分数（百分数）应用题典型解题策略探析

曾志群

【摘 要】 分数、百分数应用题是把应用题与分数、百分数的知识有机结合的数学问题，其解答的技巧是把分数知识加以实际应用的思维过程。作为整个小学阶段应用题中的难点之一，它有别于之前学过的整数、小数应用题的解决技巧，分数、百分数应用题因其数量关系抽象，使学生不易掌握，如何正确引导学生灵活合理地分析解答分数、百分数应用题是教师教学的重点。本文从具体知识的教学实践展开研究，以相关的教育理论为基础，从具体数学知识的教学出发，从多年的教学实践出发，对分数、百分数应用题的解题策略作了一些的概括，对分数（百分数）应用题的教学工作有一定的现实意义和指导意义。

【关 键 词】 分数应用题；解题；策略

一直以来，分数（百分数）应用题中的数量关系都较为抽象、难于理解，难以使学生理解“分数意义”的拓展认识，仅凭记忆题型确实可以使很多学生迅速掌握这类问题的解决方法并能正确计算，但不利于培养学生分析问题和灵活应用知识能力的培养。如何改进和加强分数、百分数应用题教学，使其能有效地解决日常生活中的问题，增强学习的目的性和实践性，真正做到提高教学质量是我们面临的一个新问题。教学中，我探索出一些解决分数、百分数问题的技巧和策略，将其运用在常见的一些分数、百分数应用题中进行分析，使之有效地解决日常生活中的问题。

一、对应法

对应法是将两个集合间的问题建立联系，也就是把两个集合元素之间建立一一对应的关系。对于分数（百分数）应用题，抓准分率与实际数量的对应关系是解答的关键，由于其数量关系比较抽象，应抓住“量”与“率”的对应和“图”与“式”的对应。分数应用题中，每一个数量对于一个确定的标准（单位“1”的量）而言，都有一个对应的分率，明确谁是单位“1”的量，谁是对应分率，可以帮助学生在复杂的条件和问题中，理清思路，找到解题线索，有利于发展学生的逻辑思维能力。

典型例题：五年级师生向希望小学捐书150本，六年级比五年级多捐，六年级师生捐书多少本？

方法指导：六年级比五年级多捐，单位“1”是五年级的捐书数量，是已知的，六年级比五年级多捐，也就是六年级的捐书数量是五年级捐书数量的1+=1，根据分数乘法的意义就是求150的1是多少。

正确解答：150×

1+

=180（本）

对应法，是一种很重要的数学方法。有很多问题，给定的数量和对应的数量关系是在变化的，应用对应法解题的时候要注意前提条件，对应法的使用必须有2个不变的数量关系，在此基础上再进行对应，找不同，以及相互关系。因此在教学中，必须加强寻找量率对应关系的技能技巧的训练，量率对应常常和画线段图结合使用，效果会更佳。

二、画线段图法

画线段图法是根据数学问题画出线段图等表达题意，帮助学生正确地审题、分析和检验，从而使数学问题得以顺利解决的策略。在分数（百分数）应用题中，每一个分率都对应一个具体数量，量率对应，寻找对应关系，必须充分利用半具体半抽象的线段图作为解题工具。通过分析线段图，明确谁是单位“1”，谁是对应分率，它可以帮助学生在复杂的条件和问题中，理清思路，找到解题线索，有利于发展学生的逻辑思维能力。

典型例题：果园里有60棵苹果树，梨树的数量是苹果树的，桃树的数量是梨树的，果园里有多少棵桃树？

方法指导：本题的数量关系可以用下面的线段图来表示，观察下图可以看出，梨树的数量=苹果树×，桃树的数量=梨树×，即桃树的数量=苹果树××。

[60棵][棵][苹果树][梨树][桃树]

正确解答：60××=30（棵）

数形结合是研究数学问题的重要思想，画线段图能将题目中抽象的数量关系，直观形象地表示出来，进行分析、推理和计算，从而降低解题难度。画线段图法常常与其他解题方法结合使用，可以说，它是学生弄清分数（百分数）应用题题意、分析其数量关系的基本方法。

三、方程法

方程法是把题中的未知量设为字母x，找出等量关系，然后把x作为已知量参与运算，最终得到等式，求出未知量的过程。用方程解分数（百分数）应用题适用于单位“1”的量是未知的，把单位“1”的量设为X，把未知数x与已知数放在一起，分析应用题所叙述的数量关系，再根据数量关系和方程的意义，列出方程式。

典型例题：加工一批零件，第一天加工了总数的，第二天加工了总数的，第一天比第二天多加工了300个，这批零件一共有多少个？

方法指导：根据“第一天比第二天多加工了300个”可以列出等量关系式，即“第一天加工的—第二天加工的=300个”。

正确解答：解：设这批零件一共有X个？

X-X=300

X=3600

列方程式其核心就是要寻找给出条件存在的数量关系，建立等量写出等式，未知数与已知数用运算符号相连接，从整体上反映数量关系的各个方面，用方程解题要比用算术的方法简单，且解题方式灵活多样，可以从最简单的入手，循序渐进，适用面广，用来解答那些反叙的问题会更方便。

四、抓不变量法

分数（百分数）应用题中有许多数量前后发生变化的题型，一个数量的变化，往往引起另一个数量的变化，但总存在着不变量。解题时抓住始终不变的数量，分析不变的数量与其他数量之间的关系，从而找到解题突破口，把问题解答出来。

典型例题：故事书和科技书共450本，其中故事书占总数的30%，后来又买来一些故事书，现在故事书占总数的50%，后来买了多少本故事书？

方法指导：此题可以抓住不变量“科技书的数量”来解答，原来有科技书450×（1-30%）=315（本），又买来一些故事书后，科技书的对应分率是（1-50%），用科技书的数量除以对应分率（1-50%），得出的结果是现在图书的总数，即可求出又买来多少本故事书。

正确解答：科技书：450×（1-30%）=315（本）

315÷（1-50%）=630（本）

630-450=180（本）

抓不变量解分数（百分数）应用题，前后对比，问题得解，量率对应，问题得解，已知不变量找出其变化后的对应分率，求出变化后的另一个变量，找出其变化前后的数量，算出数量差，帮助学生沟通已知和未知的关系，打开解决问题的通道，提高了学生解决问题的技巧。

五、对比法

在解决实际问题的过程中，找出数量之间的不同点、相似点或相同点，通过分析和比较，找到解决问题的策略。

典型例题：某服装店同时以每件60元的价格售出了两件衣服，其中一件赢利25%另一件亏损25%，则这次买卖中总的情况是赚了还是赔了？

方法指导：想要知道店主是赚还是赔，应计算出这两件衣服的进价，然后与售价进行比较。这题不管是盈利还是亏损，所对应的单位“1”都是进价，单位“1”是未知的。

正确解答：60÷（1+25%）=48（元）

60÷（1-25%）=80（元）

两件衣服的进价：48+80=128（元）

两件衣服的售价：60×2=120（元）

128>120该服装店赔了。

六、转化法

在解答一些复杂的、陌生的问题时，可以根据题目中存在的相等关系，把新问题通过换角度、换方式、换叙述、换处理方式的办法进行变化，把新的问题和复杂的问题转化为已学问题或容易解决的问题，最终使问题获得解决的思维策略。

典型例题：六年级（1）班共有学生54人，男生人数的75%和女生的80%都参加了学雷锋做好事活动，而未参加的男、女人数刚好相等，这个班的男、女生各有多少人？

方法指导：由“未参加的男、女人数刚好相等”可以理解到：

男生×（1-75%）=女生人数×（1-80%）

男生×25%=女生人数×20%

男生人数：女生人数=4：5

正确解答：女生人数：54÷

1+

=30（人）或：54×=30（人）

男生人数：54—30=24（人）或：54×=24（人）

复杂的分数（百分数）应用题，常常含有几个不同的单位“1，根据题目的具体情况，将不同的单位“1转化成统一的单位“1，通过适当的变化转化成另一个数学问题来进行思考、求解，从而实现从繁到简、由难到易的转化使隐蔽的数量关系明朗化。

我认为，在教学分数（百分数）应用题时，一定要结合具体情境，在实践教学中，在逐层学习的过程中，通过分析交流和适量的练习使大部分学生能够掌握各自的方法，从而能够轻松地根据分数乘、除法意义的不同解决问题，体会分数（百分数）在现实生活中的应用，帮助学生愉悦地学习数学，树立学好数学的信心。

【参考文献】

[1] 刘丽辉. 浅谈小学数学分数应用题解答路径[J]. 新课程（中），2011（5）.

[2] 蒋明玉. 应用题“画”出来[J]. 数学大王，2009（9）.

[3] 王生. 分数应用题常见错误剖析[J]. 第二课堂（小学版），2007（10）.