以旧“唤”新，精彩纷呈

郑燕平　张曜光

近日笔者有幸参加了本市教研室组织的第二届说题比赛，比赛分为三个环节：第一环节参赛教师自拟一个试题，并就该题的原创度、解法、背景、教学价值、引申与拓展等形成word电子文本；第二环节：提交“说题”书面稿一式10份（允许在一轮基础上有所修改，但不得换题，有修改的电子稿赛前重邮），就参赛教师自拟的试题，向评委解读并简要回答评委问题，时间每人15分钟；第三环节：先从现场抽取题目，封闭准备40分钟后，向评委解读并简要回答评委问题.通过比赛让人受益匪浅，说课作为一种时髦的校本教研活动，对于教育观念，教学方式的变革，对于教育理论的理解和掌握，对于教学的研究和反思无疑都是一种可取的有效途径.

说题的理解

“问题是数学的心脏”，这是美国当代数学家哈尔斯的话.没有好的问题就没有异彩纷呈的数学，没有好老师用好问题引领学生去学，就没有数学课堂的精彩.教师教的“有效”要通过“好题”的深入浅出，落实于学生学的“有效”上.

教师说题不能停留在“从解题角度看说题”这种浅表的意义上.从建构主义的学习理论上对说题给三条浅说陋见：一是从建构主义知识观的角度上看“说题”，你对题目所给出的答案不是该问题的最终答案，它必将随着学生认识程度的深入而不断变革、升华或改写，进而在学生的头脑中产生新的解释和假说；二是从建构主义的学习观角度上看“说题”，学习不是教师把知识简单传递给学生的过程，而是学生自己建构知识的过程，这里有“被动”和“主动”的重大差异.即便是你用所谓的“好题”做传输带，但你仅仅关注了自己的经验，而忽略了学生的经验，学生从你的传输带上也没啥东西可拿.因此，我们呈现的题目不应该是接力中的棒子，你的题目给的是“力”，学生接的是“力”，而非“接力棒”本身！三是从建构主义的教学观上看“说题”，我们选择的“好题”必须切中学生原有的知识经验，刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，进而形成新的知识经验.说题说到点儿上，这个点儿是度，即贴近学生的“最近发展区”.“说题”的内核不是“拿嘴拿题来说”，而是“用心用题去教”.

命题的背景分析

近三年（2012-2014）浙江省高考理科数学的压轴题都是考查函数与导数的综合题，有非常明显的特征：函数表达式都是纯粹的三次函数，含参数含绝对值，重点考查分类讨论与转化化归的思想.从2015年高考开始导数放入IB模块内容，压轴题怎么考？版本很多，以下的三种猜测可能性比较大：一、将圆锥曲线提到压轴题上；二、走2004—2008年的老路，数列与不等式的综合题“重出江湖”作为压轴题；三、撇开导数依旧走函数路线.

以上三种猜测，本人还是比较倾向于第三种，因为函数是高中数学的主线，二次函数又是主线的核心，从近三年的压轴题来看，很多时候导数也只是“跑龙套”的，只出现在三次函数的求导中之后就是二次函数的问题了，命题者完全可以不用三次函数直接用二次函数，或者也可以继续用三次函数但不用导数，可以利用代数基本定理等工具将其转化.二次函数问题是初中内容在高中的延伸，也是高中函数最重要的内容，试题变化多样，如即使考导数，也很多化为二次，还有解析中也有化为二次的.下面是我编拟的题目：

题目已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax2-2bx-a+b.

（1）证明：当0≤x≤1时，（ⅰ）函数f（x）的最大值为|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f（x）≤1对任意x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范围.

说题目立意

该题题干是含两个参数的二次函数形式，第一问有两小问，第一小问求二次函数在给定区间上的最大值，第二小问证明函数不等式.第二问是恒成立问题求参数的取值范围，主要考查分类讨论，数形结合，转化化归的思想方法；重在考查二次函数的最值讨论，按定义分类去绝对值，构造函数证明不等式，线性规划等高中数学核心知识要点.

说试题解法

（1）第一小题第一小问

（ⅰ）解法1因为a>0，b∈R，所以二次函数f（x）=4ax2-2bx-a+b开口向上，对称轴为x=b4a，当b4a≤12即b≤2a时，f（x）max=f（1）=3a-b；

当b4a>12即b>2a时，f（x）max=f（0）=-a+b；

所以f（x）max=3a-b，b≤2a

-a+b，b>2a=|2a-b|+a.

解法2因为a>0，b∈R，所以二次函数f（x）=4ax2-2bx-a+b开口向上，f（x）max=max{f（0），f（1）}=max{-a+b，3a-b}=3a-b，b≤2a

-a+b，b>2a=|2a-b|+a.

归纳小结本题中二次函数在给定区间上的最值问题，二次函数的开口定，对称轴不定，解法1按对称轴与区间的中点分类讨论，解法2按最大值肯定在区间端点取到的情形进行分类，此问只要审题清楚，条件a>0不疏忽，应该不难解决.

第一小题第二小问

（ⅱ）解法1按定义去绝对值：当b≤2a时，

令g（x）=f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2a，

（Ⅰ）当b≤0时，此时对称轴x=b4a≤0，，g（x）min=g（0）=2a>0；

（Ⅱ）当00.

当b>2a时，

令F（x）=f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2b-2a.

（Ⅰ）当2a

F（x）min=g（b4a）=2b-2a-b24a=-14a[（b-4a）2-8a2]，因为2a0.

（Ⅱ）当b>4a时，此时对称轴b4a>1，F（x）min=F（1）=2a>0.

综上：f（x）+|2a-b|+a≥0.

解法2（ⅱ）当b≤2a时，

f（x）+|2a-b|+a=4ax2-2bx+2a≥4ax2-4ax+2a=2a（2x2-2x+1）；

当b>2a时，

f（x）+|2a-b|+a=4ax2+2b（1-x）-2a≥4ax2+4a（1-x）-2a=2a（2x2-2x+1），令g（x）=2x2-2x+1=2（x-12）2+12>0，故f（x）+|2a-b|+a≥2a·g（x）≥0.

归纳小结解法1是按对称轴与区间关系分类讨论求二次函数的最小值，思路比较简单，但分类比较麻烦，解法2是先通过放缩，转化为同一个函数的判断正负问题，过程比较简单但放缩技巧有一定难度.无论是解法1还是解法2，解题中都体现了将不等式证明问题化归为函数最值的化归思想.由f（x）+|2a-b|+a≥0是否意味着f（x）的最小值是-|2a-b|-a，从证明过程看，-|2a-b|-a一定取不到.

第二小题：

（2）解法1由（ⅰ）知，当0≤x≤1，f（x）max=|2a-b|+a，所以|2a-b|+a≤1.

若|2a-b|+a≤1，则由（ⅱ）知f（x）≥-（|2a-b|+a）≥-1.

所以-1≤f（x）≤1对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是|2a-b|+a≤1，

a>0，即2a-b≥0，

3a-b≤1，

a>0，或2a-b<0，

b-a≤1，

a>0.（*）

在直角坐标系aOb中，（*）所表示的平面区域为如右图所示的阴影部分三角形ABC内部，其中不包括线段BC，作一组平行直线a+b=t（t∈R），得-1

解法2由（1）知，当0≤x≤1时，|f（x）|≤|2a-b|+a，

所以|f（x）|≤1对任意0≤x≤1恒成立的充要条件是|2a-b|+a≤1

a>0，后续同上

归纳小结本小问的解决主要是建立在第（1）问的基础之上，分析问题中注意线性规划的数形结合思想，解题时要有“回头看”的意识，对学生综合能力的考查要求较高.

说数学思想方法

数学思想：分类讨论（分类标准的选择）、转化与化归（注意反思第一问对第二问的作用）、数形结合（注意挖掘线性规划求范围的数形结合思想）；

数学方法：二次函数最值的求解；构造函数证明不等式；恒成立问题的转化；线性规划求双变量问题的范围.

说试题背景来源

该试题的背景来源于2012年浙江省高考数学理科第22题：已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.

（1）证明：当0≤x≤1时，（ⅰ）函数f（x）的最大值为|2a-b|+a；（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f（x）≤1对任意x∈[-1，1]恒成立，求a+b的取值范围.

虽然本人只是将题干中的函数最高次的“3”改成了“2”，瞬间将三次函数问题变成了二次函数问题，不需要用到导数知识，此类二次函数问题实属原创，网上找不到同类的问题，不仅直接就改变了试题所考查的内容，更重要的是提供了高三复习的压轴题的一个方向，我们只要将某些三次函数试题进行适当改编就可以形成全新的函数试题，让人耳目一新，在高三高考复习教学中有一定的指导意义.

说问题变式与拓展

对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手，一是对题目的条件加以变式、二是对题目的结论加以变式.基于以上想法，我主要从以下几个方面对试题加以变式.

问题变式1已知a>0，b∈R，函数f（x）=2ax2-2bx-a+2b，证明：当0≤x≤1时，函数f（x）的最大值为|a-b|+b.

变式意图改变函数的表达式，说明此类问题有研究价值，有“生长点”.

问题变式2已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax2-2bx-a+b≥0对任意x∈[-1，1]恒成立，求a，b满足的关系.

变式意图其实函数f（x）=4ax2-2bx-a+b=4a（x-12）（x+12-b2a）恒过定点（12，0），所以2a=b.挖掘不变量是解题的重要突破口，也是解题的出发点.

问题变式3已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax2-2bx-a+b，若|f（x）|≤1对任意x∈[0，1]恒成立，求a2+b2的最大值.

变式意图改变题目的待求结论并且少了第一问的铺垫，试题难度立马增加，说明难易度可“伸缩”，容易控制难易度.

问题变式4设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.

问题变式5若函数f（x）=x2+2ax+b在（1，2）上有两个不同的零点，求a+b的取值范围.

变式意图“恒成立”问题改为“存在性”问题.

问题拓展1（2014年浙江理6）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且0

A.c≤3B.3

C.69

问题拓展2已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则a2+b2的取值范围是.

问题拓展3函数f（x）=x3+ax2+bx+c，满足f（-1）=-1，f（3）=3，则f（1）+f（1+22）=.

问题拓展4若有且只有一个正方形，其四个顶点都在曲线y=x3+ax上，求实数a的值及正方形的面积.

拓展意图虽然表达式是三次函数但可以根据代数基本定理转化为二次函数或一次函数的问题，当然也可以直接利用消元的思想来解决.

从“说课”到“说题”，不但不是退步，反而是最大的进步！一脚迈进课的最深处，入微了，没有了“探”的束手束脚，直接进入了“究”的境界，因而，“说题”应该成为教师常态的“探究”活动.

“说题”之“说”，不是教师的“单口”，而是课堂上的“对口”甚至“群口”.我们引领学生对问题进行评价，这样，我们教师就给学生引荐了更贴身的老师——问题，这就是“以题为师”的理念.

“教”的归宿是“学”！课靠“教师教”来支撑，但课的生命是“学生学”的律动！“学会”是天、“会学”是地，对于教师而言，“教”的意义就是让学生感悟——“立地”方可“顶天”！“有效教学”中的“有效”一定要通过学生学的“有效”来实现，也许，“好的问题”是两个“有效”之间的最短距离.“说题”中的“题”要精选，这个“题”，应该是“一只产金蛋的母鸡”，不要扼杀它！

作者简介郑燕平，1983年生，浙江省金华市婺城区白龙桥镇人，中共党员，中学一级教师.先后被评为校优秀班主任，优秀共产党员，市、校先进工作者，曾在地、市级开设公开课、观摩课.曾荣获金华市首届教师基本功比赛一等奖，金华市第二届说题比赛一等奖，有多篇论文发表.