由“无理数”在教材中的安排引发的思考

☉江苏省泰州市教育局教研室 钱德春

由“无理数”在教材中的安排引发的思考

☉江苏省泰州市教育局教研室 钱德春

修订后的苏科版教材《义务教育教科书·数学》（以下简称苏科修订版）［1］中，对“无理数”的学习顺序做了调整，将苏科实验版［2］教材的八年级勾股定理、开平方之后提前到七年级“有理数”之后、数轴之前学习，这是基于数学知识的科学性、逻辑性、系统性考虑而安排的.从教学实践来看，教师有两点困惑：一是就学生认知而言，以什么方式引入“无理数”比较恰当？二是如何让学生理解“无理数”的概念？有了“无理数”概念，“实数”概念呼之欲出，怎么处理？

教师的教学困惑引发了笔者的思考：“无理数”教学内容在苏科修订版教材中的安排依据是什么？为什么教师会产生教学困惑？如何处理知识的科学性、逻辑性、系统性与教学现实之间的关系？

一、苏科版教材顺序安排及依据考证

从某种意义上说，教材这种安排具有一定的科学性、逻辑性，笔者从两个方面来论证.

1.从无理数与数轴的产生背景与时序来论证

据考证：约公元前500年，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras）的弟子希伯索斯（Hippasus）发现：正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，即：若正方形边长是有理数，则对角线的长不是有理数，达芬奇称之为“无理的数”，后人证明这是一个实实在在的无限不循环小数.数轴则由笛卡儿（1596～1650年）发明，“无理数”的发现远早于“数轴”的发明，发明“数轴”时人们所认识的“数”在数轴上表示的点已经能够“布满”数轴.因此，从无理数与数轴的产生背景与时序上说，教材的安排具有合理性.

2.从有理数、无理数与数轴的关系来论证

我们知道：严密性是数学的显著特征.数轴上的点与实数是一一对应的关系，唯有将所有的“有理数”与“无理数”在数轴上表示，才在数轴上形成致密的、“不间断”的点.如果在“有理数”后接着就研究“数轴”，由于“有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的‘孔隙’.而这种‘孔隙’经后人证明简直多得‘不可胜数’”.即仅有“有理数”在数轴上表示就不完备、不连续、不严密.因此，从这个意义上说，教材这种安排不无道理.

二、教材内容简述与教师教学困惑

为了理清相关问题，笔者在简述教材内容的基础上，对教师的教学困惑及其原因给予分析.

1.苏科修订版无理数部分内容简述

图1

苏科修订版教材是在七年级上册第二章“有理数”的第一节“正数与负数”之后，紧接着安排了“有理数与无理数”一节，后一节接着研究“数轴”.（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数，并举例说明有限小数和循环小数都是有理数.接着进行操作活动：如图1，将两个边长为1的小正方形，沿图中虚线剪开，重新拼成一个大的正方形，它的面积为2，进而提出问题：如果设大正方形的边长为a，那么a2=2，a是有理数吗？接着，

2.教师教学之困惑

“无理数”产生的来源很多，初中阶段主要是开方运算的结果、圆周率等，三角函数产生的“无理数”也有开方运算的原因，其源头是勾股定理和开平方运算.苏科修订版教材通过拼图方式得到等式a2=2，似乎巧妙地回避了开方运算，但“无理数”的概念引入存在两个方面的困惑：第一，由于七年级学生还不具备相关知识，学生对“a是无理数”的理解还是有一定的困难的.教材在说明“满足a2=2的a是无限不循环小数”时运用了有限逼近、合情推理的方法，本身也是不严密的，这显然陷入了“用一种不严密代替另一种不严密”的怪圈.第二，教材将“无理数”安排在七年级学习时，对“无理数是什么、怎么产生的”解释显得苍白，教师无法回应学生的关注与疑问，造成了教师教学的困惑.

三、几种版本教材“无理数”的教材安排比较

1.几种版本的初中数学教材比较

笔者就“无理数”在教材中的安排，对课程标准（2011年版）下的人教版、［3］北师大版、［4］华师大版、［5］湘教版、［6］浙教版、［7］苏科实验版和苏科修订版做了比较（见下表）：

版本年级页码内容在第六章实数第3节“实数”的第2节课时的“平方根”中，将两个面积为1的正方形拼成一个大正方形求其边长得到x2=2，由逼近法得到x是一个无限不循环的小数，进而在第3节“实数”中引出无理数概念，再完善“实数”的定义.北师大版人教版七年级下册41～44八年级上册21～25在第二章“勾股定理”之后的第三章“实数”中，安排了“认识无理数”一节.华师大版■是无限不循环的小数，从而引出无理数、实数的概念.湘教版八八年级上册8～12第十一章“数的开方”第2节“实数”：前面已学过平方根与立方根.教材通过呈现用计算机计算2■的结果，让学生直观感知2八年级上册108～118第三章“实数”：在学习了“平方根”后引入了“无理数”，最后完善了实数概念及运算法则.苏科实验版第二章“勾股定理与平方根”的第5节“实数”：在“勾股定理”及逆定理和“平方根”之后引出“无理数”，进而将数系扩充至实数范围.浙教版八年级上册57～59七年级上册71～73第三章“实数”的第2节“实数”：在“平方根”之后引出“无理数”概念，从而完善实数概念.平方根之前已经学习了乘方及有理数的概念.苏科修订版七年级上册15～17将“无理数”内容提前到七年级上册第二章“有理数”中学习，并将“有理数与无理数”单列为一节，而前一节的知识是“正数与负数”，后面研究“数轴”.

2.比较后的结论

从以上七种版本教材看，人教版、华师大版、湘教版和浙教版都是在平方根之后引入无理数概念，进而完善实数概念，符合知识逻辑，但都是从数值计算出发引入概念，学生仍然缺少体验与感悟；北师大版、苏科实验版则是在勾股定理学习中，已知两边求第三边时出现开平方运算，进而顺势引出无理数概念，这种由形到数、从直观到抽象的概念引入方式自然流畅，符合学生的认知规律，也符合数学发展史；苏科修订版从有理数直接到无理数，对七年级学生来说，理解有难度也是自然的事.

四、“无理数”呈现顺序及其教育形态

（一）对教学内容呈现顺序的思考

1.教材模块化设计与知识逻辑关系

各种版本教材根据课程目标、课程内容有自己的思考与自身的编排体系无可厚非，但这种体系与安排应该兼顾数学知识的逻辑体系，顺应学生的知识结构和认知心理.由于数学知识之间具有一定的逻辑关系，教材安排顺序和教学顺序不宜随意变化.现行高中数学教材采用了模块化设计方案，但在高中数学课程标准修订调研中，一些受访的数学家很看重中学阶段数学知识的系统性，对高中数学教材模块化设计提出质疑，认为模块化设计不适合数学的逻辑体系，有些联系紧密的数学内容分散在不同系列或模块中，造成割裂和遗忘.一般地，如果课程内容之间没有明显的逻辑关系，一部分内容对另一部分内容的学习关联度不大，适宜采用模块化方案.比如全等三角形与统计、概率没有必然的关联，教材安排的先后顺序就显得不那么重要；但“全等三角形”是“相似三角形”的基础，“相似三角形”是“全等三角形”的发展，因此“相似三角形”教学必须安排在“全等三角形”之后，顺序不能随意改变.

2.“无理数”到底应该安排在哪里学习

从教学实践看，“有理数”后宜直接引入“数轴”，而“无理数”概念则应在学习了勾股定理、开方运算后引入，并与“有理数”一起建构“实数”概念，逐步建立起“实数与数轴上点的一一对应关系”，同时将“有理数”的运算法则扩充到“实数”范围.这种安排，无论知识的生成还是学生的理解都比较顺畅、自然.尽管在“有理数”后直接引入“数轴”从知识体系上说有不严格之处，但教学中可以只研究“有理数在数轴上的表示”，而“实数与数轴上的点的对应关系”问题，待后继学习了实数后再逐步完善.

（二）知识的三种形态［8］与“无理数”学习

上述问题让笔者想到了数学知识的三种形态，以及如何看待“无理数”三种形态之间的关系.

1.数学知识的三种形态

数学专家、课程专家和教育工作者，不同角色的关注可能有所侧重：你可能更多关注数学本质、知识体系、课程目标，你或是关注课堂的生成、学生的接受与理解、学生的个性特长、差异与素养；你还可以关注考试、结果与评价.这里就涉及数学知识的三种形态：学术形态、课程形态、教育形态（也有学者称之为历史程序、逻辑程序、教学程序）.

所谓学术形态，是指数学知识发明者或数学结论发现者将数学知识、结论用简练、逻辑、系统的语言（包括文字、图形、符号）以文本形式表述出来，属于学术范畴，学术形态常常隐去发生与发展过程，有时就“像一只狡猾的狐狸，在沙地上一面走，一面用尾巴抹掉走过的足迹”.［9］所谓课程形态，是“将论文中的数学经过消化加工，编入讲义或课本时，已有了很大变化：更加系统，更加可读”，但教材在考虑操作性和可读性的同时，又要兼顾逻辑性、系统性和简洁性，这又“离‘课堂中的数学’仍有距离，仍有较大区别.”［8］而教育形态则是教师课堂上将课程形态转化为学生能接受的现实情境、语言表达、方式方法.因此数学知识的学术形态、课程形态与教育形态之间既有联系又有区别.显然，为了知识体系的完备与严密而在“有理数”之后直接引出“无理数”，是一种学术思维.

2.“无理数”的教育形态

郑毓信教授谈数学要重视“序的思想”.［10］笔者以为，这里的“序”包含知识逻辑的“序”，也应该包含学生认知的“序”.教学目标与知识产生顺序、学生的认知基础与心理预期都应该成为教材和教学所关注，学生已有什么、能达到什么、教学目标是什么，应该是教学的起点与终点.因此，必须将数学知识的其他形态向教育形态转化，把对知识逻辑的关注转变为对知识逻辑和认知逻辑的双关注.

苏步青先生有一句名言：“中小学教材可以混而不错”.［11］“‘不错’是大前提，关注大方向、本质.混是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真.”［12］教材与教学应该在尊重基本事实的前提下采用“混而不错”的策略，设计从“不严格”到“严格”［13］的过程：可以用“白描”的语言描述概念，也可以控制变量方式对问题理想化思考，有时还可以允许暂时的“忽略不计”，在螺旋式上升中逐步实现数学的完备性和严格性，最终达到严格.如“负负得正”法则在数学家眼中是一种规定，教师可以直接告诉学生“这是规定”吗？显然不能！教学中就要设计现实情境来解释这个法则，以利于学生的理解.

学习“有理数”时，学生当然会关注：有理数有大小吗？如何比较？可以像小学算术那样进行运算吗？教材与教学就要在学习目标的统摄下，顺应学生的认知与关注，可以暂时“忽略”无理数，直接引出“数轴”概念、算术运算律与法则在“有理数”中的推广.而与“无理数”相关的顺序链为：有理数→数轴→勾股定理→开平方→无理数→实数→实数运算，从而建构完整的知识体系和方法体系，以逐步达到“严格”层次.这种变化就是将学术形态、课程形态转化为教育形态，而教材设计则应该顺应这种转化，向教学现实贴近一点，再贴近一点.

1.杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学［M］.南京：江苏科学技术出版社，2013.

2.杨裕前，董林伟.义务教育课程标准实验教科书·数学［M］.南京：江苏科学技术出版社，2010.

3.林群.义务教育教科书·数学［M］北京：人民教育出版社，2012.

4.马复.义务教育教科书·数学［M］.北京：北京师范大学出版社，2013.

5.王建磐.义务教育教科书·数学［M］：上海：华东师范大学出版社，2013.

6.严士健，黄楚芳.义务教育教科书·数学［M］.长沙：湖南教育出版社，2013.

7.范良火.义务教育教科书·数学［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.

8.郑强，郑庆全.三种形态数学文化研究的回顾及启示［J］.山东教育学院学报，2008（6）.

9.徐献卿，杨世明.数学知识的两种形态与数学教学［J］.数学教育学报，2002（5）.

10.谢丽.从“优先意识”到“序的思想”［J］.中学数学（下），2014（8）.

11.张奠宙.大众化和“简单化”［J］.数学教学，2012（5）.

12.丁前鹏.对初中数学教学中“混而不错”现象的思辨［J］.中学数学（下），2014（3）.

13.裴光亚.面对数学课程改革的思考：关于教学研究［J］.中学数学教学参考（下），2008（11）.H