一个四翼超混沌系统的多翼效应及其控制电路实现

杨志宏， 屈双惠， 王 清

(1.石家庄学院 物理与电气信息工程学院， 石家庄 050035;2.邢台职业技术学院 电气工程系， 河北 邢台 054000)



一个四翼超混沌系统的多翼效应及其控制电路实现

杨志宏1*， 屈双惠1， 王 清2

(1.石家庄学院 物理与电气信息工程学院， 石家庄 050035;2.邢台职业技术学院 电气工程系， 河北 邢台 054000)

设计了一种新的分段线性函数. 通过将分段函数替代四翼混沌系统中的状态变量， 构造出一个新系统， 实现了原四翼系统的多翼效应. 对新系统的相图、Lyapunov指数谱、分岔图和Poincaré 截面等进行了分析， 并设计了新系统的模拟电路， 利用该方法设计的电路形式简单易于实现， Multisim模拟结果与Matlab数值仿真结论相一致， 表明了该方法的可行性．

分段线性函数; 多翼效应; 四翼混沌系统

上世纪90年代发展起来的混沌控制和混沌同步理论开拓了非线性在现代通信领域中的新应用， 非线性系统行为的长期不可预测性是保密通信安全的根本保证， 因此它在保密通信、信号处理等领域有着广阔的应用前景. 而多翼混沌吸引子较一般的两翼、四翼混沌吸引子的动力学行为更复杂， 因此在保密通信中具有更广阔的应用价值.

目前， 人们已能较容易地构造出两翼、四翼混沌吸引子， 对多翼混沌吸引子的构造也有所研究. 但在构造多翼混沌吸引子时， 有的构造方法复杂， 构造出的多翼混沌系统数学形式复杂， 电路实现困难， 有的则需要增加系统状态方程的维数才能获得[1-4]．

本文选用的四翼系统含有多个参数， 系统的每个方程中都含有一个三次非线性交叉乘积项， 具有真正的四翼混沌吸引子. 四翼混沌吸引子的系统信号具有较宽的频谱带宽， 这在信息加密技术中本就具有重要价值[2]， 在此基础上， 通过将分段线性函数替代四翼混沌系统中的状态变量， 构造了一个能够产生多翼吸引子的新系统， 这在保密通信领域将具有更大的应用价值. 新设计的分段线性函数数学形式简单， 电路易于实现. 对新系统的相图、Lyapunov指数谱、分岔图等进行了数值仿真， 并对新系统进行了电路模拟. 数值仿真与电路模拟结果相一致， 证明了该方法的有效性．

1 多翼混沌吸引子的系统模型

本文选用的四翼混沌系统的数学模型为

(1)

式中a，b，c，d，e，h1，h2，h3是实常数. 当参数a=50，b=7，c=13，d=12，e=8，h1=10，h2=10，h3=10 时， 系统存在一个真正的能穿越上下吸引域界限的四翼混沌吸引子， 如图1所示．

图1 四翼混沌系统吸引子Fig.1 Chaotic attractor of the four-winged system

为了实现该系统的多翼效应， 本文设计了一个新的分段线性函数:

(2)

其中，N、M∈{0，1，2，……}，tn为实现多翼效应时各吸引子之间的间距，ε(x+tn*n-tn/2) 为单位阶跃函数， 其波形图如图2所示.

图2 单位阶跃函数Fig.2 The unit step function

保持系统参数不变， 用分段线性函数f(x)替

代四翼混沌系统中的状态变量x， 得到新系统为:

(3)

系统(3)能产生 (M+N+2) 个混沌吸引子， 每个吸引子均为能够穿越上下吸引域界限的对角四翼混沌吸引子， 即系统(3)能产生4(M+N+2) 翼混沌吸引子. 取tn=8，当M=N=0时， 系统产生8翼混沌吸引子， 如图 3(a) 所示; 当M=1，N=0时， 系统产生12翼混沌吸引子， 如图 3(b) 所示; 当M=N=1时， 系统产生16翼混沌吸引子， 如图 3(c) 所示; 当M=2，N=1时， 系统产生20翼混沌吸引子， 如图 3(d) 所示．

图3 系统(3)的多翼混沌吸引子Fig.3 Multi-winged chaotic attractors of system(3)

2 多翼混沌吸引子的Lyapunov指数谱和分岔图

Lyapunov指数 (LE) 能够定量地描述混沌吸引子相邻轨线之间彼此排斥的趋势， 从系统的LE谱可以很直观的分析出各参数变化时， 系统的变化情况. 对于周期轨有LE1=0 ，LE4 0，LE2≤ 0，LE4LE2> 0，LE3≤0，LE4< 0，LE1+LE2+LE3+LE4< 0. 图 4 给出了在h3=[4，16] 时， 多翼混沌系统的 Lyapunov 指数随参数h3的变化情况. 从图中可以看出， 当h3=[5.2，6.8] 时， 系统 (1) 的 Lyapunov指数中只有LE1=0， 其余各量均小于零， 表明此时系统进入周期状态; 而在其他区域有LE1> 0， 表明此时系统进入混沌或超混沌状态[5-7].

图5给出了M=1，N=0时变量x随系统参数h3变化时的分岔图， 从图中可以看出， 分岔图与 Lyapunov 指数随h3的变化情况相一致， 并且在图中能够清楚地观察到有3个混沌吸引子分布于变量x的不同区间内. 选取y=0 的截面， 得到系统 (3) 的Poincaré截面如图 6 所示. 从图中可以看出， Poincaré截面图上出现3个成片的密集点分布于变量x的不同区间内， 每片密集点都具有一定的分形结构， 一些叶片被反复折叠， 这些叶片都能够穿越上下吸引域界限.

图4 参数h3变化时的Lyapunov指数谱Fig.4 Lyapunov exponential spectrum of parameter h3

图5 x变量随参数h3变化时的分岔图Fig.5 Birfurcation diagram of parameter h3versus variable x

图6 y=0时的Poincaré映射图Fig.6 Poincaré map on x-z plane(y=0)

3 系统的电路实现

根据(3)式和(2)式， 设计了实现四翼系统多翼效应的电路图， 如图 7 所示， 其中u1，u2，u3，u4，u5分别对应系统状态变量x，y，z，w和分段函数f(x). 该电路由五路模拟运算电路所组成， 分别实现系统(3)中各状态变量的运算以及新型分段线性函数的运算. 采用的运算放大器型号为LF353D，其电源电压E=±24 V， 输出饱和值Vsat≈±22.455 V， 模拟乘法器的型号为AD633， 其增益为0.1. 此外， 积分电容器用以实现对各状态变量的积分运算， 其他电路用以实现加减和反相运算[8-11]. 根据图 7 得电路方程为:

(4)

为了能观察到清晰的输出波形， 对t进行时间尺度变换， 即t=10-3τ， 则方程(4)变为

(5)

取R=10 kΩ，R0=R02=R03=10 kΩ，R01=1 kΩ，C=10 nF， 根据系统(3)和式(5)得R1=8.33 kΩ，R2=2 kΩ，R3=2 kΩ，R4=1 kΩ，R5=8.33 kΩ，R6=14.29 kΩ，R7=14.29 kΩ，R8=1 kΩ，R9=7.69 kΩ，R10=12.5 kΩ，R11=1 kΩ，R12=8.33 kΩ，R13=8.33 kΩ，R14=1 kΩ. 在图 7 实现新型分段线性函数f(x)的电路中， 取R15=R16=20 kΩ，R04=R05=4 kΩ，Rv=22.455 kΩ， 可以得到

(6)

(7)

当M=N=0时，k2闭合，k1，k3打开， 则有

(8)

此时， 电路产生8翼混沌吸引子， 如图 8 (a)所示.

图8 电路仿真结果Fig.8 Multisim experimental results

当M=1，N=0时，k1，k2，k3闭合， 取R17=30kΩ， 则有

(9)

此时， 电路产生12翼混沌吸引子， 如图8(b)所示.

4 结论

本文设计了一种新的分段线性函数实现了四翼混沌系统的多翼效应， 新系统中的每个吸引子均为能够穿越上下吸引域界限的对角四翼混沌吸引子. 该分段函数数学形式简单， 电路易于实现， 容易调试， 系统的电路模拟与数值仿真结论符合得很好. 由于多翼混沌吸引子的动力学行为比两翼、四翼混沌吸引子的更复杂， 因此， 利用该方法构造多翼混沌系统在保密通信中具有更大的应用价值．

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The multi-winged effect of the four-winged hyperchaotic system and its control circuit implementation

YANG Zhihong1， QU Shuanghui1， WANG Qing2

(1.Department of Physics and Electrical Information Engineering， Shijiazhuang University， Shijiazhuang 050035;2.Department of Electrical Engineering， Xingtai Polytechnic College， Xingtai， Hebei 054000)

A novel piecewise linear function is designed in this paper. It is used to replace the state variable in the four-winged chaotic system to generate the multi-winged effect from the previous four-winged system. Dynamic properties of the new system are investigated via phase diagram, Lyapunov exponent, bifurcation and Poincaré diagrams. An analog circuit is designed for the new system, which is simple and easy to implement. Matlab numerical simulation results are consistent with Multisim experimental results, which shows the feasibility of the proposed method.

piecewise linear function; multi-winged effect; four-winged chaotic system

2015-01-27.

河北省自然科学基金项目(F2013106079)；石家庄市科技计划指导项目(141131561)；石家庄学院科研平台建设成果(XJPT002)．

1000-1190(2015)05-0696-05

O415

A

*E-mail: yangzhihon_g@163.com.