“二次法”的探索与应用

顾小勇

摘 要：对近年来高考数学中与“二次问题”相关的试题进行了研究，提出了“二次问题”的破解方法——“二次法”，探索了“二次法”的应用，指出了学生熟练掌握“二次法”对高中数学教学和高考数学教学的重要意义。

关键词：二次问题；二次法；应用

纵观多年高考数学试卷，发现高考考查一元二次或二元二次問题（简称“二次问题”）的数学试题较多.近年来考查“二次问题”的高考题有四大特征。

（1）知识面广：函数、三角函数、解析几何、向量、概率等知识都会涉及二次问题。

（2）形式多样：不但以一元或二元二次的函数、方程、不等式等显性形式出现，而且还有以带参数问题等其他隐性形式出现。

（3）题量较多：高考数学试卷中涉及二次问题的题目可真不少，就以2013年浙江高考数学理科卷来看，有5道选择题、2道填空题、4道解答题，共11道，占总题量的50%。

（4）难度较大：少数试题比较容易，多数试题难度较大，如，与圆锥曲线有关的试题难度就比较大。

可见，“二次问题”教学的成败直接影响我们高考数学教学的成败。

解决“二次问题”的方法很多，如，配方法、判别式法、韦达定理法、公式法、十字相乘法等等，我们把这些用于解决“二次问题”的一系列方法统称为“二次法”。不妨，以近年来的高考试题为例说说“二次法”及其应用。

一、配方法

配方法的应用很广泛，在二次函数求值域、二次方程求根、二次不等式求解、圆的一般方程化为标准方程、两点间距离公式倒用等方面有较多的应用。

二、判别式法

关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），设判别式

Δ=（b2-4ac），则当Δ>0时原方程有两不等实根，当Δ=0时原方程有两相等实根，当Δ<0时原方程无实根。这种利用判别式Δ的符号来判断方程是否有根的方法叫做判别式法。

二次方程有无实根可以用判别式法来判断，函数的值域、二次函数的零点、二次函数的图象与x轴的交点、含二次问题的最值和取值范围、与二次问题有关的参数取值范围等问题都可以使用判别式法解决，甚至还可以证明不等式。

例2.（2013年广东高考文科卷）设函数f（x）=x3-kx2+x（k∈R）.

（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）当k<0时，求函数f（x）在[k，-k]上的最小值m和最大值M.

分析：三次问题基本要利用导数的方法转化为二次问题解决，而二次问题又有一系列的方法解决，在解题过程中根据情况选择适当的“二次法”解决。

下面解题过程从略。

点评：解决三次函数的单调性和最值问题都需要用导数解决，而三次问题求导后就是二次问题。判断单调性需要解决对应区间导数的符号，含参数的二次函数需要确定参数的讨论标准，这些问题用判别式法容易解决。

三、韦达定理法

它可以用于求一元二次方程求根、恒等式证明、求二次问题有关参数范围，还可以用于求曲线被直线所截的弦长等。

例3.（2013年高考大纲文科卷）已知抛物线C∶y2=8x与点

分析：因为抛物线方程是二次方程，所以解决抛物线与直线的交点问题时，可以将抛物线方程与直线方程联立，用代入法转化为一元二次方程，并使用韦达定理和设而不求的方法解决。

解析：设AB：y=k（x-2），代入y2=8x得：k2x2-（4k2+8）x+4k2=0，

即（x1+2）（x2+2）+（y1-2）（y2-2）=0.

∴x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2-2（y1+y2）+4=0.①

∵y1=k（x1-2）y2=k（x2-2）∴y1+y2=k（x1+x2-4），②

y1·y2=k2（x1-2）（x2-2）=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]③

由（*）及①②③得k=2.故选D.

点评：二次曲线交点弦问题基本上都可以使用直线方程与圆锥曲线方程联立，并使用韦达定理法解决。

设直线方程是y=kx+m，二次曲线方程为f（x，y）=0，他们交点为A（x1，y1），B（x2，y2）

这两个公式分别叫做一元二次函数图象的对称轴公式和顶点坐标公式。

我们把这种用求根公式、对称轴公式和顶点坐标公式解决二次问题的方法，叫做二次公式法。

二次公式法可以用于求二次函数图象的对称轴方程、求二次函数的最值、求二次方程的根、讨论二次函数的单调区间以及解决带参数的二次问题。

五、十字相乘法

如果二次三项式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），若存在四个实数a1，c1，a2，c2满足a1a2=a，c1c2=c并且a1c1+a2c2=b，那么二次三项式：ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）（a2x+c2）.这里要确定四个常数a1，c1，a2，c2，一般借助画十字交叉线（如图）的办法来确定.我们把这种方法称为十字相乘法。

十字相乘法是分解二次三项式的方法，因此可用于求一元二次方程的根、解一元二次不等式以及确定三次函数导数值的符号等问题。

例6.（2012浙江高考理科卷）设公比为q（q>0）的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=______。

分析：数列{an}是等比数列，使用基本量法解决。

解析：∵S2=3a2+2S4=3a4+2？圯a1+a1q=3a1q+2a1+a1q+a1+a1q2+a1q3+2，

点评：解题过程中解决二次方程根的问题时，利用十字相乘法可以快捷求根。

例7.（2012辽宁高考理科卷）已知等比数列{an}为递增数列，且a25=a10，2（an+an+2）=5an+1，则数列{an}的通项公式an=_________。

点评：用基本量法将等差等比数列问题转化为一元二次求根问题，此类方程求根时用十字相乘法解决速度快、正确率高。

六、平方法

高中数学中有一些数学符号和公式用平方根或绝对值来表示，如，两点间距离公式、点到直线的距离公式、向量和复数的模，此类问题通常用平方法转化解决。

平方法的用途广泛，如，绝对值方程或不等式求解，二次根式方程或不等式的求解，以及向量和复数的模问题，某些函数的值域，解决三角问题，圆锥曲线标准方程的推导等应用平方法完成。

故选B.

点评：向量的绝对值符号用平方法去掉，将问题转化为向量的数量积。

“二次问题”是高中数学中常见的数学问题，也是高考数学中较难较复杂的数学问题之一，解决它不是一件不容易的事情，如果我们在教学中使学生不断积累解决二次问题的方法——二次法，让学生熟练掌握“二次法”，并重视“二次法”在解题中的应用，那么，学生们在高考中解决“二次问题”就不在话下。

参考文献：

[1]张耀，刘振铎.浅谈配方法在中学代数中的重要性[J].运城高专学报，1996（11）.

[2]吴小建.高考求函数最值的常用方法[J].数学学习与研究，2012（06）.

[3]沈丙申.运用均值定理求最值的八种方法[J].四川教育学院学，2007（06）.

[4]楚斌，李明远.解析几何综合题解题思路案例分析[J].新课程学习：中，2011（06）.

编辑 郑 淼