数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通

喻 平，董林伟，魏玉华

（1．南京师范大学 课程与教学研究所，江苏 南京 210097；2．江苏省中小学教学研究室，江苏 南京 210013）

数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通

喻 平1，董林伟2，魏玉华1

（1．南京师范大学 课程与教学研究所，江苏 南京 210097；2．江苏省中小学教学研究室，江苏 南京 210013）

数学观经历了由静态到动态的演变过程．静态数学观下的传统的数学教学偏重于结果、思维、论证与证实，动态数学观则是把数学看作处于动态发展过程中的知识，从而一定包含错误、尝试、改正和改进的过程．数学实验教学充分体现了过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实的有机融合，实现了静态数学观与动态数学观的融通．

静态数学观，动态数学观；数学实验；数学教学

数学观根植于数学哲学，是人们对数学本体和数学发展的认识．数学观的演变经历了由关注知识本身到关注实际教学活动，即由静态的、绝对主义数学观到动态的、可误主义数学观的发展过程．所谓动态的数学观，是把数学看作处于动态发展过程中的知识，从而一定包含错误、尝试、改正和改进的过程．动态的数学观强调知识的不确定性和知识的发展性，关注人类创造知识的环境和数学的发展历程．动态的数学观有以下4个特征：一是过程性．动态的数学观将数学看成是由问题、语言、方法和命题组成的一个逻辑链．数学产生于问题，而问题的提出离不开语言的描述，问题的解决又需要建立数学模型（方法），最后才能形成结论（命题），数学教学需要展示这个完整的过程．二是问题性．数学源于问题，问题是数学产生的逻辑起点，因此数学教学应围绕着数学问题来展开研究，而不是告诉学生已经抽象、概括了的结论．三是发展性．数学的发展是证伪与证实相互交织、螺旋前进的过程，而不是绝对真理的静态堆积．四是方法性．数学结论的发现存在多种途径，如观察、实验、猜测、计算、推理、验证等，数学教学应让学生掌握研究问题的不同方法．

数学实验是指通过动手动脑“做”数学的一种数学学习活动，是学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究活动．因此，数学实验着力于学生的学，鼓励学生以类似科学实验的方式进行主动探索，强调“从做中学”、“从实验中学”，通过学生主动的“做”或“实验”等探究过程，掌握数学知识，积累基本的活动经验，培养创新精神、动手能力和解决问题的能力．数学实验教学将过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实有机融合，实现了静态数学观与动态数学观的融通，使得数学教学变得完整而有活力．

1 数学实验教学体现了过程与结果的统一

“重视过程，还是重视结果”是数学教学中经常讨论的问题．现代认知心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识，这两种知识本质都是结果性知识，前者是事实性知识，后者是规则性知识．研究者把由过程性体验形成的经验性知识称为过程性知识，这是对知识分类的一种补充[1]．所谓过程性知识是指伴随数学活动过程的体验性知识，体验分为4个阶段：（1）对知识产生的体验．体会知识产生的缘由，明晰新旧知识之间的关联和因果关系．（2）对知识发展的体验．体悟知识发展的动因，包括数学学科的内部因素和促进知识发展的外部因素，习得探究数学问题的方法（逻辑的和非逻辑的）和策略．（3）对知识结果的体验．领会蕴涵在知识中的数学思想方法，感受数学结构的美．（4）对知识应用的体验．体会数学应用的广泛性，积累解决问题的认知策略和元认知知识，形成自我监控的意识和习惯．

将知识分为结果性知识和过程性知识，对应到数学教学来看就应当有结果性知识的教学和过程性知识的教学．结果性知识的教学注重让学生理解数学基础知识，掌握数学基本技能，即理解基本结论并能用这些结论去解答数学问题．过程性知识的教学则关心学生对知识产生和发展的体验，这种体验不仅能明晰知识发生发展的来龙去脉，而且会形成经验，所谓“数学活动经验”的形成和发展主要来自于过程性知识的习得．因此，完整的数学教学应当是结果性知识教学与过程性知识教学的结合，是结果与过程的融通，单纯偏重过程取向的教学或结果取向的教学都存在一定的片面性．

数学实验教学是将抽象理论变为直观化、可视化的一种教学方式，其过程是学生在教师的引导下，亲身经历一个概念、规则的形成过程，通过动作思维和逻辑思维感悟知识发生过程、理解知识结果．数学实验教学将知识背后的发现和探索过程以合理的方式展现出来，充分体现了动态数学观的过程性特征；另一方面，对学生而言通过探究经历获得的知识会更加稳固地贮存于自己的认知结构中，强化了知识的静态特征．例如在“探究多边形外角和”一节中，通过对三角形、四边形、五边形度量、拼图、转笔等一系列的探究活动，让学生在过程探究中获得基本活动经验，并获得“多边形的外角和为360°”的结论[2]．

因此，数学实验教学本质上是以数学问题为出发点，以获得数学结果为目标，充分展示探究过程的实践活动，是过程与结果的完美结合和辩证统一．

2 数学实验教学体现了操作与思维的统一

传统的观念认为，数学是一门纯粹的演绎科学，数学活动也仅是单纯的思维活动．其实，数学从它诞生之日起，就与人们的生产实践息息相关，许多数学理论的产生往往源于生活．回顾数学的发展历程，实验活动占有非常重要的地位．

在传统的数学教学中，教师注重知识的系统性和逻辑的严谨性，学生主要是记住数学结论，然后进行题海式的训练，对于学生的动手操作能力则关注较少．此外，教师对学生思维能力的培养也仅限于逻辑思维和抽象思维，而对形象思维，直观思维、创新思维、发散思维等也重视不够．动态的数学观强调思维方式的多样性，有效的数学教学不能单纯地依靠模仿和记忆，也不能完全靠抽象的思维去推理，动手操作、直观感知也是获得知识的重要手段．《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）提出：“数学教学要培养学生的基本活动经验”，“动手实践也是学习数学的重要方式”[3]．此外，知识再现的“金字塔规律”显示：讲授、阅读、视听结合、演示、全组讨论、实验操作、快速应用并向他人讲授这7种学习方式中，知识复现效果依次递增，即讲授法的知识再现效果最差，而实验操作和快速应用并向他人讲授的效果最好．

数学实验教学将动手操作和动脑思考有机结合在一起，实践性和操作性是它的外部特征，通过实验活动促进学生思维的发展则是数学实验的核心和最终归宿．抽象概括能力、推理能力、判断能力、探索能力都是数学思维能力的要素，在一个数学实验中，观察与分析交织，抽象思维与形象思维并存，从实验前的猜想，实验中的思考，以及实验后的总结，都是发展学生思维的优良环境，同时也为培养学生创造思维力提供了空间．学生从可视化的数学内容入手，通过动手操作、动脑思考，逐步对直观的知识进行抽象，挖掘和感悟实验背后所蕴含的数学原理、数学方法，最后获得数学结论，做到了将操作与思维的完美结合．例如，在“探索三角形三边关系”的实验中，让学生尝试用不同长度的木棒搭三角形，在一系列的操作中，学生必然面临“搭成”和“搭不成”两种情况，进而引发学生思考：为什么有的能“搭成”而有的“搭不成”？实验体现了操作引领思维、思维修正操作的协同过程，这一过程，使学生的探索能力、推理能力、判断能力、抽象概括能力都得到了训练和提高．

3 数学实验教学体现了实验与论证的统一

从数学认识论的角度来分析，实验的思想来源于数学经验主义，论证的思想来源于数学逻辑主义．现代数学经验主义把经验理解为自然科学的实验，因为自然科学的实验已超出感性直观限定的范围，包含了一定的理性成分，因此有学者将其称为“理性经验”．显然，经验主义强调感觉、观察、实验在数学发展中的作用．逻辑主义学派十分注重逻辑在数学理论中的作用，甚至把数学与逻辑等同起来，罗素认为：“逻辑即数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代，青年与壮年没有截然的分界线，故数学与逻辑证明亦然．”[4]经验主义和逻辑主义分别从不同视角审视数学，都有描述数学本质的积极因素，但也有各自的片面性．数学理论的形成，最初源于人们对现实原型的性质的分析和探索，从中积累经验，即使是从数学自身体系中提炼问题，也需要人们的经验作为支撑，这是一种理性的经验．而逻辑是检验数学真理的间接标准，是数学论证的工具，是数学知识理论化和系统化的手段，可以说，离开了逻辑，数学就不能发展．

受静态数学观的影响，传统的数学教学多倾向于是论证．认为数学的研究对象是形式化的思想材料，整个数学是一个形式化的逻辑体系．数学是概念、公式、定理、法则等“绝对真理”的总和，数学学习就是套用公式去计算，或者对运用定理对命题进行严格的逻辑论证．这种论证取向的数学教学无疑压缩了学生数学学习的过程．动态的数学观则认为数学结论的发现存在多种途径，很多结论就是来源于实验的发现．波利亚指出：数学有两个侧面，一方面是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看数学是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门实验性的归纳科学．欧拉说得更为直接“数学这门科学需要观察，也需要实验”．

实验与论证应是数学教学不可缺少的两个环节，通过实验得到猜想，再通过论证去证实或证伪猜想，这样才是完整的数学教学．数学实验教学可以让学生在“做数学”的过程中体会知识的来源，以及知识发生、发展的过程．将课本上完美无缺的结论，还原成它原本的形态，让学生在做数学的过程中感受探索、发现的乐趣．但一个好的数学实验不会仅停留在动手操作层面，它必然是实验与论证的统一．即先让学生通过动手操作，获得直观感知，再将数学内容进行抽象，获得数学猜想，最后再通过严谨的方式对猜想进行论证．例如：在“探索三角形的内角和”一节，教师可以提供剪刀，量角器等实验工具，放手让学生去探究，学生很容易通过测量或者拼图的方法得到结论，这样的实验过程是必须的，让学生在动手操作中感受探究的乐趣，获得成功的体验．但接下来，教师应使学生明白无论是测量还是拼图，都是存在误差的，此时再抛出问题：如何进行严格的论证？这样便将实验与论证结合在一起了．

4 数学实验教学体现了证伪与证实的统一

证实就是证明一个问题的真实性．证伪思想则来源于波普尔的证伪主义．他认为能被经验所证实的仅是个别的结论，但命题是可以用经验来证伪的，因为任何反例的得出都是对结论的否定．

自古以来，人类就对真、善、美有着执着的追求，这种执着延伸到教育领域，就形成了对课程和教学证实的追求，由此就形成了教育研究者、一线教师、以及学生不健全的认识信念：认为数学教学就是不断地证实过程．从课程的角度来看，证实是教材编写的指导思想，教材中的数学知识编织成一个庞大的、严密的逻辑体系，在这个体系下，概念、命题、定理、公式、法则等都以准确无误的结论的形式出现．从教学的角度来看，教师往往依据教材，想方设法地将教材中的确定性知识传递给学生，让他们相信知识是正确的，是不容置疑的真理，因此教学方法也多采用论证的方式，即通过严密的推理，得到最终的结论．而这里所谓的推理过程也是预先设计好的，学生的工作就是沿着既定的路线走完而已，之后便进入到知识的应用环节．

由于我们的教学总是能够对一个又一个命题给予无懈可击的解释，对事物美的标准进行完美无瑕的刻画，对真理的绝对性做出严格缜密的证实，因而在学习者心中树立了一种知识至上、迷信追随的信念：由一代又一代人创造和传承的知识其正确性无可非议，科学知识的真理性不容置疑，学习的任务就是虔诚地接受知识、领会知识和应用知识．长此以往，学习者会形成二元论色彩浓烈的绝对主义知识观，把知识作为结果的、静态的成品看待[5]．

客观地说，证实只是部分地解决了“是什么”和“为什么”两个问题，因为在解决“为什么”这个问题时，方法是单一的论证．不提及问题产生的缘由，探寻和解决问题的过程、数学文化等要素．这种单一的教学方式，必然导致教学目标的偏失和某些教学功能的缺失，导致学生思维定势，发现精神、怀疑精神也会慢慢消磨殆尽，最后学生们变得没有问题意识，形成一种真理至上，绝对主义的数学观．显然这样的教学是不完整的，这样的数学观也不全面．

动态的数学观则认为，数学不是绝对真理的堆积，数学是在证伪与证实的交替中，螺旋向前发展的．数学教学应是由不确定知识到确定知识的渐进过程．在探寻结论的过程中，证伪起着非常重要的作用，在确定结论的时候，证实又发挥着不可替代的作用．因此，如何兼顾到证实与证伪是研究者应当慎重思考的问题．首先，课程的设计理念需要改革，虽然这不是一朝一夕可以完成的．除此之外，教师可以稍微转变自己的教学理念和教学方式，在传统证实模式的课堂中适当渗透证伪的思想和方法，让学生体会学习数学的方法不全是证实，也可以通过证伪进而去证实．数学实验教学有助于实现证伪与证实相结合这一目标，例如：七年级下册第十二章中，有这样一个数学实验：图1(a)是一张8×8的正方形纸片，把它剪成四块，按图1(b)重新拼合，这4块纸片能拼成一个长为13、宽为5的长方形吗？

图1 正方形纸片剪拼实验

要回答这个问题，教师可以通过猜想—证伪—证实3个环节来实施教学．教师可以引导学生先对图1(a)、图1(b)进行观察，学生一般会得出“可以拼成”的猜想，接着让学生用动手操作的方式，将图1(a)中正方形按如图所示的虚线分割，再按图1(b)的方式拼合，看是否能够得到图1(b)，此时学生会惊奇地发现无法拼成，这是证伪．接着让学生思考，为什么不能拼成图1(b)？经过思考，学生会发现图1(a)中正方形的面积是64，图1(b)中长方形的面积为65，面积不相等，因此不能拼成图1(b)，这就用逻辑的方式证实了拼图的结果，这是证实．

5 结 语

数学实验是数学发展的必然产物，与此对应，数学实验教学是数学教学方法中必不可少的元素．基于动态数学观和静态数学观相互融通的数学实验教学，实现了过程与结果的统一、操作与思维的统一、实验与论证的统一、证伪与证实的统一，修补了数学教学过程的残缺环节，在一定程度上消解了教学中的几对基本矛盾[6]，使数学教学变得完整而富有生机，回归到教学的本源，体现出教学的辩证性特征．

[1] 黄燕玲，喻平．对数学理解的再认识[J]．数学教育学报，2002，11（3）：40-43．

[2] 董林伟．数学实验手册[M]．南京：江苏科技出版社，2013．

[3] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[4] 莫绍揆．数理逻辑初步[M]．上海：上海教育出版社，1980．

[5] 喻平．教学的应然追求：求是与去伪的融合[J]．教育学报，2012，（4）：28-33．

[6] 喻平．教学中几对矛盾的对峙与融通[J]．教育理论与探索，2008，（4）：48-51．

Laboratory Teaching in M athematics: the Combination of Static M athematical Concept and Dyna m ic M athematical Concept

YU Ping1, DONG Lin-wei2, WEI Yu-hua1
(1. Research Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China; 2. Teaching Research Office Jiangsu Provincial Department of Education, Jiangsu Nanjing 210013, China)

The mathematical concept has experienced from the static to the dynam ic evolution process. Under the static mathematical concept of the traditional mathematics teaching focus on results, thinking, reasoning and proof, while the dynam ic mathematical concept regards mathematics as the know ledge in the process of dynamic development, thus must contain errors, try, the process of correction and the process of improving. Mathematics experiment teaching embodies the process and results, operation and thinking, experiment and demonstration, falsified and confirmed, so Mathematics experiment teaching implements the combination of static mathematical view and dynamic mathematical view.

static mathematical concept; dynam ic mathematical concept; mathematics experiment; mathematics teaching

G622

：A

：1004–9894（2015）01–0026–03

[责任编校：周学智]

2014–09–04

江苏省教育科学“十二五”规划重点资助课题——初中数学实验的理论与实践研究（B-a/2013/02/083）；教育部人文社会科学研究一般项目——中小学教师认识信念取向及其对教学行为的影响研究（12YJA880153）

喻平（1956—），男，重庆人，教授，博士生导师，主要从事数学教育研究．