基于四元数矩阵奇异值的目标特征提取与识别

孙永健 穆贺强 程 臻 付 莹

（1.北京无线电测量研究所，北京100854；2.空军预警学院，湖北武汉430019；3.中国航天科工集团第二研究院，北京100854）

基于四元数矩阵奇异值的目标特征提取与识别

孙永健1，2穆贺强1程 臻3付 莹2

（1.北京无线电测量研究所，北京100854；2.空军预警学院，湖北武汉430019；3.中国航天科工集团第二研究院，北京100854）

在弹道中段，目标的微动差异是识别弹头和诱饵的有效特征.但目标微动特征参数的提取往往受到目标平动补偿精度、雷达装备工作状态和环境等因素的限制，进而导致目标识别率降低.首先建立了基于四元数的弹头与诱饵微动模型，将目标的微多普勒时频像视为彩色图像，并将彩色图像用四元数矩阵模型描述.根据奇异值向量的稳定性和旋转不变性，提出了基于四元数矩阵奇异值分解和支持向量机的弹道目标微多普勒特征提取与分类识别方法.仿真结果表明：四元数矩阵奇异值构成的特征向量比基于Hu矩的特征向量更加有效；提高信噪比，有助于提高分类器的目标识别率；目标径向速度估计误差的增大，会降低分类器的目标识别率；增大雷达的脉冲重复频率可以明显提高目标的正确识别率.

目标识别；特征提取；微多普勒；四元数矩阵；奇异值分解

引 言

弹道导弹弹道中段，诱饵等通常以相同的速度伴随弹头在大气层外飞行，这对弹道目标的分类识别提出了严峻挑战，使其成为反导拦截的关键技术难题和研究热点.文献［1］提取目标高分辨距离像（High Resolution Range Profile，HRRP）特征，基于核匹配追踪理论，采用直觉模糊C-均值聚类算法对目标进行分类识别，但HRRP的平移敏感性、姿态敏感性和幅度敏感性［2］会影响特征的稳定性和聚类效果.随着诱饵技术的快速发展，仅基于常规雷达的目标特性很难从诱饵中识别出真弹头，必须挖掘目标的精细特征.自旋稳定的弹头在外部分离力量的作用下会产生进动.根据动量守恒定律，弹头微动将趋于稳定的进动，直至其再入大气层.［3］.而重诱饵将因为缺少姿态控制单元产生摆动.由微动产生的微多普勒可以看作目标的唯一特征，为中段目标识别提供了可靠依据［4－5］.近年来，微多普勒效应及其在雷达目标识别领域的应用研究已成为热点［6－9］，但一般情况下很难直接获得精确的目标微多普勒特征参数.文献［10］从弹头和诱饵的微动模型出发，利用目标二维时频像的Hu不变矩［11］构造目标特征矢量进行分类识别，但目标高速平动会使微多普勒产生平移、折叠和倾斜，破坏微多普勒的结构.因此，必须首先进行平动径向速度补偿处理［12－13］.实际中，由于雷达工作状态、系统偏差、量测噪声和自然环境的影响，很难实现目标径向速度的精确补偿，进而导致微多普勒参数的提取精度下降.当信噪比低至一定程度时，微多普勒结构将完全被斑点噪声破坏，因此无法实现特征参数提取.

针对上述问题，文章提出了基于四元数矩阵奇异值分解（Quaternion Matrix Singular Value Decomposition，QMSVD）和支持向量机（Support Vector Machine，SVM）的弹道目标微多普勒特征提取与分类识别方法.该方法把目标的微多普勒时频像看作彩色图像，并用四元数矩阵进行描述，选取四元数矩阵的较大奇异值构成特征向量，采用SVM分类器对弹头和诱饵目标进行分类识别.进一步分析了处理后信噪比、目标径向速度估计误差和雷达脉冲重复频率（Pulse Repetition Frequency，PRF）对目标识别率的影响.仿真结果表明：四元数矩阵奇异值构成的特征向量比基于Hu矩的特征向量更加有效；提高信噪比，有助于提高分类器的目标识别率；在相同信噪比下，基于QMSVD的分类器较基于Hu矩的分类器具有较高的识别率.目标径向速度补偿误差的增大，会降低分类器的目标识别率.增大雷达的PRF可以明显提高目标的正确识别率.

1 四元数复矩阵表示及其奇异值分解定理

四元数是爱尔兰数学家和物理学家William Rowan Hamilton于1843年建立的数学概念，是继复数之后又一新数系.随着计算机图形学和机器人定位等技术领域的发展，四元数越来越受到人们的重视.

四元数是由1个实数单位1和3个虚数单位i、j、k组成的包含4个实元的超复数，其形式为［14］

记四元数集合为H.令v＝（x，y，z），四元数可分为标量和矢量两部分为

由此可以看出，实数x可以用四元数表示为q＝（x，0）.向量v可以表示为四元数q＝（0，v），称为纯四元数.四元数运算法则可参见文献［15］.

作映射σ：H→C2×2，

C2×2，可以证明σ是同构映射，即H≌C2×2.因此，四元数q可用C2×2中的二阶复方阵唯一表示.

设A＝C1＋C2j∈Hm×n（C1，C2∈Cm×n），是A在复数域C上的分解式［16］，则称

为四元数矩阵A的复表示矩阵.

定理1 若A∈Hm×nr，则存在酉矩阵U∈Hm×n，V∈Hm×n，使得［17］

式中：符号“＊”表示共轭转置；Σ＝diag（σ1，σ2，…，σr，0，0，…，0）∈Rm×n，σ1≥σ2≥…≥σr为矩阵A的r个非零奇异值.

2 基于四元数的弹道目标微多普勒模型

2.1 弹头微多普勒模型

如图1所示，用来描述弹头微动的三个坐标系分别为雷达坐标系（U，V，W）、参考坐标系（X，Y，Z）和目标本体坐标系（x，y，z）.参考坐标系与雷达坐标系平行.在目标本体坐标系内，原点O为弹头质心，且弹头关于Oz轴对称.假设弹头在围绕对称轴Oz自旋的同时还围绕向量O′C锥旋.O′为Oz与O′C的交点.rc＝（0，0，z0）T为点O′在目标本体坐标系内的坐标，自旋轴单位向量s＝rc／‖rc‖，则自旋的四元数可表示为

式中：θs＝2πfst为t时刻的自旋角度；fs是自旋频率.

同理，其锥旋轴单位向量c＝［cosαccosβc sinαccosβcsinβc］，锥旋的四元数表示为

式中：θc＝2πfct为t时刻的锥旋角度；fc为锥旋频率.若点P在参考坐标系内的坐标可以表示为V＝（0，r0），则其t时刻的位置四元数为

其微多普勒频率表达式为

式中：

2.2 诱饵微多普勒模型

诱饵摆动模型如图2所示，点O为质心.诱饵在向量O′z与向量O′C确定的平面内摆动.摆动角度可表示为θw＝θw（t）＝θmsinωwt.其中θm为摆动角度范围，ωw＝2πfw表示摆动的角速度，fw为摆动频率.诱饵对称轴在本体坐标系中的初始单位向量w＝（0，0，1），其对应的旋转四元数为

设rb0为散射点P在参考坐标系内的初始位置向量，其对应的四元数坐标为V＝（0，ATrb0），AT为过渡矩阵，且为正交阵.则t时刻其在参考坐标系内相应的四元数坐标为

式中，操作符vec（·）表示取四元数的矢量数组.所以其微多普勒频率可表示为

3 基于QMSVD的弹道目标分类与识别

本文将目标微多普勒时频像视为彩色图像，并采用四元数矩阵模型对其进行描述.以四元数矩阵奇异值作为目标的微多普勒特征，利用SVM分类器对目标进行分类识别.

3.1 基于QMSVD的微多普勒时频像特征提取

假设已完成目标回波的高速平动补偿，对补偿后的数据进行脉冲压缩，再利用短时傅里叶变换得到目标的彩色微多普勒二维时频像.

1996年，Pei等首先提出将四元数模型应用于彩色图像［18］.一幅彩色图像中每个像素都是由红（R），绿（G），蓝（B）这三种基本颜色按一定的比例组合而成的.这样，我们就可以用一个纯四元数

q（x，y）＝r（x，y）i＋g（x，y）j＋b（x，y）k（17）来表示彩色图像的任一点（x，y）处的像素q（x，y），其中r（x，y），g（x，y）和b（x，y）分别表示图像在（x，y）处的红、绿、蓝色的灰度值.因此，目标的二维时频像就可以表示为一个m×n的纯四元数矩阵：

根据定理1，矩阵A的奇异值分解存在.文献［19］已经证明，奇异值向量具有稳定性、旋转不变性、平移和镜像变换不变性等性质，因而奇异值是一种比较理想的图像分类特征量.奇异值计算步骤为：1）求出A的复表示矩阵Aσ；

2）求出复矩阵AσHA的特征值，λ1＝λ′1，λ2＝λ′2…，λr＝λ′r，λr＋1＝λ′r＋1＝…＝λn＝λ′n＝0；其中H为对矩阵的共轭转置操作.

3）计算矩阵Aσ的奇异值，Σσ＝diag（σ1，σ2，…，σr，0，…，0，σ′1，σ′2，…，σ′r，0，…，0），其中σi＝λi，σ′i＝＝1，2，…，r；

4）构造奇异值特征向量.A的奇异值为Σ＝diag（σ1，σ2，…，σr，0，…，0）.根据奇异值分解的去噪理论，当图像受到噪声污染时，前p个较大的奇异值主要反映信号，较小的奇异值主要反映噪声.因此，去除这部分反映噪声的奇异值，就可以去除信号中噪声的影响.取前p个较大奇异值的最大值为σmax＝max（σ1，σ2，…，σp），构造归一化特征向量

3.2 SVM分类器

SVM［20］是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势.

SVM的思想可以概括为：通过非线性变换将输入空间变换到一个高维空间，然后就这个新空间中求取最优线性分类面.而这种非线性变换是通过定义适当的核函数实现的，用核函数

代替最优分类平面中的点积XTiXj，相当于把原特征空间变换到了某一新的特征空间.高斯函数是常用的核函数之一，定义为

相应的分类函数为

式中：Xn∈RM是已知类别的M维特征向量；yn∈｛1，－1｝是Xn的类别值；αn为Lagrange系数；Xk为支持向量；X为待分类特征向量.

4 计算机仿真与分析

仿真假设相控阵雷达的工作频率为5.5GHz，宽带系统与窄带系统交替工作，窄带系统负责目标跟踪，宽带信号用来对目标分类和识别.弹道目标质心在雷达坐标系内的初始坐标为（0，－100 000，－200 000），旋转轴O′C的方位角和俯仰角分别为αc＝50°和βc＝60°，初始Euler角（φ，θ，ψ）＝（30°，40°，30°）.假设弹头和诱饵的质心位于z0＝－1.三个等效散射点在目标本体坐标系中的坐标分别为P0（0，0，0.6），P1（0.3，0.4，－0.5）和P2（－0.3，－0.4，－0.5）.以上所有长度单位均为米.设弹头自旋频率fs＝4Hz，锥旋频率fc＝2Hz，诱饵摆动频率fw＝4Hz，摆动角度范围θm＝10°.

图3和图4分别给出了宽带脉冲重复频率（Pulse Repetition Frequency，PRF）为1 024Hz，脉冲压缩处理后信噪比7dB，目标平动精确补偿情况下，弹头和诱饵的微多普勒时频像.从其对应的四元数矩阵奇异值中选取的特征向量如图5所示.由图可知，弹头和诱饵所对应的奇异值是明显可分的.

4.1 信噪比对识别率的影响

雷达系统在实际工作中必须保证窄带系统对多批目标的跟踪数据率，时间资源是有限的，一般分配给宽带系统的时间资源相对较少.下面的仿真中取宽带系统PRF为128Hz.这必将导致弹头和诱饵的微多普勒频率发生模糊，而且微多普勒像的分辨力会显著降低.

为了保证仿真结果的普适性，首先将所有弹头和诱饵的特征向量构成随机样本集.然后采用产生随机数的方法随机抽取样本的20%作为训练样本对分类器进行训练，将其余样本作为测试样本.运用Monte Carlo实验方法，将分类实验进行100次.

图6给出了目标平动速度补偿误差为零时，处理后信噪比与目标识别率的关系曲线.由图可知，当处理后信噪比达到10dB左右时，基于QMSVD的目标正确识别率可以接近100%，而基于Hu不变矩方法的正确识别率约为80%.相同信噪比下，基于Hu不变矩特征的目标正确识别率总体上低于基于QMSVD的目标识别率.

4.2 径向速度补偿误差对识别率的影响

目标径向速度补偿误差会造成目标微多普勒时频像的平移、折叠和倾斜，从而影响目标的分类识别.图7给出了信噪比为10dB时，目标径向速度补偿误差与目标正确识别率的关系曲线.可以看出，径向速度补偿误差增大，会导致目标正确识别率减小.比较可知，基于Hu不变矩方法的正确识别率更容易受到径向速度补偿误差的影响.由图可知，当目标径向速度误差小于1m时，基于QMSVD的目标正确识别率可以达到90%以上.

4.3 雷达PRF对识别率的影响

假设一个相参处理间隔（Coherent Processing Interval，CPI）为1s，图8给出了雷达PRF对目标正确识别率的影响曲线.显然，随着PRF的增大，两种方法的目标正确识别率都随之增大.这主要是由于PRF的增大，使雷达在一个CPI内的积累脉冲数增加，信噪比也随之增大，进而提高了目标的识别率.比较可知，随着雷达PRF的增大，基于QMSVD方法的目标正确识别率比Hu不变矩方法的目标正确识别率上升更快.

5 结 论

一般情况下，由于目标高速运动、雷达工作状态和外部环境的影响，很难准确估计目标运动参数，精确补偿目标平动和提取准确的目标微动参数，这给目标的分类识别带来了困难.基于QMSVD的分类识别方法将目标微多普勒时频像看作彩色图像，并利用四元数矩阵对彩色图像进行描述，计算四元数矩阵的奇异值，并选取较大的奇异值构成目标奇异值特征向量，作为目标的微动特征，进而采用支持向量机对目标和诱饵进行了分类识别.仿真结果表明，基于QMSVD的分类识别方法优于基于Hu不变矩的分类识别方法.通过分析可知：提高处理后信噪比和雷达的PRF可以提高目标的正确识别率；减小目标径向速度估计误差，可以增大目标的正确识别率.仿真实验的结果验证了文中方法的有效性，为实际目标识别提供了理论支持.

［1］ 雷 阳，孔韦韦，雷英杰.基于直觉模糊C均值聚类核匹配追踪的弹道中段目标识别方法［J］.通信学报，2012，33（11）：136-143.LEI Yang，KONG Weiwei，LEI Yingjie.Technique for target recognition based on intuitionistic fuzzy cmeans clustering and kernel matching pursuit［J］.Journal on Communications，2012，33（11）：136-143.（in Chinese）

［2］ 徐志鹏.弹道导弹中段目标识别研究［D］.南京：南京大学，2012.XU Zhipeng.Research on Target Identificaion in Midcourse of Ballistic Missile［D］.NanJing：NanJing University，2012.（in Chinese）

［3］ 雷 腾，刘进忙，李 松，等.弹道目标进动周期特征提取新方法［J］.计算机工程与应用，2013，49（1）：265-270.LEI Teng，LIU Jinmang，LI Song，et al.A novel micro-doppler signature extraction method of ballistic midcourse target［J］.Computer Engineering and Applications，2013，49（1）：265-270.（in Chinese）

［4］ 贾守卿，江小敏，夏明耀.基于微多普勒特征的目标分类［J］.电波科学学报，2013，28（3）：443-447.JIA Shouqing，JIANG Xiaomin，XIA Mingyao.Target classification by micro-Doppler feature［J］.Chinese Journal of Radio Science，2013，28（3）：443-447.（in Chinese）

［5］ 李 飞，纠 博，邵长宇，等.目标微动参数估计的曲线跟踪算法［J］.电波科学学报，2013，28（2）：278-284＋295.LI Fei，JIU Bo，SHAO Changyu，et al.Curve tracking based parameter estimation of micro-motion［J］.Chinese Journal of Radio Science，2013，28（2）：278-284＋295.（in Chinese）

［6］ 霍 凯.基于OFDM新体制雷达信号的微动目标特征提取研究［D］.长沙：国防科学技术大学，2011.HUO Kai.Research on Feature Extraction for Target with Micro-motion Based on New OFDM Radar Signals［D］.Changsha：Graduate School of National U-niversity of Defense Technology，2011.（in Chinese）

［7］ 李 松，冯有前，刘昌云，等.弹道导弹微动模型及微多普勒特征研究［J］.现代防御技术，2011，39（6）：95-99.LI Song，FENG Youqian，LIU Changyun，et al.Research of micro-motion model and micro-doppler of ballistic missile［J］.Modern Defense Technology，2011，39（6）：95-99.（in Chinese）

［8］ 杨有春，童宁宁，冯存前，等.基于齐次坐标的微动建模与微多普勒特征分析［J］.现代防御技术，2011，39（4）：78-83.YANG Youchun，TONG Ningning，FENG Cunqian，et al.Micro-motion modeling and micro-Doppler analysis based on homogeneous coordinates［J］.Modern Defense Technology，2011，39（4）：78-83.（in Chinese）

［9］ 邹小海，艾小锋，李永祯，等.进动圆锥弹头双基地微多普勒特性分析［J］.电子与信息学报，2012，34（3）：609-615.ZOU Xiaohai，AI Xiaofeng，LI Yongzhen，et al.Bistatic micro-Doppler feature of the precessing coneshaped warhead［J］.Journal of Electronics ＆Information Technology，2012，34（3）：609-615.（in Chinese）

［10］ 田巳睿，蒋跃红，郭汝江，等.基于时频变换的弹道目标微多普勒特征提取［J］.现代雷达，2012，34（1）：40-43.TIAN Sirui，JIANG Yuehong，GUO Rujiang，et al.Target micro-doppler feature extration method based on the time-frequency analysis［J］.Modern Radar，2012，34（1）：40-43.（in Chinese）

［11］ HU M K.Visual pattern recognition by moment invariants［J］.IRE Transactions on Information Theory，1962，8（2）：179-187.

［12］ 罗 迎，柏又青，张 群，等.弹道目标平动补偿与微多普勒特征提取方法［J］.电子与信息学报，2012，34（3）：602-608.LUO Ying，BAI Youqing，ZHANG Qun，et al.Translational motion compensation and micro-Doppler feature extraction of ballistic targets［J］.Journal of E-lectronics ＆Information Technology，2012，34（3）：602-608.（in Chinese）

［13］ SUN Yongjian，FU Ying，CHENG Zhen，et al.Wideband echo simulation and velocity compensation of midcourse ballistic target［C］／／IEEE 11th International Conference on Signal Processing（ICSP），2012，3：1944-1948.

［14］ PUJOL J.Hamilton，Rodrigues，Gauss，quaternions，and rotations：a historical reassessment［J］.Communications in Mathematical Analysis，2012，13（2）：1-14.

［15］ DUNN F，PARBERRY I.3DMath Primer for Graphics And Game Development［M］.Florida：AK Peters Limited，2011.

［16］ LE BIHAN N，MARS J.Singular value decomposition of quaternion matrices：a new tool for vector-sensor signal processing［J］.Signal Processing，2004，84（7）：1177-1199.

［17］ ZHANG Fuzhen.Quaternions and matrices of quaternions［J］.Linear Algebra and Its Applications，1997，251：21-57.

［18］ PEI S C，CHENG C M.A novel block truncation coding of color images by using quaternion-momentpreserving principle［C］／／IEEE International Symposium on Circuits and Systems，1996，2：684-687.

［19］ 胡卫红，舒 泓，栾宇光.基于奇异值分解的电能质量信号去噪［J］.电力系统保护与控制，2010，38（2）：30-33.HU Weihong，SHU Hong，LUAN Yuguang.Power quality signals＇de-noising method based on singular value decomposition（SVD）［J］.Power System Protection and Control，2010，38（2）：30-33.（in Chinese）

［20］ CORTES C，VAPNIK V.Support-vector networks［J］.Machine Learning，1995，20（3）：273-297.

Targets feature extraction and recognition based on singular values of quaternion matrix

SUN Yongjian1，2MU Heqiang1CHENG Zhen3FU Ying2
（1.Beijing Institute of Radio Measurement，Beijing100854，China；2.Air Force Early Warning Academy，Wuhan Hubei 430019，China；3.The Second Academy of China Aerospace Science and Industry Corporation，Beijing100854，China）

In midcourse，the micro-motion difference between warhead and decoy is an effective feature for target recognition.However，the parameter extraction of target micro-motion is generally constrained by the factors of target translation compensation precision，radar equipment operating state and environment which lead to the decline of target recognition rate.At first，the quaternion based micro-motion models of warhead and decoy are established in this paper.Then the target micro-Doppler time-frequency image is regarded as a color image and described by quaternion matrix.According to the stability and rotation invariance properties of singular value vector，the micro-Doppler feature extraction and classification method of ballistic targets is presented based on QMSVD and SVM.Simulation results show that the QMSVD based feature vector is more effec-tive than that of Hu moment based.To improve the SNR is benefit to improve the target recognition rate of classifier.With the increasing of the estimation error of target radial velocity，the target recognition rate of the classifier will decrease.Moreover，the target recognition rate will increase obviously along with the increasing of the radar PRF.

target recognition；feature extraction；micro-Doppler；Quaternion matrix；singular value decomposition

TN959.1

A

1005-0388（2015）01-0160-07

孙永健 （1976－），男，河北人，中国航天科工集团二院研究生院博士研究生，空军预警学院讲师，主要研究方向为雷达信号处理和弹道目标识别.

穆贺强 （1967－），男，河北人，硕士，研究员，研究方向为信号与信息处理.

程 臻 （1961－），男，安徽人，博士，研究员，研究方向为天线与微波技术、相控阵信号处理.

付 莹 （1982－），女，湖北人，博士，工程师，研究方向为雷达信号与数据处理、多传感器数据融合.

孙永健，穆贺强，程 臻，等.基于四元数矩阵奇异值的目标特征提取与识别［J］.电波科学学报，2015，30（1）：160-166.

10.13443／j.cjors.2014010501

SUN Yongjian，MU Heqiang，CHENG Zhen，et al.Ballistic targets feature extraction and recognition based on QMSVD［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（1）：160-166.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014010501

2014-01-05

联系人：孙永键E-mail：bmdsun＠126.com