深入，各地高考命题组中高校教师占很重要的地位，他们青睐于以高等数学为背景的问题，从高等数学与中学数学的交汇处命制题目，并通过搭设台阶的方式适当拓展延伸，这类试题既能开阔学生数学视野，又有利于高校选拔优秀人才，经常以压轴题的身份出现，从而达到提高高考区分度的目的.

3挖掘有高等数学背景的中学知识，掌握压轴命题方向

针对以高等数学为背景的命题的这种规律，高中教师在教学实践中要有意识地渗透一些高等数学与中学教材交汇的知识，将一些常见的、有价值的知识挖掘出来，让学生理解这些知识的发生发展过程，熟练掌握它们的一些简单应用，可以有效地提高学生的解题能力，可谓是高考成功的捷径.比如高中教材中《导数及其应用》一章就有很多可挖掘的点.

人教A版选修22教材32页有一习题：“证明不等式ex>1+x，（x≠0）”.本题与导数内容紧密相连，而且它与数列试题、特别是数列不等式放缩方面的试题颇有渊源，很值得我们挖掘，其实在高等数学泰勒展开式中很容易找到原型：ex=1+x+x22！+…+xnn！+…，当然我们没必要在教学中搬出泰勒展开式，只需要把它的一些特殊情况和变形拓展给学生.3.1掌握不等式ex>1+x，（x≠0）的证明和直接应用

结论可以扩展成：ex≥1+x（当且仅当x=0时取等号）.构造函数f（x）=ex-1-x易证之.在g（x）>0的前提下，对于含指数的ex·g（x）形式，可使用结论将其缩小成（1+x）g（x）.2012年山东理科压轴题就使用了类似的方法.

2012年山东理科22题：已知函数f（x）=lnx+kex（k为常数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.（1）求k的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意x>0，g（x）<1+e-2.

解法剖析只分析（3），k=1，g（x）=x2+xex（1x-1-lnx），当x≥1时，g（x）≤0，结论显然成立，当01+x知，g（x）

3.2掌握不等式ex≥1+x（当x=0时取等号）的几个自然对数变形结论

（1）在x>-1前提下对ex≥1+x两边取自然对数，得ln（1+x）≤x（当x=0时取等号）.两不等式本质上是相通的，合并可得ln（1+x）≤x≤ex-1，（x>-1）.

（2）对ln（1+x）≤x用x-1代换x得：lnx≤x-1（x>0），再用1x代换x整理得到lnx≥1-1x，（x>0），有时会使用xlnx≥x-1，（x>0）的形式.

（3）合并（2）中公式，即得1-1x≤lnx≤x-1（x>0），起到对lnx的放缩作用.

用以上结论，我们易证2013年全国课标卷Ⅱ理21题：已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（2）当m≤2时，证明f（x）>0.

解法剖析（1）易求m=1，f（x）=ex-ln（x+1），定义域为（-1，+∞），f′（x）=ex-1x+1，当x∈（0，+∞）时f′（x）=ex-1x+1≥x+1-1x+1=x（x+2）x+1>0，当x∈（-1，0）时，ex<1，1x+1>1，则f′（x）<0，综上f（x）在（-1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增.

（2）因为m≤2，x∈（-m，+∞），所以ln（x+m）≤（x+m）-1≤x+2-1=x+1≤ex，当x+m=1，

m=2，

x=0，时取等号，但x无解，所以等号取不到.所以，当m≤2时，f（x）>0.

4带有高等数学背景的问题同样也是自主招生命题的热点

随着国家对自主招生政策的调整，各地自主招生考试命题比较侧重对于数学的基本思想和解题方法的考查，而不是偏题怪题，重视思维的灵活性与发散性.特别值得注意的是带有高等数学背景的函数、不等式或数列问题也是自主招生考试的热点，2014年华约卷压轴题，也是考查了贝努利不等式和ex≥1+x的应用，只不过是放在一个题目同时考查，难度略高于高考压轴题.

2014年自主招生华约卷7题：已知n∈N+，x≤n，求证：n-n（1-xn）nex≤x2.

证法剖析首先把n-n（1-xn）nex≤x2变成n（1-xn）nex≥n-x2，由ex联想到ex≥1+x，直接证明不易证，调整ex=（exn）n≥（1+xn）n，两侧同乘以正数（1-xn）n，得（1-xn）nex≥（1-xn）n（1+xn）n=（1-x2n2）n，当-x2n2>-1即x2n>n-x2.综上知，n-n（1-xn）nex≤x2.

证法的成败关键在于ex放缩成（exn）n≥（1+xn）n和贝努利不等式的使用.所用知识都是带有高等数学背景的函数、不等式知识.2015年自主招生政策已经出台，教育部强调考核中笔试为1至2门，由于数学的重要地位，估计数学仍然会在笔试范围之内，老师在高考备考中及时对学生给以内容引领和方法指导，将会有效提高自主招生考试成绩.

参考文献

[1]洪恩锋，杨家岐.透过背景，衍生结论，巧破难关[J].中学数学，2014（8上）：80-81.

作者简介马启银，男，1975年9月出生，山东泰安人.主要从事中学数学课堂教学与解题研究.“国培计划（2013）”高中数学班学员，山东省泰安市优秀教师，泰山教坛英才.在各类省级报刊杂志上发表教育教学论文十余篇.