关于（N）模糊积分的Chebyshev型不等式

岳田

摘要 通过对被积函数添加适当条件，得到了（N）模糊积分意义下的Chebyshev型不等式，然后在次可加模糊测度条件下分别给出了被积函数取大和相加的相应不等式的形式.

关键词Chebyshev型不等式；（N）模糊积分；次可加模糊测度

中图分类号O159文献标识码A文章编号10002537（2015）01008604

自从Sugeno引进模糊测度和模糊积分[1]的概念后，许多学者通过使用特殊的算子代替模糊积分中的取小算子，得到很多其他形式的模糊积分.如杨庆季[2]定义了泛积分，宋晓秋[3，4]定义了（T）模糊积分，刘万利[5]由一维情形推广到多维情形，赵汝怀[6]用普通的乘法代替取小运算得到（N）模糊积分，王震源[7]对相关模糊测度和积分理论进行了综合论述.

作为一种分析手段，积分不等式在理论分析和应用领域中发挥了重要作用，例如文献[8]，积分不等式在时间序列计算中扮演很重要的角色.根据实际问题的需要，很多学者将经典的积分不等式推广到了模糊积分中，详见文献[912].

论文的目的是研究（N）模糊积分下的Chebyshev型不等式.在研究任意模糊测度空间意义下的（N）模糊积分下的Chebyshev型不等式的基础上，进一步得到其他几个和次可加模糊测度相关的Chebyshev型不等式.

1预备知识

定义11[8] 设（Ω，）是可测空间，若集合映射μ：→R+满足：

（1） μ（）=0；

（2） 若E，F∈且EF，则μ（E）≤μ（F）；

（3） 若{En}，E1E2…，则limn→∞μ（En）=μ（∪∞n=1En）；

（4） 若{En}，E1E2…，μ（E1）<∞，则limn→∞μ（En）=μ（∩∞n=1En）.

那么，称μ为模糊测度，称（Ω，，μ）为模糊测度空间.

记Fα={x∈X：f（x）≥α}={x∈X：f≥α}.容易得到，若α≤β，则FβFα.记M+为非负可测函数.

定义12[6] 设（X，，μ）是模糊测度空间，A∈且f∈M+，则f在非空集合A上的（N）模糊积分定义如下：

（N）∫Afdμ=∨α≥0[α·μ（A∩Fα）]，

其中∨为取大算子，·为普通乘法.

由于（N）模糊积分是一种非线性积分，因此通常情况下，

（N）∫（af+bg） dμ≠a（N）∫fdμ+b（N）∫gdμ.

下面简单列出文章证明过程中所要用到的（N）模糊积分性质，相关的性质可参考文献[6].

性质11设（X，，μ）是模糊测度空间，f，g∈M+且A，B∈，则

（1） （N）∫Akdμ=k·μ（A）， 其中，k为任意非负实值常数.

（2） 若f≤g，则（N）∫Afdμ≤（N）∫Agdμ；

（3） 若AB，则（N）∫Afdμ≤（N）∫Bfdμ.

2（N）模糊积分下的Chebyshev型不等式

Lebesgue积分下的Chebyshev型不等式为

μ（{x∈X：f（x）≥c}）≤1c2∫Xf2dμ.

其中f为非负可积函数，c>0.

由于Lebesgue积分是一种线性积分，Lebesgue积分下的Chebyshev型不等式很容易证明.事实上，取X={x∈X：f（x）≥c}则

∫Xf2dμ=∫Xf2dμ+∫X-Xf2dμ≥∫Xf2dμ≥∫Xc2dμ=c2·μ（X）.

然而，下面一个反例可以说明（N）模糊积分下Chebyshev型不等式不成立.

例1若μ是X上的模糊测度，取f（x）=3对任意x∈X都成立，则

μ（{x∈X：f（x）≥9}）≤μ（{x∈X：f（x）≥3}）.

证取X={x∈A：f（x）≥9}，由性质（1）和（3）得

19（N）∫Xf2dμ=19（N）∫X9dμ=μ（{x∈X：f（x）≥9}）≤3·μ（{x∈X：f（x）≥3}）=（N）∫Xfdμ.

下面，通过增加限制条件给出（N）模糊积分下Chebyshev型不等式.

定理21（（N）模糊积Chebyshev型不等式）. 若μ：→[0，∞）是模糊测度，0

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1c2（N）∫Af2dμ.

证取A={x∈A：f（x）≥c}. 因为0

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤μ（{x∈A：f（x）≥c2}），

由性质11，得

（N）∫Af2dμ≥（N）∫Af2dμ≥（N）∫Ac2dμ=c2·μ（A），

因此

μ（A）≤1c2（N）∫Af2dμ.

即

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1c2（N）∫Af2dμ.

注若μ：→[0，∞）是X上的模糊测度，且f（x）=1对任意x∈X都成立，当c=1有

μ（{x∈X：f（x）≥1}）=112（N）∫Xf2dμ=（N）∫X12dμ.

下面，由推论的形式给出（N）模糊积分下的Markov不等式.

推论21若μ：→[0，∞）是模糊测度，0

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1c（N）∫Afdμ.

证因为f≥0且0

μ（{x∈A：f（x）≥c}）=μ（{x∈A：f（x）≥c}），

由定理21得

μ（{x∈A：f（x）≥c}）=μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1（c）2（N）∫A（f（x））2dμ=1c（N）∫Afdμ.

我们将上述结论进行推广，得到如下结论成立.

定理22若μ：→[0，∞）是模糊测度，f：X→[0，∞）μ可测.在（0，∞）上g：[0，∞）→[0，1]是单调不减函数且g≠0， 则对任意A∈，c>0有

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1g（c）（N）∫Agfdμ.

证因为A∈，c>0，取A={x∈A：f（x）≥c}， 由于g是单调不减函数，所以对x∈A，g（f（x））≥g（c），由性质（1），（2），（3）有

（N）∫Agf（x）dμ≥（N）∫Agf（x）dμ≥（N）∫Ag（c）dμ=g（c）·μ（A）.

即

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1g（c）（N）∫Agfdμ.

定义21设（Ω，）是可测空间，模糊测度满足条件：

μ（A∪B）≤μ（A）+μ（B），

其中（A∪B）∈，A∈，B∈，称μ为次可加测度.

在测度满足次可加条件下，我们得到下面一些结论.

定理23若μ：→[0，∞）是满足次可加条件的模糊测度， 0

μ{x∈A，max（f，g）（x）≥c}≤（1c（N）∫Afdμ）+（1c（N）∫Agdμ），

其中max（f，g）（x）=max（f（x），g（x））.

证因为{x∈A：max（f，g）（x）≥c}{x∈A：f（x）≥c}∪{x∈A：g（x）≥c}，

由模糊测度的次可加条件和定理22，得

μ（{x∈A，max（f，g）（x）≥c}）≤μ（{f（x）≥c}∪{g（x）≥c}）≤μ（{f（x）≥c}）+

μ（{g（x）≥c}） ≤（1c（N）∫Afdμ）+（1c（N）∫Agdμ）.

推论22若μ：→[0，∞）是模糊测度且满足次可加条件，0

μ{x∈A：max1≤i≤n（fi）（x）≥c}≤1c∑ni=1（N）∫Afidμ.

当可积函数是两个非负可积函数之和时，得到下面定理.

定理24若μ：→[0，∞）是模糊测度满足次可加条件，0

μ{x∈A，f（x）+g（x）≥c}≤（2c（N）∫Afdμ）+（2c（N）∫Agdμ）.

证因为f+g≤2max（f，g）， 由定理 3，得

μ{x∈A：f（x）+g（x）≥c}≤μ（{x∈A：2max（f，g）≥c}）=μ（{x∈A：max（f，g）≥c2}）≤

2c（N）∫Afdμ++2c（N）∫Agdμ.

推论23若μ：→[0，∞）是模糊测度满足次可加条件， 0

μ{x∈A，∑ni=1（fi）（x）≥c}≤nc∑ni=1（N）∫Afidμ.

参考文献：

[1]SUGENO M. Theory of fuzzy integral and its application[C].Tokyo： Tokyo Institute of TechnoIogy， 1974：130.

[2]YANG Q J. Pan Integrals on fuzzy measure space [J]. Fuzzy Math， 1985，2（3）：107114.

[3]SONG X Q， PAN Z. Fuzzy algebra in triangular norm system [J]. Fuzzy Set Sys， 1998，93（3）：331335.

[4]宋晓秋.关于（T）模糊积分的讨论[J].中国矿业大学学报， 1992，21（1）：97104.

[5]LIU W L， SONG X Q， ZHANG Q Z. A new kind of triangular integrals based on Tnorms and Tconorms [J].Fuzzy Inf Eng， 2012，1（1）：1327.

[6]赵怀如.（N）模糊积分[J].数学评论与进展， 1981，1（2）：5557.

[7]WANG Z Y， KLIR G J. Generalized measure theory [M]. New York： Springer， 2008.

[8]ZKAN U M， SARIKAYA M Z， YILDIRIM H. Extensions of certain integral inequalities on time scales [J]. Appl Math Lett， 2008，21（10）：9931000.

[9]FLORESFRANULICˇ A， ROMNFLORES H. A Chebyshev type inequality for fuzzy integrals [J]. Appl Math Comput， 2007，190（2）：11781184.

[10]ROMNFLORES H， FLORESFRANULICˇ A， CHALCOCANO Y. The fuzzy integral for monotone functions [J]. Appl Math Comput， 2007，185（1）：492498.

[11]ROMNFLORES H， FLORESFRANULICˇ A， CHALCOCANO Y. A Jensen type inequality for fuzzy integrals [J]. Inform Sci， 2007，177（15）：31293201.

[12]CABALLERO J， SADARANGANI K. Chebyshev type inequality for Sugeno integrals [J].Fuzzy Set Sys， 2010，161（10）：14801487.

（编辑胡文杰）