（D4，D4）等变分歧问题的性质

郭瑞芝　肖香莲

摘要研究状态变量和分歧参数均以紧致Lie群D4为对称群的等变分歧问题在接触等价下的代数性质，给出了（D4，D4）不变函数芽环εz，λ（D4，D4）的Hilbert基，得到了（D4，D4）等变映射芽所构成的模z，λ（D4，D4）的生成元以及（D4，D4）不变函数芽环上的矩阵值映射芽所构成的模Ez，λ（D4，D4）的生成元，由此得到在接触等价下等变分歧问题切空间的生成元，并对切空间进行讨论分析得出其余维数的一个估计.

关键词等变分歧问题；轨道切空间；余维数

中图分类号O192文献标识码A文章编号10002537（2015）01007605

On Properties of Equivariant Bifurcation Problems with （D4，D4）Symmetry

分歧理论是对具有多重解的方程（包括代数方程、微分方程等）的研究.简单地说，所谓分歧理论指的是方程解的个数随参数的变化而变化.而分歧理论与奇点理论有着密切关联，Golubitsky和Schaeffer于1979年发表的两篇论文[12]引入了应用奇点理论的方法研究分歧问题的思想.Gaffney在文献[3]中曾指出，对分歧问题进行分类所使用的主要工具来自光滑映射芽奇点理论中的相关技巧.由于在自然科学中提出的不少问题呈现出某种对称性，对称性反映在数学中可用群来刻画，因此在奇点理论中考虑等变映射芽.相应地在分歧理论中研究等变分歧问题时，通常以紧致Lie群作为分歧问题的对称群.在应用奇点理论方法与群论方法研究分歧问题方面，文献[4]概括了1988年以前的主要研究成果.文献[5]研究了等变分歧问题的识别问题，文献[6]给出了余维为7的含有一组状态变量的等变分歧问题的分类.之后人们研究了分歧参数带有对称性的等变分歧问题，文献[7]研究了含两个分歧参数的等变分歧问题的分类与识别.当然也有些学者研究了某些状态变量和分歧参数都带有对称性的等变分歧问题.文献[8]给出了余维数不大于3的

（D3，O（2））等变分歧问题的分类和识别，文献[9]给出了余维数不大于2的（D4，S1）等变分歧问题的分类与识别，文献[10]讨论了（D6，Z2）等变分歧问题的识别问题.

受上述工作的启发，本文讨论的是状态变量和分歧参数的对称群都为紧Lie群D4的等变分歧问题，得到（D4，D4）不变函数芽环εz，λ（D4，D4）的Hilbert基；（D4，D4）等变映射芽构成的模z，λ（D4，D4）的生成元，（D4，D4）不变函数芽环上的矩阵值映射芽所构成的模Ez，λ（D4，D4）的生成元；（D4，D4）等变分歧问题切空间TK（f，D4，D4）和幂单切空间TU（f，D4，D4）的表达形式，并对等变分歧问题余维数进行估计.

湖南师范大学自然科学学报第38卷

第1期

郭瑞芝等：（D4，D4）等变分歧问题的性质

1基本概念

设紧Lie群Γ线性地作用在Rn上，紧Lie群Δ线性地作用在Rk上.光滑函数芽f：（Rn×Rk，0）→R称为（Γ，Δ）不变的，如果f（γx，δλ）=f（x，λ），x∈（Rn，0），λ∈（Rk，0），γ∈Γ，δ∈Δ.记所有这种函数芽所成之集为εx，λ（Γ，Δ）.显然，εx，λ（Γ，Δ）是具有单位元的交换环.另外，记μx，λ（Γ，Δ）={f∈εx，λ（Γ，Δ）|f（0）=0}，则μx，λ（Γ，Δ）是εx，λ（Γ，Δ）的唯一极大理论.如果光滑映射芽f：（Rn×Rk，0）→Rn满足：f（γx，δλ）=γf（x，λ），x∈（Rn，0），λ∈（Rk，0），γ∈Γ，δ∈Δ，则称f为（Γ，Δ）等变映射芽，其中x=（x1，…，xn）称为状态变量，λ=（λ1，…，λk）称为分歧参数.将所有这样的等变映射芽所成之集记为x，λ（Γ，Δ）.若映射芽f∈x，λ（Γ，Δ）满足：f（0，0）=0，（Dxf）（0，0）=0，其中Dxf表示f对x求导，则称f为状态变量以Γ为对称群，分歧参数以Δ为对称群的等变分歧问题，简称为等变分歧问题.令Gl（n）表示所有n阶非退化方阵构成的集合，设矩阵值映射芽S：（Rn×Rk，0）→Gl（n），满足S（γx，δλ）γ=γS（x，λ），x∈（Rn，0），λ∈（Rk，0），γ∈Γ，δ∈Δ，则称其是等变的，记所有这种矩阵值映射芽构成的集合为Ex，λ（Γ，Δ）.由文献[11]知，x，λ（Γ，Δ），Ex，λ（Γ，Δ）均为有限生成的εx，λ（Γ，Δ）模.

设l为非负整数，记μlx，λ（Γ，Δ）={f∈εx，λ（Γ，Δ）|f关于x，λ直到（l-1）阶偏导数在原点的值均为0}，lx，λ（Γ，Δ）={f∈x，λ（Γ，Δ）|f关于x，λ直到（l-1）阶偏导数在原点的值均为0}.显然，x，λ（Γ，Δ）=x，λ（Γ，Δ）∩μlx，λ·ε×nx，λ.类似地，记ελ（Δ）={Λ：（Rk，0）→R|Λ（δλ）=Λ（λ），λ∈（Rk，0），δ∈Δ}，λ（Δ）={Λ：（Rk，0）→Rk|Λ（δλ）=δΛ（λ），λ∈（Rk，0），δ∈Δ}，则λ（Δ）是有限生成的ελ（Δ）模.

记LΓ（Rn）为（Rn，0）上所有Γ等变线性映射芽组成的向量空间，LΓ（Rn）0为LΓ（Rn）∩GL（n）中包含单位元的连通分支，K（Γ，Δ）={（S，X，Λ）|S∈Ex，λ（Γ，Δ），X∈x，λ（Γ，Δ），Λ∈λ（Δ）}，其中S（0，0）∈LΓ（Rn）0，（DxX）（0，0）∈LΓ（Rn）0，（DλΛ）0∈LΔ（Rk）0，规定其乘法运算为：（S2，X2，Λ2）·（S1，X1，Λ1）（x，λ）=（S2（x，λ）·S1（X2（x，λ），Λ2（λ）），X1（X2（x，λ），Λ2（λ）），Λ1Λ2（λ）），易证K（Γ，Δ）在上述乘法运算下构成一个群，称为接触等价群.群K（Γ，Δ）在x，λ（Γ，Δ）上的作用定义为：（S，X，Λ）·f（x，λ）=S（x，λ）f（X（x，λ），Λ（λ）），记f的轨道为K（Γ，Δ）·f.

定义11设f，g∈x，λ（Γ，Δ），若f，g在同一轨道中，则称f与g是K（Γ，Δ）等价的，并记为f～g.

由定义知，f～g的充要条件为存在Φ∈K（Γ，Δ），Φ=（S，X，Λ），使得：f（x，λ）=S（x，λ）g（X（x，λ），Λ（λ））.若还有Λ≡id（Rk），则称f与g是K（Γ，Δ）强等价的.

定义12轨道K（Γ，Δ）·f在f处的切空间TK（f，Γ，Δ）和限制切空间分别定义为：

TK（f，Γ，Δ）={S·f+（Dxf）X+（Dλf）Λ|S∈Ex，λ（Γ，Δ），X∈x，λ（Γ，Δ），Λ∈λ（Δ）}，

RTK（f，Γ，Δ）={S·f+（Dxf）X|S∈Ex，λ（Γ，Δ），X∈x，λ（Γ，Δ）}.

易证RTK（f，Γ，Δ）是一个有限生成的εx，λ（Γ，Δ）模，而TK（f，Γ，Δ）一般不是这种模.

定义13若dimRx，λ（Γ，Δ）/TK（f，Γ，Δ）<+∞，则称分歧问题f∈x，λ（Γ，Δ）为有限余维的，此时记Codim f=dimRx，λ（Γ，Δ）/TK（f，Γ，Δ）.

由文献[11]知，若f是有限K（Γ，Δ）余维的，则f是有限K（Γ，Δ）决定的，因此存在非负整数l，使得p∈lx，λ（Γ，Δ），有f+p∈K（Γ，Δ）·f这意味着p是“高阶顶”，在寻找f的标准形时可以略去.记

P（f）={p∈lx，λ（Γ，Δ）|g+p～f，g～f}，即P（f）是f的所有“高阶项”组成的集合.

定义14εx，λ（Γ，Δ）的理想I称为内蕴的，是指g∈I及（Rn×Rk，0）上的坐标变换（x，λ）→（X（x，λ），Λ（λ）），有g（X（x，λ），Λ（λ））∈I，其中X∈x，λ（Γ，Δ），Λ∈λ（Γ）.

x，λ（Γ，Δ）的子模M称为内蕴的，是指f∈M，Φ∈K（Γ，Δ），有Φ·f∈M.设Vx，λ（Γ，Δ）是一个向量子空间，记ItrV为包含在V中的极大内蕴子模.

参照文献[11]，可以证明下面的命题.

命题11对任意g∈x，λ（Γ，Δ），P（g）是x，λ（Γ，Δ）的内蕴子模.

参照文献[9]，将等价群K（Γ，Δ）分解成幂单等价群U（Γ，Δ）和线性等价群S（Γ，Δ）.

定义15令S（Γ，Δ）=LΓ（Rn）0×LΓ（Rn）0×LΔ（Rk）0，定义映射：

π：K（Γ，Δ）→S（Γ，Δ），（S，X，Λ）→（S（0，0），（DxX）（0，0），（DλΛ）0）

为K（Γ，Δ）中的元到其线性部分的投影.容易证明，π是满同态，其核

U（Γ，Δ）={（S，X，Λ）∈K（Γ，Δ）|S（0，0）=In，（DxX）（0，0）=In，（DλΛ）0=Ik}，

为K（Γ，Δ）的正规子群.经计算，轨道U（Γ，Δ）·f在f处的幂单切空间为

TU（f，Γ，Δ）=RTU（f，Γ，Δ）+{（Dλf）Λ|Λ∈λ（Δ），（DλΛ）0=0k×k}，

其中RTU（f，Γ，Δ）={S·f+（Dxf）X·f|S∈Ex，λ（Γ，Δ），X∈x，λ（Γ，Δ），S（0，0）=0k×k，（DxX）（0，0）=0k×k}，这里0n，0k分别表示n×n，k×k零矩阵.由文献[11]中的命题38可得：

命题12对任意g∈x，λ（Γ，Δ）具有有限余维，则P（g）ItrTU（g，Γ，Δ）.

2（D4，D4）等变分歧问题的性质

设f：（R2×R2，（0，0））→R2是（D4，D4）等变分歧问题，将R2

瘙 綇 上的作用为：（ξ，θ）（z，λ）=（eiξz，eiθλ），（ξ，κ）（z，λ）=（eiξz，），（κ，θ）（z，λ）=（，eiθλ），（κ，κ）（z，λ）=（，），其中ξ=θ=2π/4，κ是翻转.

定理21（D4，D4）不变函数芽环εz，λ（D4，D4）的Hilbert基为u=z，v=z4+4，x=λ，y=λ4+4，w=（z2-2）（λ2-2），于是可将εz，λ（D4，D4）等同于εu，v，x，y，w.

证任意多项式g（z，λ）可以写成下列形式：

g（z，λ）=∑aαβγδzαβλγδ，aαβγδ∈

瘙 綇 .（1）

因为g（z，λ）是实数，则g（z，λ）=g（z，λ），故aαβγδ=aβαδγ.又由于g是不变的，于是g（，）=g（，eiθλ）=g（eiξ，z，）=g（eiξ，z，eiθλ）=g（z，λ），将（1）代入得若干等式，比较各等式两边系数并整理得

aαβγδ=aβαγδ，当α-β=4k，或γ-δ=4m时；

-aαβδγ，当α-β=4k+2，或γ-δ=4m+2时；

0，其他情况.（2）

其中k，m为整数.将式（2）代回到式（1）并注意到z4m+4m，λ4m+4m，z4k+2-4k+2，λ4k+2-4k+2，（z6-6）（λ6-6），均可以表示成u，v，x，y，w的形式.直接验证可知z，z4+4，λ，λ4+4，（z2-2）（λ-2）是（D4，D4）不变多项式，由文献[11]得命题31结论成立.

同理可证下面定理.

定理22z，λ（D4，D4）中的每一个g可表示为

g（z，λ）=p（u，v，x，y，w）z+q（u，v，x，y，w）3+r（u，v，x，y，w）（λ2-2），（3）

其中p，q，r：R5→R为（D4，D4）不变函数芽.由此可知，不变函数芽环上的有限生成模x，λ（D4，D4）的生成元为z，3，（λ2-2），在不变坐标下以[p，q，r]表示g.

瘙 綇 .由等变性，有

S（z，λ）ω=S（，）=e-iθS（eiθz，eiθλ）eiθω=S（，eiθλ）ω=e-iθS（eiθz，）eiθω.（5）

将式（4）代入（5）各式得若干等式，比较各等式两边系数并整理得

aαβγδ=aαβδγ，α-β=4k或δ-γ=4m；

-aαβδγ，α-β=4k+2或δ-γ=4m+2；

0，其他情况.

bαβγδ=bαβδγ，α-β-2=4k或δ-γ=4m；

-bαβδγ，α-β-2=4k+2或δ-γ=4m+2；

0，其他情况.

其中k，m为整数.将上述系数特点代入式（5）并注意到式中各项z4k，4k，z4k+2，4k-2，4m+2-λ4m+2，z4k+4，4k-4，z4，6-λ6均可以表示成1，4，z2（λ2-2），z2，2λ2-2和相应的w，的积的线性组合，组合系数是εu，v，x，y，w的元素，因此可得Ex，λ（D4，D4）的生成元为：

S1ω=ω，S2ω=4ω，S3ω=z2（λ2-2）ω，S4ω=z2，S5ω=2，S6ω=（λ2-2）.

定理24设f∈x，λ（D4，D4）是（D4，D4）等价分歧问题，则f处的切空间为

TK（f，D4，D4）=RTK（f，D4，D4）+ελ（D4）{g10，g11}，（6）

其中

RTK（f，D4，D4）=εz，λ（D4，D4）{g1，g2，g3，g4，g5，g6，g7，g8，g9}，（7）

g1=[p，q，r]，g2=[pv+2qu3+ruw，0，0]，g3=[pw+2ru（y-2x2）-quw，0，0]，

g4=[2pu+qv-rw，0，0]，g5=[qu2，p，-ru]，g6=[-r（y-2x2）+qw，0，p+qu]，

g7=[2puu+4pvv+2pww+2qwuw+2rwu（y-2x2），2q+2quu+4qvv-2rw（y-2x2），

-2qwv+4qwu2+2ruu+4rvv]，

g8=[2qu2+rw+puv+2pvu3-2pwuw+ruuw-2rwu2（y-2x2），

quv+8qvu3-2qwuw-ruw+2rwu（y-2x2），2ru+2ruu2+8rvu3]，

g9=[-puw+2pwu（y-2x2）+4qvu2w-ruu（y-2x2）-qw，

4pvw+2pw（y-2x2）-quw+4qwu（y-2x2）+ru（y-2x2），

4pvv-8pvu2+2pww+8qvu3-4qvuv-4qvuv-4uq+4rvuw+4rwu（y-2x2）].

g10=[pxx+2pyy+pww，qxx+2qyy+qww，rxx+2ryy+rww+r]，

g11=[pxy+8pyx3+2pxx2+4pyxy，qxy+8qyx3+2qxx2+4qyxy，rxy+8ryx3+2rxx2+4ryxy].

证因为s1f=[p，q，r]，s2f=4[p，q，r]=[pv+qu3+ruw，-pu，ru2]，

s3f=[pw+ru（y-2x2），0，pu+qu2]，s4f=[pu+qv-rw，-qu，-ru]，

s5f=[qu2，p，-ru]，s6f=[-r（y-2x2）+qw，0，p+qu].

由文献[10]，对任意z，x∈C，（Dzf）X=fzX+f，而

（Dzf）z=[p+2puu+4pvv+2pww+2qwuw+2rwu（y-2x2），

3q+2quu+4qvv-2rw（y-2x2），r-2qwv+4qwu2+2ruu+4rvv]，

（Dzf）3=[3qu2+rw+puv+8pvu3-2pwuw+ruuw-2rwu2（y-2x2），

p+quv+8qvu3-2qwuw-ruw+2rwu（y-2x2），ru+2ruu2+8rvu3]，

（Dzf）（λ2-2）=[-puw+2pwu（y-2x2）+4qvu2w-r（y-2x2）-ruu（y-2x2），

4pvw+2pw（y-2x2）-quw+4qwu（y-2x2）+ru（y-2x2），

p+4pvv-8pvu2+2pww+8qvu3-rqvuw-3uq+4rvuw+4rwu（y-2x2）].

令g1=s1f，g2=s2f+us5f，g3=s3f-us6f，g4=s4f+us1f，g5=s5f，g6=s6f，g7=（dzf）z-s1f，g8=（dzf）3-s5f，g9=（dzf）（λ2-2）-s6f，则式（7）成立.令g10=12（dλf）λ，g11=（dλf）3+x（dλf）λ，则式（6）成立.

定理25设f∈x，λ（D4，D4）是（D4，D4）等变分歧问题，则f处的幂单切空间为：TU（f，D4，D4）=RTU（f，D4，D4）+ελ（D4）{xg10，yg10，g11}，其中RTU（f，D4，D4）=εz，λ（D4，D4）{ug1，vg1，xg1，yg1，wg1，g2，g3，g4，g5，g6，ug7，vg7，xg7，yg7，wg7，g8，g9}.于是TK（f，D4，D4）=TU（f，D4，D4）+R{g1，g7，g10}.

证对任意S∈Ez，λ（D4，D4），X∈z，λ（D4，D4），则S，X可以写成

S=A1S1+A2S2+A3S3+A4S4+A5S5+A6S6，X=X1z+X23+X3（λ2-2），（8）

其中A1，Xj∈εu，v，x，y，w，i=1，2，…，6，j=1，2，3.由S的定义有A1（0，0）=0.那么εz，λ（D4，D4）模{S∈Ez，λ（D4，D4）|S（0，0）=02}的生成元为：us1，vs1，xs1，ys1，ws1，s2，s3，s4，s5，s6，εz，λ（D4，D4）模{Sf|S∈Ez，λ（D4，D4），S（0，0）=02}的生成元为：ug1，vg1，xg1，yg1，ug1，vg1，xg1，yg1，wg1，g2，g3，g4，g5，g6.由（8）第二式有X1（0，0）=0.那么εz，λ（D4，D4）模{（Dzf）X|X∈z，λ（D4，D4），（DzX）（0，0）=02}的生成元为：（Dzf）（uz），（Dzf）（vz），（Dzf）（xz），（Dzf）（yz），（Dzf）（wz），（Dzf）3，（Dzf）（λ2-2）.又（Dzf）（uz）=ug7+ug1，同理（Dzf）（vz）=vg7+vg1，（Dzf）（xz）=xg7+xg1，（Dzf）（yz）=yg7+yg1，（Dzf）（wz）=wg7+wg1，（Dzf）3=g8+s5f=g8+g5，（Dzf）（λ2-2）=g9+s6f=g9+g6，这样可得限制幂单切空间RTU（f，D4，D4）.因为对任意Λ∈（D4），有Λ=Λ1λ+Λ23，有Λλ（0）=Λ1（0），Λ（0）=0.因此Λ1（0）=0.于是ελ（D4）模{（Dλf）Λ|Λ∈（D4），（DλΛ）0=02}的生成元为：（Dλf）（xλ），（Dλf）（yλ），（Dλf）3，且（Dλf）（xλ）=2xg10，（Dλf）（yλ）=2yg10，（Dλf）3=g11-2xg10，因此结论成立.

定理26等变分歧问题f的余维数大于3，即codim f>3.

证令φ=[μ2u，v，w，x，y+〈v，w，y〉，μu，v，w，x，y，μu，v，w，x，y]，通过具体验证可得RTU（f，D4，D4）φ，ελ（D4）{xg10，yg10，g11}φ.由Nakayama引理，将RTU（f，D4，D4）的生成元截去高阶项后表示成φ的生成元的形成，且表示矩阵的秩小于φ的生成元的个数，所以TU（f，D4，D4）=RTU（f，D4，D4）+ελ（D4）{xg10，yg10，g11}φ，于是f的余维数不大于φ+R{g1，g7，g10}的余维数.经过计算可知φ+R{g1，g7，g10}在z，λ（D4，D4）中的补空间的基为[1，0，0]，[0，1，0]，[0，0，1].因此结论成立.

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（编辑胡文杰）