红外热成像系统作用距离预测方程计算误差探析

何 恒，白廷柱



红外热成像系统作用距离预测方程计算误差探析

何 恒，白廷柱

（北京理工大学光电学院 光电成像技术与系统教育部重点实验室，北京 100081）

理论上讨论了能量传输过程中辐射出射度差和温差之间的关系，探讨了红外热成像系统作用距离方程小温差条件下近似计算的本质，分析了近似计算所产生的误差受温差大小、背景温度和工作波长影响的情况。基于MRTD的定义和红外热像仪成像的原理，在前述探析的基础上，提出更为符合红外热成像物理过程的作用距离方程计算方法，并实例计算了给定条件下的作用距离。计算结果表明，本文提出的计算方法更为符合辐射能量实际传输情况，具有更好的精度。

红外热成像；温差；MRTD；计算误差；作用距离

0 引言

红外热成像系统以其独有的优势在战场上得到越来越广泛的应用，然而系统的战术性能受着系统本身性能、目标特性、大气环境等多方面因素的影响。因此，探讨不同气象条件下的红外热成像系统的作用距离性能[1]非常必要。最小可分辨温差（MRTD）是综合评价热成像系统温度分辨力和空间分辨力的重要参数，它不仅包含系统特征，也包含了观察者的主观因素。因此，目前对扩展源目标的作用距离进行预测均采用表征系统静态性能的MRTD法[2]。

D＝D0×()≥MRTD() (1)

式中：D、D0分别为热成像系统入瞳处和零视距时目标与背景的视在温差；()为热成像系统工作波段内，沿目标方向距离行程上大气传输的平均大气透过率。

根据大气透过率的定义，大气透过率反映的是大气对辐射能量的衰减，并不是对温差的衰减。文献[4]指出，在对小温差目标图像进行探测时，可以近似认为辐射功率差与温差成正比，此时(1)式才是成立的；而在对大温差目标进行探测时，随着温差的增大，通过(1)式计算所产生的误差将逐渐变大。

很多文献对这个问题进行了研究。白渭雄[6]等根据史蒂芬-玻尔兹曼定律中黑体辐射总功率与黑体温度四次方成比例关系得到新的表达式。事实上，斯蒂芬-玻尔兹曼定律是针对全波段总辐射功率的关系，而实际探测器对红外辐射的响应有一定的波段范围。在某一特定波段(1,2)内，黑体辐射出射度与温度四次方很难满足比例关系[7]。陈立学[8]通过在3～5mm、8～12mm波段和220～320K的常温范围内，满足2＞＞T，以及小温差条件下采用微分代替差分的思想，得到了一个新的温差衰减的表达式。但是从其近似条件可以看出，其用到了小温差近似，这也就意味着在温差很大或背景温度和工作波段发生变化时，其误差仍然会很大。金伟其[9]等在计算中设定了一个阈值，并根据温差是否达到阈值对小温差和大温差分开处理，这种方法虽然可以减小大温差情况下的计算误差，但依然无法避免小温差情况下计算误差大的问题。

本文详细分析了小温差条件下近似计算的原理，以及这种近似计算所产生的误差与温差大小、背景温度和工作波长影响的情况。根据MRTD的含义可知，MRTD实际上反映的是系统对红外辐射能量差异的分辨能力，本文基于这一概念，提出了可以完整描述红外辐射能量传输物理过程的作用距离预测方程。

1 辐射出射度差与温差

根据大气透过率的定义可得：

式中：0和0分别为目标发射的辐射通量和辐射出射度；和为经大气衰减后的数值。

由(2)式可得：

＝0() (3)

若分别以t和b来表示红外热成像系统入瞳处目标和背景的辐射出射度，则有：

式中：t0和b0分别表示零视距时目标与背景的辐射出射度。两式相减可得：

式中：D、D0分别表示红外热成像系统入瞳处和零视距目标与背景的表观辐射出射度差，D＝t－b，D0＝t0－b0。

当D和D满足比例关系时，即满足：

式中：为比例系数。将(6)式代入(5)式，即可得到(1)式。

根据普朗克公式：

式中：1为第一辐射常数，1＝2p2＝3.7418×10－16，W×m－2；2为第二辐射常数，2＝/＝1.4388×10－2，m×K；为玻尔兹曼常数；为光速。可得：

由(8)式可知，在波长＝4mm，背景温度b＝300K，D＝0～50K时，D-D的关系如图1。

由图1可知，在所计算的温差范围内，D与D之间呈非线性关系，只有在温差比较小时，方可近似为线性关系。

图1D-D关系曲线

Fig.1 Relation curve betweenDandD

在小温差条件下，可以用微分代替差分：

即：

比较(10)式和(6)式可以看出，(9)式给出的恰恰是比例系数的计算方法。

考察图1可知，曲线是经过原点的，因此，可以考虑用D＝0K处的切线斜率作为比例系数。

由(8)式可得：

结合上述相关公式可知，在小温差条件下，D和D近似满足比例关系，比例系数正是D-D的关系曲线在D＝0K处切线的斜率，即：

因此，小温差条件下的近似实际上就是用D-D关系曲线在D＝0K处的切线来近似这条曲线。下面分析这种近似计算产生的误差受温差大小、背景温度和工作波段的影响情况。

在＝4mm，b＝300K，D＝0～50K时，D-D的关系曲线和近似直线如图2所示。

图2 DM-DT关系曲线和近似直线

由图2可以看出，在温差较小时，近似直线非常接近理论曲线；而在温差比较大时，近似直线已经严重偏离理论曲线。

误差百分比随温差变化的曲线如图3所示。

由图3可以看出，在温差为5K以内时，这种近似所产生的误差在10%以内，而当温差为50K时，误差已经高达55%以上。

误差百分比随背景温度和波长的变化如图4所示。

图3 误差百分比

(a) 背景温度的影响

(b) 波长的影响

图4 背景温度与波长的影响

Fig.4 The influence of background temperature and wavelength

通过图4可以看出，在波长一定的情况下，随着背景温度的降低，按照线性近似计算所产生的误差越来越大；在背景温度一定的情况下，随着波长的减小，按照线性近似计算所产生的误差越来越大，并且在3～5mm波段的误差明显大于8～12mm波段。这说明在3～5mm波段，辐射出射度差对温差更敏感，利用(1)式计算所产生的误差也就更大；而在8～12mm波段，温差为10K时的误差为5%，也就是说温差小于10K时可以认为是小温差，可以用(1)式来进行近似计算，这也就是文献[9]中8～12mm波段的温差阈值取10K的原因所在。

进一步研究发现，D和D满足比例关系时，(1)式也不成立。假设零视距时背景温度为b0，经过大气衰减后，入瞳处的背景温度为b，由(12)式可知：

b是b0通过(3)式和普朗克公式计算得到的，由于大气的衰减，两者并不相等，故而，大气条件越差，两者的差值就越大。

在＝4mm，b＝220～320K时，比例系数与背景温度的关系如图5所示。

图5 比例系数与背景温度的关系

由图5可知，比例系数与背景温度之间是非线性关系，因此将(13)式代入(5)式并不能得到(1)式。所以，(1)式需要在小温差条件近似的基础上做第2次近似，即认为比例系数是相等的。

通过以上分析可知，用(1)式计算所产生的误差来源于2个方面：小温差条件下的近似和比例系数相等的近似。第1次近似的误差随着温差的增大、背景温度的降低、工作波长的减小而增大；大气衰减越厉害，第2次近似的误差越大。

这里需要指出的是，以上分析是定性的分析，给出的是误差大小随温差大小、背景温度和工作波长变化的影响情况，具体数值并不代表最后算得的作用距离的实际误差大小，并且以上关于辐射的计算都是对单一波长进行的。由相关数学知识可知，取积分运算以上规律也是成立的。

2 作用距离方程的修正

根据基于MRTD的作用距离预测的基本要求可以得到以下关系式：

式(14)取等号时的即为系统的作用距离，第1个方程给出了空间频率的计算方法，按照约翰逊准则，e是在50%观测概率下得到的条带数，在实际观测任务中，需要根据观测任务概率要求对条带数进行修正；第2个方程给出了作用距离计算方法，关于该方程也需要进行一系列的修正。首先D是目标与背景的表观温差，文献[9]中给出了具体的计算方法，按照这种方法可以将黑体和灰体统一起来；其次对于MRTD，根据目标形状要对条带长宽比进行修正，根据实际观测情况要对阈值信噪比进行修正，根据工作温度要对温度进行修正等[4]。本文只对温度修正进行深入探讨。

MRTD综合评价了热成像系统的温度分辨力和空间分辨力，还反映了观察者的影响因素，其中关于温度的分辨力是用噪声等效温差（NETD）来表现的，而MRTD对温度的修正也是通过NETD来反映的。NETD的普遍表达式是[2]：

式中：是光学系统的数；Dn是噪声等效带宽；d是探测元面积；S是串联元数；0是系统光学透过率；*()是峰值比探测率。

在NETD的推导过程中，用到了上文中小温差条件下的近似公式，由于热探测器的噪声等效温差在100mK左右，第二代光探测器在20mK左右，所以这种近似的误差是非常小的。

对于光子型探测器，进行近似处理后可以得到[2]：

式中：p为峰值响应波长；*(p)为探测器峰值响应的归一化探测率；2为第二辐射常数。

实验室中测量的NETD通常是在常温（S＝300K）下进行的，根据以上表达式，实际工作温度为b时的NETD应为：

而MRTD的一般表达式为：

式中：SNRDT为阈值信噪比；MTFS()、MTFeye()分别为系统和人眼传递函数；、分别为水平和垂直方向的瞬时视场；d为电子积分时间；e为人眼积分时间；p为帧频；D为噪声等效带宽。

所以，MRTD对温度的修正关系为：

文献[9]指出，当目标与背景的温差比较大时，系统对目标与背景的响应辐射功率差用小温差近似的误差很大，必须用实际响应辐射功率差来表示，因而提出如下方法修正前述关系，即：

其中：

式中：Da是阈值温差，对于8～14mm波段，可取为10K。

该方法的本质是对小温差和大温差进行分开处理：当温差比较小时，还是采用公式(1)，并对MRTD进行温度修正；当温差比较大时，也用小温差近似公式，而且这种近似的误差不受背景温度和温差大小的影响。所以，文献[9]中的方法可以有效的减小大温差条件下的误差，但是小温差条件下依然有很大的误差，并且需要对大小温差分开处理。

结合MRTD的定义和热成像系统的成像原理，MRTD对应的温度分辨力，本质上反映的是热成像系统对某一条件下的能量分辨力，也就是MRTD对应的是最小可分辨辐射出射度DMRTD，因此(14)式应改写为下式才更符合实际的物理过程：

D和DMRTD通过下式计算：

为了估算较远的距离，通常热像仪的MRTD都选择的比较小，这样便满足小温差近似的条件，由(12)式和(24)式有：

因此(23)式可以近似为：

(26)

式(26)和式(20)在大温差条件下的公式是一样的。通过上文的分析可知，误差的大小取决于波长和该波段下系统的MRTD值，MRTD越小，误差也就越小。所以文献[9]的方法在大温差条件下的计算误差与温差大小和背景温度无关。

3 计算实例

上文分析了文献[9]中的方法，提出一种更符合实际物理过程的计算关系，下面通过实例计算来比较两种方法的结果。

作用距离方程是一个超越方程，通常采用迭代的方法进行求解。首先估算出解的范围(1,2)，再通过半分法求解出作用距离，以式(21)为例的求解流程图如图6。

计算中利用的是Catherine-GP红外热像仪，它使用的是SOFRADIR 288×4元HgCdTe探测器，其性能参数如表1所示。

观测任务为：大气条件为中纬度夏季海平面，能见度23km，利用Modtran进行大气透过率的计算。目标尺寸为16m×2m（小船大小），温差为10K。观测水平遵循50%概率下的约翰逊准则（e为对应观测水平的条带周期数），对220～320K的常温范围的计算结果如表2所示（1是基于本文方法的预测距离，2是基于文献[9]方法的预测距离）。

从表2可以看出，无论在哪种观测水平下，背景温度比较低的时候，文献[9]中方法的计算结果误差相对较大，这与上文中误差大小随背景温度改变的影响规律一致。亦即，文献[9]中的方法依然无法避免低温背景小温差情况下计算误差较大的问题，本文方法则可较好地避免该问题。

图6 作用距离求解流程图

表1 Catherine-GP 红外热像仪性能参数

表2 计算结果

4 结论

本文针对以往的相关分析和预测进行了一定程度的简化，对实际计算具有较大误差的问题，从MRTD的含义出发，立足于MRTD实际上反映的应该是系统对能量差异的分辨能力，并基于此提出更为符合实际物理过程的作用距离预测方程计算方法。实例计算表明，本文方法不仅解决了文献[9]中低温背景小温差条件下计算误差较大的问题，且可以对小温差和大温差统一处理。

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Calculation Error Analysis of the Distance Equation for Infrared Imaging System

HE Heng，BAI Ting-zhu

(,,,100081,)

The paper theoretically discusses the relationship between the radiant exitance difference and temperature difference in the energy transmission, the nature of the approximate calculation under the condition of small temperature difference, and the error affected by approximate calculation influenced of the size of temperature difference, background temperature and wavelength. It also puts forward a calculation method which is more accord with the physical process of the infrared thermal imaging system adjusted by the definition of MRTD and the theory of the infrared imaging system. On this basis, the paper calculates the range of the given conditions. The results show that such method of calculation tallies more with the actuality and has better accuracy.

infrared thermal imaging，temperature difference，MRTD，calculation error，operation range

O432；TN215

A

1001-8891(2015)09-0713-06

2015-08-05；

2015-08-26.

何恒（1991-），男，湖北省鄂州人，硕士研究生，主要研究方向为红外成像系统性能评价。E-mail：henryheheng@163.com。

白廷柱（1955-），男，北京人，教授，主要研究方向为光电成像技术、红外仿真、紫外通信等。E-mail：tzhubai@bit.edu.cn。