标准和优美厄米－高斯光束通过圆环孔衍射的比较

苏婷燕 顾菊观 曹佳妍 杜琴画 胡 凯

（湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）

标准和优美厄米－高斯光束通过圆环孔衍射的比较

苏婷燕 顾菊观 曹佳妍 杜琴画 胡 凯

（湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000）

标准厄米－高斯光束（Standard Hermite－Gaussian beam，SHGB）和优美厄米－高斯光束（Elegant Hermite－Gaussian beam，EHGB）是厄米－高斯光束的两个特殊解．应用柯林斯（Collins）公式研究两种光束通过圆环孔的衍射特性，用Matlab软件进行一些数值模拟．模拟结果表明：这两种光束通过圆环孔的衍射存在明显差异，在x、y轴方向上SHGB衍射光强始终比EHGB大，差异来源于标准厄米－高斯光束与优美厄米－高斯光束的场分布的差异．

标准厄米－高斯光束；优美厄米－高斯光束；圆环孔；衍射

激光通过复杂光学系统的传输特性，一直是科学工作者感兴趣的研究课题［1－8，10－14］．目前，对标准厄米－高斯光束的研究相对比较多，而对优美厄米－高斯光束［13，14］的研究则相对较少；另外，对于圆环孔的衍射研究虽然有涉及但是能查阅到的文献相对比较少，而且研究方向比较单一．基于这些情况，本文对比两种光束，并运用柯林斯公式研究了标准厄米－高斯光束和优美厄米－高斯光束通过圆环孔的衍射特性，利用Matlab进行一些数值模拟并分析衍射特性．

1 标准厄米－高斯光束和优美厄米－高斯光束通过圆环孔的传输特性

二维标准厄米－高斯光束的场分布可用下式表示［6，10，11，13，14］

二维优美厄米－高斯光束的场分布可用下式表示［6，13，14］

其中，E0是振幅；k是波数；px，py分别为在x和 y方向的复曲率半径；Np，Nq分别为p阶和q阶厄米多项式；ωx，ωy分别为厄米－高斯光束在x和y方向的束腰大小．两种光束表达式区别主要在于：二者厄米多项式中相差系数

p＝4，q＝6阶数的两种光束的光强分布如图1所示（图中纵坐标I为相对光强）．由图可知，虽然两者只在厄米多项式中相差系数，但是其光强分布相差甚远．SHGB光束的光强远远比EHGB光束的大；且SHGB光束边缘的光强比中心的大，而EHGB光束光强集中在中心．显然，可猜测这两种光束通过圆环孔的衍射肯定也存在很大差异．

二维的标准厄米－高斯光束通过半径为r的圆孔的近轴ABCD光学系统，它的输出场可用柯林斯衍射积分表示为

将硬边圆孔的窗口函数拓展为一组有限复高斯函数之和［9］

式中，al和bl分别为展开系数和复高斯函数系数．

标准厄米－高斯光束通过半径为r的圆孔后，出射场用柯林斯衍射积分公式运算可得出射场分布

二维标准厄米－高斯光束通过圆孔的出射场分布的传输近似分析解与文献［10］、文献［11］一致．

类似地，可求得二维优美厄米－高斯光束经积分运算通过圆孔的出射场分布

对于光束通过圆环孔的解析结果，利用公式E＝E2（r2）－E2（r1）即可求得相应光束通过圆环孔的光强，而r2，r1分别是圆环孔的外半径和内半径．

2 计算机数值模拟

对式（5）、式（7）进行积分计算，应用Matlab分别得到SHGB与EHGB光束通过圆环孔（内半径r1＝0．5mm，外半径为r2＝1．0mm）的衍射特性．假设束腰在孔面上，取E0＝1，λ＝632．8nm，ωx＝ωy＝ω0＝1mm．厄米－高斯光束的厄米多项式的微分表达式为则p＝4，q＝6［6］时：

对于SHGB：

由图2（a）、（b）（I为相对光强）可知，z轴上相对光强的振动变化随着观察屏远离衍射屏（即圆环孔）其振动逐渐消失；从一开始的几何投影区，到距离孔较远的菲涅耳衍射区（即近场衍射区域），到相距甚远的夫琅禾费衍射区（即远场衍射区），3个区之间是逐步发生改变的［10］．比较图2可以发现SHGB光束与EHGB光束通过圆环孔的衍射，在菲涅耳衍射区SHGB的整体光强比EHGB的小；SHGB光束菲涅耳衍射区过渡到夫琅禾费衍射区对应的z比EHGB光束要大，其原因是SHGB光束光强分布不集中；在夫琅禾费衍射区，SHGB的整体光强比EHGB的大，并且SHGB衰减相对比较缓慢，而EGHB相对衰减较快，其原因是由两束光的光强分布差异引起的．

根据图2，比较图3（a）、（b）、（c）、（d）（I为相对光强）可知，在菲涅耳衍射区两种光束的衍射存在明显差异，EGHB的衍射峰比SGHB的衍射峰多，且整体衍射光强较小，其原因是EGHB光强整体分布比SGHB相应减小．比较图3（e）、（f）、（g）、（h）可知，在夫琅禾费衍射区，两种光束通过圆环孔的衍射图样有相近，但仍然存在一定的分布形状差异，其原因是两束光的光强分布有较大的差异；其衍射强度都是SHGB衍射光强较大．y轴方向的衍射光强图样和分布情况与x轴方向相似，不再以图表示，其原因是光强分布是一致的．

3 结语

本文用柯林斯公式分析和由Matlab软件进行数值模拟得到了厄米多项式p＝4，q＝6的标准厄米－高斯光束和优美厄米－高斯光束通过圆环孔的衍射光强分布图．模拟结果表明：SHGB光束、EHGB光束通过圆环孔的衍射，光强I跟z的关系变化趋势基本一致，SHGB光束菲涅耳衍射区过渡到夫琅禾费衍射区对应的z比EHGB光束要大，SHGB衰减比EGHB相对比较缓慢，SHGB整体衍射光强比EHGB要大．在x、y轴方向上SHGB衍射光强始终比EHGB大；两种光束通过圆环孔的衍射图样有相近，但仍然存在一定的分布形状差异．

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COMPARATION OF THE CIRCULAR HOLE DIFFRACTION BETWEEN STANDARD HERMITE－GAUSSIAN BEAM AND ELEGANT HERMITE－GAUSSIAN BEAM

Su Tingyan Gu Juguan Cao Jiayan Du Qinhua Hu Kai

（School of Science，Huzhou Normal College，Huzhou，Zhejiang 313000）

Standard Hermite－Gaussian beam（SHGB）and elegant Hermite－Gaussian beam（EHGB）are two special solutions of the Hermite－Gaussian beams．The diffraction characteristics of the two kinds of beams passing through a circular hole are studied by Collins equation．Some numerical simulations are illustrated with Matlab software．The simulation results show that significant differences exist in the circular hole diffraction for the two kinds of beams．Especially，the diffracted light intensity of SHGB is always larger than of EHGB in the xand yaxial direction．These differences are resulted from the different field distributions of SHGB and EHGB．

standard Hermite－Gaussian beam；elegant Hermite－Gaussian beam；circular hole； diffraction

2014－01－26

2013年浙江省大学生科技创新项目（2013R425020），湖州师范学院高等教育研究项目（GJB12011），2012年湖州师范学院第五届大学生科研项目．

顾菊观，男，教授，主要从事激光光学、光电材料及物理教学的研究．gjg＠hutc．zj．cn