附加约束条件的井下控制网变参数序贯平差

徐凯帆 张书毕 鲍 国

(1.广东省重工建筑设计院有限公司，广东 广州510034;2.江苏省资源环境信息工程重点实验室，江苏徐州221116;3.中国矿业大学环境与测绘学院，江苏徐州221116;4.中国人民解放军空军勤务学院机场工程与保障系，江苏徐州221008)

井下控制网测量不仅为井下提供准确的空间基准，也为矿山安全生产提供所需的各项数据，在矿业开发过程中发挥着重要作用［1-8］。由于受井下巷道条件的限制，控制网一般以导线的形式沿巷道分期布设［1，9］。随着巷道的掘进，需要加测一定数量的陀螺定向边来提高井下控制网的精度。在控制网内业计算时，传统方法是对各期观测数据进行独立的平差计算［1］，但由于受到系统误差的影响，导致控制网局部误差累积过大。此外，每期控制网平差计算的起算点位置不同，在一定程度上影响了点位精度的评定。若采用传统方法对各期的观测值进行整体平差，可能会由于前几观测数据的部分丢失给整体平差带来困难。为此，利用前期控制网点的平差值和方差、协方差矩阵，结合新的观测值推导变参数序贯平差模型，并利用无限权理论将陀螺方位角条件转化为变参数序贯平差模型的观测方程。

1 理论分析

1.1 变参数序贯平差

变参数序贯平差是指在平差过程中的未知参数的数量有增有减［6-8］，主要包括3 种情况:①第2 次平差增加新的参数;②第2 次平差的参数仅为第1 次平差参数的一部分;③上述2 种情况的综合。为了便于推导，给出井下控制网2 期观测值的误差方程

式中，V1、V2分别为2 期观测值的改正数矩阵; 为第1 期出现的参数；为2 期共有的参数;为第2期新增加的参数;A、B1、B2和C 为系数矩阵;l1和l2为常数向量。

对式(1)进行第1 次平差，其法方程为［10-12］

式中，P1为第1 期观测值的权阵;和为第1 次平差参数的改正数。

Ea、Eb为单位矩阵，分别为参数改正数的系数矩阵。令

根据最小二乘原理，令

将式(4)代入式(5)，整理后得到法方程为

式中，P1和P2分别为2 期观测值的权阵。

由(6)式可得参数平差值为

精度评定时，单位权中误差估值可表示为［13-17］

式中，t 为独立参数的个数;n 为观测值个数;P 为2期观测值的权阵;VTPV 可进一步地表示为

1.2 附加约束条件

井下布设基本控制导线时，一般每间隔1. 5 ～2.0 km 加测1 条陀螺定向边。对于已经建立井下控制网的矿井，为了提高井下控制网的平面精度，有时需要加测一定数量的陀螺定向边(见图1)。在数据处理时，通常将陀螺定向边作为坚强边处理［1］，即将实测的陀螺定向边方位角作为约束条件参与控制网的平差计算。

图1 陀螺定向边Fig.1 Gyro directional edge

图1 中，gf 为一条陀螺定向边，当以陀螺定向边方位角为约束条件时，观测值为真值应满足

式中，Lgf为陀螺定向边方位角观测值，(°);αgf为坐标平差值反算的坐标方位角，(°)。

将式(10)线性化后可得待求参数的限制条件方程，该方程与式(1)、式(2)为2 种不同类型的方程，不便于利用变参数序贯平差模型进行计算。为此，根据无限权理论［6］，将陀螺定向边方位角作为一般观测值处理。此时，该观测值对应的权值为

式(11)表明陀螺方位角值的权重无穷大，即对应观测值的改正数为0。

由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正数为δαfg，即

式中，Vgyr为陀螺方位角改正数;Lgyr为陀螺方位角观测值。

将式(13)整理后，得

式(14)为陀螺定向边的观测值误差方程，可与水平角、边长观测值的误差方程统一表示为式(1)、式(2)的形式，可利用变参数序贯平差模型进行求解。

1.3 权阵的确定

2 实例分析

2.1 井下控制网概况

井下控制网往往随井下巷道的道掘进而逐步布设。图2 为某矿井7″级局部导线网，共由119 个点组成，导线全长约12 km，其中JB1和JB2为已知点。第1 期形成的网形仅为一条与JB1点相连的闭合导线。虚线框中的导线及WE1－WE2、YS7－YS8和XF22－XF23为第2 期施测的3 条陀螺定向边，其中陀螺定向边被视为坚强边，且3 条陀螺定向边距起算点JB1分别为1.5，3，6 km。现需要实现2 期控制网的整体平差。

2.2 平差结果分析

2.2.1 定权系数确定

陀螺定向边作为坚强边处理时，虽然其权值Pg→+ ∞，但在实际应用中为了避免法方程病态［18-20］，陀螺定向边观测值的权值(Pg)往往选取一个有限值，根据观测值权的定义

图3 不同定权系数对应的陀螺定向边方位角差值Fig.3 Azimuth variation of Gyro directional edges with different weight coefficient

由图3 可知，当定权系数m = 1 时，最大的差值达到5.1″，但随着m 值增大，陀螺边方位角的差值迅速减小，当m = 3 时，各陀螺边方位角的平差值与已知值之差均小于1″;当m = 10 时，其差值均小于0.1″;当m = 20 时，各陀螺定向边的平差值与已知值之差均小于0.01″。

为了全面分析定权系数的取值对平差结果的影响，表1 给出了m =1 ～20 时，陀螺定向边各端点坐标的变化量。

表1 陀螺定向边各端点坐标变化量Table 1 Coordinate variation of each gyro directional edge endpoint

由表1 可知，陀螺定向边距起算点越近，其端点坐标的变化量则越大。

2.2.2 平差结果验证

井下控制网平差计算分别采用2 种方法进行:①利用控制网2 期完整的观测数据，采用附有限制条件的间接平差方法进行整体平差，该结果视为真值;②根据控制网第1 期平差结果，采用附加约束条件的变参数序贯平差模型进行控制网整体平差，其中，定权系数m 取20。为了全面比较2 种方法平差结果的差异，图4 给出了控制网各点的坐标差。

图4 各控制点坐标残差值Fig.4 Coordinate residuals of each control point

由图4可知，坐标差值均小于0. 03mm，超出了结果需要保留的有效位数，其差值可以忽略不计。也就是说，如果坐标残差值以毫米为单位，结果保留至0.1 mm，单位权中误差以秒为单位，保留至0.1″时，则2 种方法平差结果的精度完全一致。但文中提出的平差模型无需存储控制网的前期观测值，即使前期数据丢失，仍可根据前期的平差结果进行计算，以达到整体平差的效果。

3 结 论

(1)变参数序贯平差模型仅需前期计算结果，便可实现井下控制网多期观测整体平差，可有效克服控制网前期观测数据丢失给整体平差带来的困难。

(2)在井下控制网整体平差时，可利用无限权理论将陀螺坚强边转化为变参数序贯平差模型的观测方程。实例分析结果表明，陀螺边的定权系数m 取20 时，可满足井下控制网计算的精度要求。

(3)附加限制条件的变参数序贯平差模型思路简单、易于编程、无需前期观测数据，适用于井下分期布设的控制网整体平差。

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