从重要极限谈高等数学的数学美

李 昕

（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

一个古老的问题：“数学究竟属于艺术还是科学？”目前无人能给出二选一的答案。因为数学本身既是科学也是艺术。美学的四大构件是史诗、音乐、造型（绘画，建筑等）和数学。数学固有的优美——柏拉图固体的正五面体和美丽的分形图等，并不逊色于金字塔、莫扎特、达·芬奇的著作[1]。然而最近，国内某知名娱乐节目做了一项大学生推荐“禁书”调查问卷，结果出人意料，80%的被调查学生竟选择了《高等数学》。这虽属娱乐，但也不禁令人深思，为什么会有那么多人对高等数学存在误解。现行的高等数学教材版本很多，但内容基本一致。教材内容缺乏数学文化，更别提趣味知识了，这是目前教材存在的不可回避的问题，这也导致很多学生觉得高等数学枯燥无味、高不可攀。针对这种状况，笔者认为高校教师要挖掘高等数学中的数学美，这是激发学生学习兴趣，提高教学质量的重要途径，同时也是启迪悟性、挖掘潜能、创造新知的有效途径。

极限是高等数学中非常重要的内容，高等数学中提到两个重要极限应用非常广泛，分别为第一个重要极限在各个版本的教材中都有充分的叙述，本文从第二个重要极限入手，阐述高等数学中的数学美。

一、重要极限的由来、内容

第二个重要极限的由来，要从金融问题连续复利说起[2]。假设某银行年利率r（为简单起见，不妨取r=1），实行复利计算存款利息（即每个存款周期的利润自动计入下次存入的本金计算利息）。某顾客在该银 行 存 入 P0元 ，一 年 后 的 收 益 为

如果将一年平均分成n个时间段，每个时间段计一次利息，那么一年后该顾客的收益为

事实上没有哪家银行会这样做，但它却给数学家们提供了研究思路。数学家将其抽象出来，并给出严格的证明，这为以后的应用提供了完美的保障。正如德国数学家Don Zagier所提到的，数学思想其实是对结构的一般性研究，而不是对预先指定的对象的个别研究。这些对象究竟位于何处，是内在的还是外在的，主观的还是客观的，仅仅出现在我们的脑海中还是存在于现实世界的某个地方？换句话说，数学思想本身已经很美妙，数学家们在发现数学的同时，也在创造数学。

二、高等数学中的数学美

从第二个重要极限体现的数学美来看，高等数学的美是内敛的、隐蔽的、深邃的，需要我们悉心挖掘和细细品味。

（一）严谨美、抽象美

美国学者怀尔德把抽象作为11种数学发展动力中的一个。生活中许多事情经过有限次的实验，我们也能得到接近真理的结论，正如上述重要极限一样。当n取足够多、足够大的值时，我们能直观地看到数列无限趋于无理数e。然而数学远远不会满足于此。将这一金融问题抽象为数列极限问题，利用单调有界收敛准则，并结合二项式定理，数学家给出了完美的证明过程，证明的过程都是言必有据，一步紧扣一步，严密准确的。从中我们不难看到，数学源于生活、生产实践，是从生活、生产中抽象出来的，任何一个数学的定义、定理都是经过不断被补充、完善和总结而得到的，是人类智慧的结晶。同样，牛顿和莱布尼茨把几何中平面曲线的斜率、曲边梯形的表面积、曲顶柱体的体积以及物理学中的变速直线运动的路程、变力做功、转动惯量等具体问题抽象为导数与定积分的概念，利用数学语言和符号，通过纯粹的数学量与量的变化关系进行了一系列推导和验算，得到了工业革命不可缺少的奠基性的理论基础。在数学中，人们依靠抽象和想象建立起一个宏伟无比而又十分精巧的“数学世界”。在抽象的世界里，点没有大小，线没有宽度，而没有厚度堆积的石子和成捆的树枝都可以表示数量关系。通过抽象和概括后的分析推导过程中没有客观事物的任何本质属性，也正因此所得到的结果适用于一切具有共同前提的所有问题中，这正是高等数学严谨美、抽象美的特点。

（二）简洁美、符号美

数学家狄德罗曾指出“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答”[3]。利用第二个重要极限解决那个令人充满无限想象力的金融问题，正体现了高等数学的简洁美。在数学中，我们总希望一个公式的表达式尽可能简单扼要，命题的证明尽可能简洁。而数学符号能节省人们的思维，因此人们在发明数学符号的过程中也是用心良苦。表达式用最简单的方式提示连续复利的储蓄问题的量及其关系，这种简洁不是贫乏和肤浅，而是充实和深奥。有了它，我们可以脱离客观事物本身去研究单纯的数量关系。极限的定义（ε-δ语言）只有简短的四句话，却深刻、准确地表达出极限的内涵；定积分符号∫a

bf(x)dx将和式极限表述完美简单，将曲边梯形的面积、曲线弧长等冗长的问题表述明了化。高等数学中处处显示出数学的简洁美，不禁让人想起欧几里得的《几何原本》这样一部具有伟大意义的巨著，仅从5个公式和5个定理出发，可以证明出一些简单的定理，而这些简单的定理就是那些更深奥的定理的基石。这样，一个精密的几何体系就一点点建立起来了。虽然深奥的定理不能立刻得到很简单的证明，但是无论如何复杂的定理，都不过是由一系列简单的演绎论证组成的。数学正是用这最简单的形式表示出最复杂的理论，简洁却不简单，给我们心灵带来很大的震撼。

（三）统一美、应用美

毕达哥拉斯曾说过：凡是美的东西都有一个共同特征，即部分与部分之间，以及部分与整体间固有的协调一致。这种协调一致就是统一性，它给人一种整体和谐的美感。之所以称为重要极限，是因为其在高等数学求极限问题中有重要应用，且应用灵活、广泛。不失一般性，将n用一般的数学变量 x来代替，这一公式的应用范围更加广泛。遵循其内在的逻辑性，重要极限也可以写成无论形式如何变换，确定自变量变化趋势后，若被求极限的函数是(1)∞型，都可利用这一重要极限的结论来计算。如求极限借用重要极限结论可得=e2。我们所俗称的(1)∞型函数极限都可以利用第二个重要极限统一求得结论。无论是曲边梯形面积，还是旋转体的体积，无论是变力做功路程问题，还是转动惯量问题，我们都可以统一应用定积分来解决。而这些知识带给我们的美妙感觉也只是高等数学的统一美的一角。高等数学中处处充满着统一美，它为人们展示了富有哲理的思维美，一些表面上看起来不相同的概念定理、法则，在一定的条件下可以处于统一体中[4]。这种美让我们想起素数理论，想起拉东变换，想起“模糊数学”：素数理论为电子银行的密码学提供了新方法，拉东变换为X线断层摄影术提供了基础，而所谓“模糊数学”可以让洗衣机变得没有噪音，也可以使坐在高速列车上的乘客在列车拐弯时喝咖啡不会溢出。

总之，数学这门艺术中所涉及到的美学标准并不一定是视觉上的漂亮，但也确是客观存在的，且具有无穷的魅力。它将杂乱整理为有序、经验升华为规律，它所表现出来的那种抽象、简洁、统一的美是绚丽多彩、美不胜收的。有些学生之所以认为高等数学枯燥无味，也只是对数学美缺乏体验的缘故。作为数学教师不仅要考虑教什么、教多少，更应该不断提高自己的学术水平，增强自身对数学美的鉴赏能力，悉心挖掘高等数学中的数学美。并在教学过程中有意识地揭示这种美，并更好的理解教学内容，使学生能够认识并欣赏这种美，从而化被动学习为主动求知，身心愉悦地学习和研究数学。

[1]林开亮.数学之恋[J].数学文化，2014，5（4）：99-104.

[2]郭镜明，韩云端，章栋恩，等.美国微积分教材精粹选编[M].北京：高等教育出版社，2012：2-8.

[3]臧运华.探讨在《高等数学》教学中渗透数学美的教育[J].宁波大学学报，2005，27（5）：137-138.

[4]李辉来，袁缘.关于高等学校数学文化教育的若干思考[J].吉林师范大学学报，2012，33（1）：20-23.