思路选择：审题、解题思维优化的价值取向

宫前长

教学要善于抓住审题、解题过程中的每一个环节，不要轻易放过如何一个“有价值”的思维机会，引导学生通过对比、分析，反复琢磨，积极寻找更多的思考视角，选择合理的、恰当的解题方案，为进一步提高课堂教学效果、寻找更好的教与学的方式、方法提供详实的资料.在学习了人教A版《数学》（必修五）的正弦定理、余弦定理等知识后，为了加强学生对数学知识的理解及应用能力的提高，笔者有意将某资料上的一道题作为例题.现就这道例题的审题、解题深层次的思维历程进行剖析，请各位同仁指导！

1问题提出

题目在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且cosA=13，若a=3，求bc的最大值.

设计意图此题涉及三角形的一边及对角的问题，自然需要考虑三角形的边角关系——正弦定理、余弦定理，题目难度不大，属于中档题.目的想考查学生对所学的数学知识的理解、领悟、以及能力方面的点点滴滴，并想从学生的数学作业的解答过程，尤其是对过程中每一步的数学表示的考查了解学生的审题思路、思维发展等情况，能及时的针对对学生在数学课堂中对待数学的情感、态度、价值观的生成进行准确的评价，唤起学生对数学的热爱，让学生从内心里深处感到每一道数学题目的解答都能够反映对数学认识的方法面面，提升学生对数学概念、数学例题和数学思想方法的重视度.

2多元化审题思维剖析

对于数学问题，选择好思考问题的角度，是解决问题的关键所在.思考问题的角度选择合理、恰当，就会容易形成解题思路和方法，也会得到优化的解题方法顺畅自如.深层次审题，必然会涉及到数学思想方法（数形结合、函数与方程、分类讨论和转化与化归等）的合理选择和灵活应用，才能够形成“简捷”的解题方案.下面从不同的视角进行思考和剖析：

（1）从配方法的视角剖析

题目条件给出角A的余弦值及边a，就想到余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，其中刚好隐含bc的结构，采用配方法得到bc=94-94（b-c）2的形式，将bc的最大值问题转化（b-c）2的最小值来处理，容易得到所求的最大值.

解法1若cosA=13，a=3，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得（3）2=b2+c2-2bc·13，配方、化简得bc=94-94（b-c）2，当且仅当b=c时，bc取得最大值94.

点评从解答过程看，侧重于由角转化为边之间的关系（3）2=b2+c2-2bc·13，再配方转化含（b-c）2的形式，处理的巧妙，很容易的找到了bc的最大值及取得最大值的条件是边b=c，即为等腰三角形.

（2）从函数的视角剖析

由于题目中给出了对边及对角的余弦值，要求bc的最大值，就想到用正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，将bc用已知条件表示出来，可以借用外接圆的半径来处理，或侧重于将边转化为角之间的关系bc=a2sin2A·sinB·sinC来处理，在化简过程中又用到了三角函数中的“两角和与差公式”的变形式子的应用，计算费时耗力.

解法2若cosA=13，则sinA=223，又a=3，设△ABC外接圆的直径为R，有2R=asinA=364，从而bc=4R2·sin2B·sin2C=278·（-12）[cos（B+C）-cos（B-C）]=2716[cosA+cos（B-C）]=2716[13+cos（B-C）]=916+2716cos（B-C）≤916+2716=94.即当B=C时，bc的最大值为94.

解法3若cosA=13，a=3，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得bc=a2sin2A·sinB·sinC=278·sinB·sinC=278·（-12）[cos（B+C）-cos（B-C）]=2716[cosA+cos（B-C）]=2716[13+cos（B-C）]=916+2716cos（B-C）≤916+2716=94.即当B=C时，bc的最大值94.

（3）从函数与不等式结合的视角剖析

根据题目条件，先想到余弦定理，由a2=b2+c2-2bccosA，恰好隐含bc的结构，采用配方、分离的方法，由于受习惯的影响，得到了和解法1的配方结果不同的形成bc=-98+38（b+c）2，促使进一步运用正弦定理、辅助角公式进行化简，便求得bc的最大值94.

解法4若cosA=13，a=3，则sinA=223，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得（3）2=b2+c2-2bc·13，配方、化简得bc=-98+38（b+c）2，由于-98<0，只有b+c取得最大值时，才能让bc最大.由正弦定理asinA=bsinB=csinC得b+csinB+sinC=asinA，从而b+c=asinA（sinB+sinC）=asinA（sinB+sin（A+B））=3（2sinB+cosB）=3·3sin（B+φ），其中tanφ=22，当sin（B+φ）=1时，b+c的最大值是3，故bc≤-98+38·9=94，即当sin（B+φ）=1（其中tanφ=22）时（或角B=π2-arctan22），bc取得最大值94.

点评从解答过程看，和解法1一样侧重于由角转化为边的关系（3）2=b2+c2-2bc·13，也采用了配方、转化成含（b+c）2的形式，给后续的化简带来了困难，采用正弦定理、辅助角公式等处理将问题转化为三角函数来进行解决，需要有较强的运算能力和转化与化归的综合能力.

（4）从重要不等式的视角剖析

依已知条件，侧重于将角转化为边，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，化简得（3）2=b2+c2-2bc·13，将b2+c2进行了不等的一次放缩变换转化，理由是（b-c）2≥0，化简为b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，取“=”），问题一下子简捷、明了，便轻易得到bc就取得最大值，这种方法是最简捷的，但技术处理的要求却比较高.

解法5若cosA=13，a=3，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，

得（3）2=b2+c2-2bc·13，又由b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，取“=”），化简得3≥2bc-2bc·13，即bc≤94，当且仅当b=c时，bc取得最大值94.

综上，我们将此题的理解及思路的形成，作了详细的说明，将bc的最大值问题转化为角度之间的关系、或转化为边之间的关系来处理的策略，方法有繁有简.大家也看到了他们对待数学问题的审题思维、严谨态度和解法处理方式，以及思考的视角范围，主要涉及三角函数、不等式和函数领域.

3深层次审题，寻求解题优化方案

3.1“三角问题”的几何特征剖析

对题目的条件：已知对边与对角，进行动态的几何图形分析，利用圆弧的性质，即在同圆中，同弧所对的圆周角相等.可以作△ABC的外接圆，记为⊙O，如图1所示，三角形的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，由于cosA=13，表明角A的大小是定值且恰好是边b、c的夹角，又知道a=3，bc的结构特点，自然就会联想到三角形的面积公式，S△ABC=12bcsinA，从而“bc的最大值”问题就转化为：求“△ABC的面积的最大值”问题.根据图1可知，三角形的边BC是定值，当顶点A在圆周上运动到点D（BD=DC）时，S△ABC能取到最大值.从而形成下面的解法：

图1图2解法6根据题意，作△ABC的外接圆，记为⊙O，如图1所示，三角形的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若cosA=13，则sinA=223，由S△ABC=12bcsinA得S△ABC=12bc·223，即bc=322S△ABC，这说明只要找到S△ABC的最大值就是bc的最大值.根据图1可知，△ABC的边BC是定值，当顶点A在圆周上运动到点D（BD=DC）时，S△ABC能取到最大值.由圆弧的性质可知∠D=∠A，如图2，设∠D=2α，过点D作BC的垂线，垂足为E点，此时DE是满足题意的BC边上最大的高，∠EDC=α，DE=EC·cotα，又cosA=13，sinA=223，即得tanA=22，根据二倍角公式tan2α=22，解得tanα=22（tanα=-2舍去），从而cotα=2，DE=32·2=62，S△ABC的最大值=12a·DE=12·3·62=324，故bc的最大值=322·324=94.

点评在上述解法6中，用平面几何作图进行解题，思路显得简单、明了.同时也说明bc取得最大值时的条件是题目所给的三角形是等腰三角形，即要求b=c，图形的直观分析很容易理解.但新教材对平面几何的学习要求降低了，学生对数学问题的几何作图意识比较薄弱，因此教学中要重视选修系列中的平面几何内容.只有这样，才能让学生对数形结合的数学思想方法得到深层次的理解.

3.2刻画“三角问题”的向量取向思考

对题目的条件：已知对边与对角，进行向量层面的思考，发现有AB+BC+CA=0，从而有AB+CA=-BC，平方、化简即可得到b2+c2-2bccosA=a2，余下的解答与前面的审题、解题方法一样（略）.

点评对于向量视角的思考，给学生指出审题思维的思考方向和方法，拓宽了学生学习数学的思路，为各个数学模块以及知识点的融会贯通做好了铺垫.

3.3深刻反思解法4，探究取得最大值的条件

上述解法中，bc取得的最大值是在△ABC的边b=c，或角B=C的条件下取得的.为什么唯独解法4中没有体现出来，只是找到了bc取得最大值时，此时sin（B+φ）=1（或者角B=π2-arctan22），这时能说明角B=C吗？前面的解法表明△ABC的边b=c，或角B=C，且有tanα=22所求得的α=arctan22，和A=2α，角A大小不变，只要计算出角C的大小，即计算C=π-B-A=π-π2+arctan22-2arctan22=π2-arctan22=B，即表明B=C.这充分显现出此题的几种求解过程中，每一种解法，均能够求得bc的最大值及取得最大值时角B、C的关系，消除了学生的疑惑.

4教学感悟

审题、解题的审视是数学课堂教学的重点.新课标教学提倡自然、探究和自主学习，强化学习主体的数学知识构建历程，通过观察、分析和探究追求数学思维的升华.

4.1追求数学问题的本质

审题、解题教学要从学生已有的知识出发，展开对题目条件和目标的深层次剖析，拓展学生思考问题的视角和多元思维取向，培养学生的思维习惯，不断地、自然地逼近数学本质，获得数学知识的理解和灵活应用.

本文是从一道例题谈解题教学中审题、解题思维深层次的剖析，主要是想追寻例题所蕴藏的本意（数学知识点、思想和方法），通过多视角、多方位的思考，点燃学生的数学思维火花，逐步地探究题目中的“宝藏”，达到对数学问题本质的理解和掌握.

4.2追求数学问题的本质

数学基础知识和方法是数学发展的根本.重视数学基本概念蕴含的开发价值，重点要做到充分挖掘数学基本概念中蕴含的数学思想、方法的教育价值，让学生养成“不断回到概念中去，从基本概念出发思考问题、解决问题”的思维习惯，并要加强概念之间的联系导引，努力从数学概念的联系中寻找解决问题的新思路、新方法，展现这些新思路、新方法是来源于数学的基本概念、基本方法之中，并非来自于“题型——技巧”.

43凸显数学操作，强化解题价值

解题教学遵循最近发展区理论，结合学生积极的数学思维活动以及对思考结果的验证，让学生在解题探究活动中领悟数学各种等价转化表征的魅力，进一步发展学生的推理论证能力和运算能力，让数学课堂的灵魂即数学思维活动真正得到提升，让数学思维的深度、交汇显示出课堂的灵气和活力，帮助学生经历解决问题、掌握问题的思路和操作方法的过程，形成主动探索、积极思考，强化解题价值取向，拓展思维的宽度和深度，构建解题模型，养成研究性的学习习惯，

总之，数学概念高度凝聚着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，是数学家智慧的结晶，蕴含着最丰富的数学创新教育素材，说明数学是用概念来思维的.数学教学中关注学生对数学问题的理解、探索是教学的一个重要环节，挖掘学生数学思维方法，从中分析学生对数学问题的认识、理解和深层次的剖析以及审视，通过自身的观察、归纳与类比、猜想与论证等思维活动，研究学生的学习方式，使数学教学真正回归自然、回归本真.