《数学分析》教学与中学数学衔接困难的成因分析及解决建议

龚小兵

（内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641000）

1 引言

《数学分析》(Mathematical Analysis)是分析学中最古老、最基本的分支.一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科.它也是大学数学专业的一门基础课程[1].事实上，它不但是分析课程（复变函数、实变函数、泛函分析等课程）的基础，而且《数学分析》中的许多数学思想和方法往往渗透到了复变函数、实变函数和泛函分析等后继课程中，如果不能清楚理解和掌握《数学分析》中的思想和方法，必会影响数学专业后继课程的学习，甚至影响学生进一步深造.因此《数学分析》在数学专业课程中占有非同寻常的地位.学好《数学分析》是继续学习数学专业，甚至继续深造的必要条件.另外，《数学分析》课程也是数学专业学生进入大学首先接触的一门专业课程，是学生学完中学数学后首先遇到的一门高等数学课程，因此它的学习效果会直接影响学生继续学习数学专业的兴趣.因此，许多学者对《数学分析》教学做了深入研究，主要在两个方面：一是对《数学分析》的教学方法进行了研究（如[2-3]）.二是对《数学分析》中具体知识点进行了研究（如[4-5]）.然而，21世纪中国教育发生了两大重要变化，第一，精英教育和大众教育成为了中国高等教育发展的两个方向[6]，也就是接受高等教育的人数大幅增加，进而导致学生平均入学水平下降和大学入学学生相互的差异程度增大[7].第二，初等教育进行了新课程改革,要求中学数学教学要关注数学知识的发生、发展、形成和应用的过程[8]，而其中最大的变化是对中学数学教学内容进行了改革.这两大变化直接导致新时期数学专业的《数学分析》教学面临着新的问题，即《数学分析》教学与新课标下高中数学的衔接问题.2008年，潘建辉[9]把大学数学和新课标下高中数学内容进行比较，对大学数学与高中数学的脱节与衔接问题进行了研究，提出了一些策略；2011年，汤琼等[10]不但比较了大学数学与高中数学的内容，还进一步比较了数学思想方法，提出教学内容方面精简重复部分，补充删除部分，加强应用部分，而在数学思想方面注重数学软件的应用；2012年，孔祥勇等[11]研究了《数学分析》与高中数学内容的衔接问题，并针对这些问题对《数学分析》教学提出了一些建议；2013年，吕辉等[12]从符号差异、内容重复、内容脱节三个方面论述了《数学分析》与中学数学的差异；同样在2013年，高雪芬[7]在其博士学位论文中更是详细地阐述了大学数学与中学数学衔接问题，具体为衔接的困难和具体表现、导致衔接困难的因素和解决策略.本文从中国教育模式改革、教材体系、教学目的等方面分析了导致《数学分析》教学与中学数学衔接困难的原因，并针对这些原因提出了通过改革教育模式、改革《数学分析》教材、改革教学内容等方式彻底解决《数学分析》教学与中学数学衔接困难的问题.

2 《数学分析》教学与中学数学衔接困难的成因分析

正如引言所述，国内外学者都意识到了《数学分析》教学与中学数学衔接困难，也对导致其困难的具体原因进行了研究，并提出了一些行之有效的建议.其实导致《数学分析》教学与中学数学衔接困难的深层次原因是中国教育模式转型导致的.下面详细分析导致衔接困难的成因.

2.1 中国教育模式改革导致衔接困难

新中国成立后，中国教育正处于百废待兴的关键时刻，由于中国是社会主义国家，而苏联进行社会主义建设已经取得了巨大的成就，也积累了丰富的经验，因此中国的教育模式实行一边倒，采用苏联模式.按照苏联模式建立高校，聘请苏联专家到中国培养教师、上课，由苏联专家和在苏联专家指导下编写讲义和教材[12]，新课程改革以前的基础教育和现在的高等教育都是在这个大环境下形成的.新课程改革其本质就是中国教育模式改革.新课程改革以后，基础教育体系实质已经不是苏联教育体系，而是按照欧美体系进行操作，可是高等教育却没有进行实质的改革，这就必定导致基础教育与高等教育出现衔接问题，《数学分析》教学与中学数学衔接困难问题就是其中的一个具体表现.

2.2 教材导致衔接困难

正如2.1节所述，作为中国教育模式改革的具体表现之一，《数学分析》教学与中学数学衔接困难最重要的体现就是《数学分析》教材与中学数学教材的衔接.苏联模式强调系统知识，这充分体现在教材的编写上.如国内现有使用较普遍的《数学分析》教材（《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编，高等教育出版社：2004；《数学分析》，陈传璋等编，高等教育出版社，1978；《数学分析》（第三版），华东师范大学数学系，高等教育出版社，2002）都非常注重《数学分析》知识的系统性.如先讲《数学分析》的研究工具——极限，而对极限的讲解特别注重知识的严谨性，都是定量的刻画，如极限的ε-N，ε-δ定义，并要求会用这些定义证明极限的相关习题和命题.这些证明都要求很强的技巧，特别对不等式的要求很高.再如初等连续函数的定义是在定义了基本初等函数后再给出的，而基本初等函数中就有三角函数和反三角函数，如果不知道反三角函数的定义或者相关性质就无法较好地理解初等函数的定义.再如极坐标在计算重积分时是一个非常有效的工具，如果中学数学没学极坐标知识，则在使用上述教材进行教学时就很难处理.综上，要使用上述教材进行《数学分析》教学就必须要有一定系统、有难度、技巧较高的高中数学基础知识.

随着新一轮新课程改革启动，中国基础教育课程标准也进入了修订阶段，其中当然包括数学课程标准的修订.新的课程标准更关注学生的学，强调学生的主体地位，引导学生进行思考，强调知识的发生、发展、形成和应用过程[8].其本质可以认为是学习欧美教育模式.此种模式不再把知识的系统性放在第一位，而是循序渐近学习数学知识，让人人学有用的数学让职业中学的学生少学一点数学，让普通高中有愿望升学的学生学多一点数学.所以相应的中学数学教材也不应把知识的系统性放第一位，而是把教材分为必修和选修，虽然必修内容每个高中毕业学生都学过，但是必修内容只是苏联教育模式下高中数学教材中的主要部分，与老版本相比删去了一些内容，如三角函数和差化积和积化和差，反三角函数和极坐标等知识点.并且对如不等式变形等技巧要求降低.

综上，按照苏联教育模式编写的大学《数学分析》教材与按照欧美教育模式编写的基础教育教材存在脱节和知识重复的问题，如《数学分析》教材中需要用的不等式技巧、三角函数及其变形、反三角函数和极坐标等知识点，新课标下的中学数学教材中却没有；而本应在《数学分析》中出现的极限、导数、积分等在中学数学教材中却又重复出现.即中学毕业后进入大学的准大学生其所掌握的数学知识还不能达到《数学分析》要求的数学基础知识.这是导致《数学分析》教学与中学数学衔接出现困难最重要的一个因素.

2.3 教学目的导致衔接困难

数学新课程改革的目的是通过确定学生的主体地位，强调学生的学，通过数学知识的发生发展过程培养学生的创新精神和实践能力，通过学生的提问和反思培养学生的思考能力.然而由于高考的压力，新课程改革的目的很多时候流于形式.因此高考涉及的内容总是以例题或者习题的模式反复练习，高考不涉及的内容有的一带而过，甚至直接被删掉不讲.如函数零点存在性知识点的教学，新课标要求的重点是让学生理解零点的存在性，这个知识点的教学目的与《数学分析》的教学目的是一致的，但由于高考试题出题方面的原因，高考中在对这个知识点的考核往往是考核零点的个数，这就导致中学教师在此知识点上教学重心转移到零点的个数，与《数学分析》的教学目的不一致.所以中学数学的教学很大程度上是以高考为指挥棒进行教学，学生掌握的数学知识都是与高考有关的知识.而《数学分析》的教学是根据教学大纲进行教学，教学大纲是根据《数学分析》内在知识体系和《数学分析》在整个数学专业课程体系中的地位制定出来的，《数学分析》的教学目的是为学习数学专业后继课打基础，是为学生进一步深造打基础，是让学生了解《数学分析》的知识体系，是培养学生的逻辑思维能力、思辨能力.正因为中学数学的教学目的和《数学分析》的教学目的不一致，其结果必然导致高中毕业生具备的数学基础达不到《数学分析》需要的基础，从而导致大学《数学分析》的教学与中学数学衔接困难.

3 对解决《数学分析》教学和中学数学衔接困难的建议

要想彻底解决《数学分析》和中学数学衔接困难问题，就必须进行多方面的改革.

3.1 改革教育模式

只有从整体规划中国教育模式，才能形成一个科学完整的教育体系，避免衔接困难问题的出现.要么采用前苏联教育模式，即过去的教育模式，要么采用欧美模式，即基础教育进行改革后高等教育也应做相应的改革，不能只改基础教育，不改高等教育，或者是两者均改革，但是两者改革后的教育模式不是同一模式，这样必定会出现衔接问题.其实自从基础教育进行新课程改革以后，即采取欧美教育模式后，中国高等教育模式的改革也就启动了，如现在很多高校的办学都在向欧美学习，许多欧美教材已经引入国内，这将为解决《数学分析》教学和中学数学衔接困难问题创造大好环境.

3.2 改革《数学分析》教材

虽然很多高校的办学在向欧美学习，高等教育的教育模式也不完全是苏联模式，但是教材的改革却显得迟缓，从国内普遍使用的《数学分析》教材版本可以看出，大多数学校由于认识到《数学分析》课程的重要性，都希望给学生打好分析基础，因此很多院校数学专业在选取《数学分析》教材时都非常重视知识的系统性.因此国内很多高校选用《数学分析》教材时还是选用在苏联教育模式下编写的《数学分析》教材，很少选用欧美教材.而另外一个选用苏联模式下编写的《数学分析》教材的原因是欧美教材虽然能与欧美模式下的中学数学教材有很好的衔接，但是其知识系统性、深度不够，需要另外配套深度稍高的教材，这必将增加大学生的负担.所以现在迫切需要对现有《数学分析》教材进行改革.教材改革应为以下两个方向：一个方向是在现有《数学分析》教材的基础上加入中学数学删掉的知识点、技巧、技能，整合成新的《数学分析》教材，特别注意和中学数学衔接.研究型高校或为国家培养基础理论研究的精英人才的高校或专业可使用这类教材.另外一个改革方向是减弱《数学分析》课程知识的系统性，与中学数学教材无缝接轨.应用型本科院校可采用这种教材改革方式.因为应用型高校的培养目标是培养高级应用型人才，学科教学体系已经不适用于此类数学专业，即对《数学分析》系统性知识要求不高，而需要的是课程单元知识，即将《数学分析》知识分成单元后融入行业或者职业中.这样的改革刚好符合教育部关于高校转型改革的思路.解决《数学分析》教学与中学数学衔接困难问题.

3.3 改革教学内容

正如2.3节所述，中学数学教学大多以高考为指挥棒，在数学基础的掌握方面还有一定的欠缺，达不到《数学分析》要求的数学基础.因此《数学分析》与中学数学之间存在差距.这就是导致《数学分析》教学和中学数学衔接困难的问题.因此，除了3.2节中改革《数学分析》教材外还可以改革《数学分析》教学内容.一种是学习欧美模式，将《数学分析》和中学数学中间裂痕所涉及的知识移到中学高考后进行考核，即对报考相关专业的考生进行数学加试，通过单独考试这个环节促进学生在中学阶段提前学习这些删掉的知识、技能和技巧.这种方式需要全国大范围的招生考试改革；另外一种方式就是在大学现有《数学分析》内容的基础上增加教学内容，即在开设《数学分析》课程之前开设一门衔接课，补充讲解删掉的知识技能；第三种方式就是让学生对删掉的知识技能以自学的形式进行补充；第四是通过减少《数学分析》教学内容，与中学数学接轨.这种方式适合教学型为主的高校或者应用型本科院校.

4 结论

要完全解决《数学分析》与中学数学衔接困难的问题需要从整体出发，高层建瓯地设计中国的教育模式，需要教育部高等学校数学类专业教学指导委员会与中学课程标准研制组协同一致才能完成.

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