用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题

万海芬

排列组合属于数学中相对独立的一门分支学科，它研究的核心问题是在给定条件下的某事件可能出现的情况总数。排列组合既是学习概率论与数理统计的理论基础，又是组合数学中最基本的概念。由于排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思想抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除了做到排列组合分清，加法乘法原理辩明外，还应注意避免重复或遗漏。

在排列组合问题中，除了最直观的捆绑法和插空法外，还有常用的幂指法等。这里，主要讨论分类的数学思想解决能用幂指法解决的问题。

幂指法属于分步法的一种特殊情况，完成目标事件的每一步方法的个数是相同的，即m1=m2=…=mn=m那么总数N=mn，因此我们也可称它为乘方原理。幂指法一般出现于允许重复的排列问题中。这类问题研究的对象是不受位置约束的元素，一般把n个不同的元素无限制地安排在m个不同的位置上的排列数为N=mn。不难看出这类排列问题允许空位的存在。并且每一个位置中的元素個数不受限制。所以我们可以根据位置的数量进行分类。

例：把三名实习生分配到5个车间实习，共有多少种不同的分法？

利用幂指法解：每名实习生都有5种不同的分法。所以3名实习生共有53=125（种）不同的分法。

利用分类的数学思想去解，根据所选车间的数量进行分类。

第一类：只选一个车间实习。

从5个车间中任选一个车间，3人同去一个车间有C51C33=5（种）分法。

第二类：选两个车间实习。

首先从五个车间中任取两个车间，有C52种取法。针对每取出的两个车间又各有几种分配方法，不妨以取到1号车间和2号车间为例，（1）1号车间可以去1人。2号车间去2人。这时，1号车间的1人来自已有的3人，余下的2人去2号车间，有C31C22种分配方法。（2）1号车间去2人，2号车间就去1人。这时1号车间的2人来自已有的3人，余下1人去2号车间。有C32C11种分配方法。此时共有C31C22+C32C11=6（种）分配方法。而两个车间的取法又有C52种取法，所以选两个车间实习的方法共有C52（C31 C22+C32C11）=60（种）。

第三类：选三个车间实习。

从五个车间中任取三个车间。有C53种取法。三个实习生只能每人去一个车间，又能进行全排列。所以共有C53A33=60（种）分配方法。

综上所述，共有C51C33+C52（C31C22+C32C11）+C53A33=125（种）不同的分配方法。

相对幂指法，分类思想解决本题较为复杂，但通过几年的教学发现，能用分类思想解决此题，就能解决一系列相关题目。并为不能用幂指法去解决的题目的解题思路提供帮助。如：

1.将4个不同的小球，放入编号为1、2、3、4的盒子中。

（1）求有多少种不同的放法？

（2）若1号盒子中有两个球，求有多少种不同的放法？

（3）若没有空盒子，求有多少种不同的放法？

（4）若有两个空盒子，求有多少种不同的放法？

解析：

（1）根据所选盒子的数量进行分类。第一类：只取一个盒子，有C41=4（种）取法。4个球会进入同一个盒子。也就有C41=4（种）放法；第二类：取两个盒子，有C42=6（种）取法。这时针对每取到的2个盒子都有C41C33+C42C22+C43C11=14（种）取法。所以共有C42（C41C33+C42C22+C43C11）=84（种）不同的取法；第三类：取三个盒子，有C43种取法。这时针对每取到的3个盒子又有C41C31C22+C41C32 C11+C42C21C11=36（种）取法。所以共有C43（C41C31C22+C41C32C11+ C42C21C11）=144（种）取法；第四类：取4个盒子，共有4个球，相当于做一次全排列。即有A44=24（种）不同的放法。所以共有4+84+144+24=256（种）不同的放法。

（2）若1号盒子中有两球，相当于剩下两个球要放进三个盒子。同样可以根据盒子的数量进行分类。第一类：只取一个盒子，有C31种放法；第二类：取2个盒子，有C32种取法，共有2个小球，可以进行排列，即A22C32。所以共有C42（C31+A22C32）=54（种）不同的放法。

（3）若没有空盒子，恰好4个盒子全用到了。相当于（1）中的第四类。

（4）若有两个空盒子，也就是从4个盒子中用到两个盒子。正好相当于（1）中的第二类。

2.把5个相同的小球放入3个形状不同的盒子里，如果允许有盒子不放球，求有多少种不同的放法？

解析：可以根据盒子的数量进行分类。第一类：取一个盒子，有C31=3种方法；第二类：取2个盒子，有C32种。针对每取到的两个盒子，都有4种不同的放法，所以共有4C32=12种放法；第三类：取3个盒子，有1种取法，5个小球可分为1、1、3和1、2、2两组。在第一组中，3个球可以放进任意一个盒子中，有3种不同的放法，在第二组中，1个球可放进任意一个盒子中。也有三种不同的放法，因为小球相同，所以有3+3=6（种）不同的放法。合起来，共有3+12+6=21（种）不同的放法。

……

在教学过程中发挥典型题的作用，发展学生思维，解决排列组合应用问题是教学的重点，也是难点，更是发展学生思维的好素材。如何抓住重点、突破难点，首先要发挥典型问题的作用。因此，本例是典型题，通过典型题掌握基础知识、基本方法。但仅仅这样是不够的。“数学教学是数学思维活动的教学。”只有发展思维，分析问题、解决问题的能力才能提高，基础知识、基本方法才能在解决数学问题中用得上、用得好。

编辑 李 姣