基于轨迹灵敏度的动态等值模型参数分类优化方法

周海强, 张琦兵, 顾康慧

(1.河海大学能源与电气工程学院，南京市 211100；2.国网江苏省电力公司，南京市 210024)



基于轨迹灵敏度的动态等值模型参数分类优化方法

周海强1, 张琦兵2, 顾康慧1

(1.河海大学能源与电气工程学院，南京市 211100；2.国网江苏省电力公司，南京市 210024)

电力系统动态等值模型必然存在一定误差，边界联络线功率对等值模型参数的轨迹灵敏度揭示了等值模型误差与模型参数之间的量化联系，可据此优化等值模型参数。为此，提出了基于轨迹灵敏度的动态等值模型参数分类优化方法。首先，介绍了轨迹灵敏度及其计算方法；然后，讨论了考虑综合负荷的电力系统动态等值模型的一般结构，根据不同参数轨迹灵敏度的特点，将模型主导参数划分为静态、动态主导参数进行分类优化；最后，将算法应用于IEEE10机39母线算例系统，对等值模型中的虚拟阻抗、惯性时间常数、定子电抗及转子电阻等参数进行了优化。仿真结果表明，该方法能有效提高等值模型精度，且所需计算量小，优化速度快，具有良好的应用前景。

动态等值模型; 轨迹灵敏度; 综合负荷; 参数优化

0 引 言

随着电网互联工程的发展，电网规模不断扩大。对如此巨大、复杂的非线性时变系统进行快速、准确的分析，是迫切需要解决的重大技术难题。电力系统动态等值模型提供了一种可行方案，即将系统划分为研究系统与外部系统，研究系统保持不变，在保持外部系统对研究系统动态影响近似不变的前提下，尽量降低外部系统的模型阶次[1]。严格说来，对非线性时变系统不可能进行完全严格的动态等效变换，等值模型必然是近似的。外部系统对研究系统的动态影响通过边界节点电压及联络线功率来体现，一般将等值系统在稳态运行点的潮流以及预想故障下的响应曲线与原系统进行对比，以此来衡量等值模型精度，只要能将等值误差控制在工程允许范围内，则认为该等值模型可用来替代原系统进行分析。

为减小等值误差，目前常采用人工智能、灵敏度等方法对等值模型参数进行优化，遗传算法、模拟进化方法及蚁群算法[2]等启发性方法具有全局收敛性，但计算量大，收敛速度较慢。另外，等值模型参数众多，如何在其中选择合适的优化参数也是一个难题。现有基于灵敏度的参数辨识方法多集中于对单个元件或控制器参数的辨识[3-5]，对于电力系统等值模型的整体优化研究较少。为此，本文提出基于轨迹灵敏度的动态等值模型参数分类优化方法，根据轨迹灵敏度的不同特点将主导参数划分为静态与动态主导参数，协调优化，以提高优化算法的效率及收敛性。最后对IEEE10机39节点系统的等值模型进行优化来验证该方法的精度和计算量。

1 电力系统轨迹灵敏度

设系统动力学模型为

(1)

式中x∈Rn,y∈Rm及β∈Rp分别表示状态变量、代数变量和系统参数。对β求导可得：

(2)

式中fx，fy，fβ，gx，gy，gβ分别为f，g对x，y，β的偏导数。

国内外学者对轨迹灵敏度的计算开展了广泛研究[9-11]，最直接的方法是进行数值计算，但该方法需要进行p次仿真，且计算结果依赖于摄动量Δβ大小，计算量大且精度较低。目前采用较多的是基于隐式梯形积分的计算方法，在求解系统动力学模型的同时，利用每个积分步输出的Jacobian矩阵求解线性方程组获取系统轨迹灵敏度，所增添的计算量极小，详细原理可参阅文献[6,11-12]。

2 动态等值模型及主导参数分类

考虑综合负荷的电力系统等值模型如图1所示[13]，研究系统与外部系统之间通过联络线相连，虚线右侧的外部系统被等值为等值发电机Gequ、等值感应电机Mequ及相应的恒阻抗、恒电流、恒功率等值负荷 ZIP，等值元件、边界节点之间通过等值网络Yequ互连。

图1 系统动态等值模型原理图

(3)

由于等值过程中系统分群、元件聚合采取的各种近似处理，等值系统中z的变化规律与原系统之间必然存在一定差异，利用轨迹灵敏度所揭示的Δz与Δβ之间的量化联系，可有针对性地调整等值系统模型参数，减小等值误差。

图1所示的系统动态等值模型中参数众多，对所有参数一起进行优化，不但会加大计算量，而且增加了算法收敛的困难，最终很难收敛到一个可信解。实际上，并非所有参数都对观测量z有较大影响，若等值模型中某个参数对z的轨迹灵敏度很小，则该参数对等值系统输出特性影响较小，可直接取初始等值结果，无须作进一步优化[14-15]。因此，常选取等值系统的主导参数，即zβ较大的参数进行优化。

不同主导参数对输出变量响应的影响方式也不同，有些主导参数影响集中体现在暂态过程，当系统趋于稳态时，轨迹灵敏度很小，影响趋于0；而有些参数的影响则贯穿整个过程。对前一类参数，称之为动态主导参数，而后者则称之为静态主导参数。优化过程中，可先利用系统稳态段响应曲线对静态主导参数进行优化，然后再利用暂态部分曲线对动态主导参数进行优化，以提高算法效率。

3 基于轨迹灵敏度的等值模型参数优化

(4)

按照最小二乘法，定义目标函数：

(5)

Δβ=(STS)-1STΔz

(6)

优化后的参数为

βopt=β0+Δβ

(7)

需要指出，若公式(6)中矩阵STS的条件数过大，则较小的Δz将导致Δβ变化很大，所得结果不稳定，可信度很低，故优化过程中必须对STS的条件数加以限制，所采取的措施将在第4节结合具体算例作进一步阐述。

由于动态过程在前，稳态过程在后，故动态主导参数对稳态过程影响很小，而静态主导参数则可能对动态过程具有较大影响，因此先根据稳态曲线对静态主导参数进行优化，再通过轨迹灵敏度估算静态主导参数修正对暂态段Δz的影响，然后对动态主导参数进行优化。由于轨迹灵敏度仅适用于系统工作点的邻域内，且数值计算不可避免地存在误差，故参数优化过程一般需要经过3～4次迭代才能满足精度要求。每次调整参数后，需重新计算系统轨迹灵敏度zβ(t)和偏差量Δz(t)，再据此求出新的参数调整量。

综上所述，基于轨迹灵敏度的等值模型参数分类优化算法的具体步骤为：

(1)对原系统进行等值运算，得出初始等值模型及初始参数β=β(0)；

(3)计算等值系统联络线功率、边界节点电压等观测变量对等值模型可变参数的轨迹灵敏度zβ，对 |zβ|的平均值进行排序，确定5～6个灵敏度较大的参数为主导参数，并根据zβ的稳态及动态特性选择2～3个静态主导参数及2～3个动态主导参数；

(4)对稳态段及动态段的偏差曲线Δz(t)及轨迹灵敏度曲线zβ(t)分别取样，形成S矩阵，若STS的条件数<20，按照公式(6)分别计算稳态、动态主导参数最佳修正量Δβ；否则返回第3步，重新选择主导参数进行优化；

(5)对等值模型参数进行修正，βnew=β0+Δβ，转第2步；

(6)输出等值模型优化参数。

4 算例分析

以IEEE10机39节点系统为例，对考虑综合负荷的系统等值模型参数进行优化。算例系统参数及等值模型结构详见文献[17-18]，此处不再赘述。文献[18]指出，如扰动较小，可认为等值系统拓扑结构及参数基本保持稳定，可通过在等效发电机或等效电动机节点附加虚拟阻抗Rfict，Xfict，并在线调整虚拟阻抗值，实现联络线功率的最佳匹配。在此基础上，本文应用轨迹灵敏度方法，对等值模型主导参数进行分类优化。

首先对算例中外部系统的感应电动机群进行单机等值。由于等值后边界点电压相差不大，故选取算例系统边界联络线功率为观测量，即：

(8)

图2 联络线16-17功率对等值模型参数的轨迹灵敏度

若对[0，5]s区间曲线以0.01 s间隔进行采样，即取N=500，直接按照公式(6)来计算各参数的修正量会发现，STS条件数很大，算出的结果极不稳定。STS条件数大意味着该矩阵近奇异，其原因可能为：(1) 矩阵中某2行量级相差过大；(2) 矩阵某2行近似相同。由于不同参数轨迹灵敏度绝对值相差很大，甚至可能达到若干个量级，故极有可能造成第1种情况，对此，可通过轨迹灵敏度归一化处理来加以克服。另外，某些参数(如Xsm，Xrm)对输出变量影响相似，这也会造成STS近奇异，从而无法求解公式(6)，因此必须将具有相似轨迹灵敏度的参数剔除。此外，还可采取可变采样间隔、调整优化时段等方法来避免STS近奇异。

表1 等值系统参数初始值及优化值

Table 1 Initial value and optimal value of equivalent system parameters

将优化前、后等值模型观测量z的响应曲线进行比较，定义误差：

(9)

优化前、后等值模型联络线功率误差的对比如表2所示。

表2 优化前、后等值模型联络线功率误差对比

Table 2 Errors comparisons of tie line power of equivalent system before and after optimization

由于线路16-17无功功率近似为0，故按百分比计算误差已无意义，原系统该线路无功功率为0.01 pu，初始等值系统该值为0.35 pu，而优化后该值为-0.02 pu，与真实值基本吻合。由表2可知，等值模型参数经过优化后，边界联络线功率误差大为减小，特别是无功功率精度得到了显著提高。本文使用的是单机等值模型，如果采用多机等值方案，并引入缓冲区，还可以进一步提高初始等值模型的精度。

5 结 语

电力系统中外部系统通过边界点及联络线对研究系统施加影响，联络线功率及边界点电压对等值模型参数的轨迹灵敏度揭示了等值模型误差与等值参数之间的量化关系。基于轨迹灵敏度的模型参数分类优化方法根据轨迹灵敏度及观测变量偏差量有针对性地调整等值模型参数，达到与原系统的较好匹配。由于在应用隐式梯形积分法求解系统动力学方程的同时，可利用计算过程中输出的Jacobian矩阵求取轨迹灵敏度，故所增加计算量极小。对IEEE10机39节点算例的仿真结果表明，将静态参数与动态参数分类优化可以有效提高算法的效率，与初始等值模型相比，模型优化后观测量的匹配精度大为提高。

[1]倪以信，陈寿孙，张宝霖.动态电力系统的理论和分析[M].北京：清华大学出版社, 2002.

[2]鞠平.电力系统建模理论与方法[M].北京：科学出版社，2010:215-300.

[3]张红斌，贺仁睦，刘应梅.感应电动机模型参数解析灵敏度分析及参数辨识策略研究[J].电网技术, 2004,28(6):10-14.Zhang Hongbin, He Renmu, Liu Yingmei.Analysis of analytical sensitivities of induction motor model parameters and the research of identification strategy[J].Power System Technology, 2004, 28(6):10-14.

[4]刘道伟，韩学山，任玲玉，等.基于轨迹灵敏度的戴维南等效参数迭代优化辨识[J].中国电机工程学报, 2010,30(S):37-42.Liu Daowei, Han Xueshan, Ren Lingyu, et al, Identification of thevenin equivalent parameters using iterative optimization approach based on the trajectory sensitivity[J].The proceedings of the CSEE, 2010, 30(S): 37-42.

[5]周保荣，房大中，孙景强.基于轨迹灵敏度分析的电力系统稳定器参数优化设计[J].电网技术,2004,28(19):20-23 Zhou Baorong，Fang Dazhong，Sun Jingqiang.Tuning of PSS parameters using optimization approach based on trajectory sensitivity analysis[J].Power System Technology, 2004, 28 (19):20-23[6]Hiskens I A, Pai M A.Trajectory sensitivity analysis of hybrid systems[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems-Part I: Fundamental, Theory and Applications, 2000, 47(2): 204-220.

[7]Hiskens I A.Nonlinear dynamic model evaluation from disturbance measurements[J].IEEE Transactions on Power Systems， 2001, 16(4): 702-710.

[8]王锡凡，方万良，杜正春，等.现代电力系统分析[M].北京：科学出版社，2003.

[9]刘洪波，穆钢，严干贵，等.根据量测轨迹计算轨迹灵敏度的卷积法[J].电力系统自动化，2007，31(5): 13-17.Liu Hongbo, Mu Gang, Yan Gangui, et al.A convolution method for calculating the trajectory sensitivity based on measured trajectory[J].Automation of Electric Power Systems, 2007，31(5):13-17.

[10]孙元章,杨新林.电力系统动态灵敏度计算的伴随方程方法[J].电力系统自动化, 2003,27 (3):6-12.Sun Yuanzhang , Yang Xinlin.Adjoint equation methods for dynamic sensitivity calculation in power systems[J].Automation of Electric Power Systems, 2003, 27 (3):6-12.

[11]Maly T, Petzold L R.Numerical methods and software for sensitivity analysis of differential-algebraic systems[J].Applied Numerical Mathematics, 1996(20): 57-79.

[12]Ma F, Vittal V, A hybrid dynamic equivalent using ANN-based boundary matching technique[J].IEEE Transactions on Power Systems，2012， 27(3): 1494-1502.

[13]Zhou H Q，Ju P，Yang H，et al.Dynamic equivalent method of interconnected power systems with consideration of motor loads [J].Science China ：Technological Sciences，2010(53):902-908[14]谢会玲, 鞠平, 罗建裕，基于灵敏度计算的电力系统参数可辨识性分析[J].电力系统自动化, 2009, 33(7): 17-20.Xie Huiling, Ju Ping, Luo Jianyu.Identifiability analysis of load parameters based on sensitivity calculation[J].Automation of Electric Power Systems, 2009, 33(7): 17-20.

[15]马进,王景钢,贺仁睦.电力系统动态仿真的灵敏度分析[J].电力系统自动化,2005, 29(17) :20-27.Ma Jin, Wang Jinggang, He Renmu.Sensitivity analysis of power system dynamic simulation[J].Automation of Electric Power Systems, 2005, 29 (17): 20-27.

[16]周克定.电工数学[M].武汉：华中工学院出版社, 1984.

[17]周海强，鞠平, 宋忠鹏，等.基于动态相似度与等值缓冲区的电动机动态等值方法[J].电力系统自动化, 2008, 34(13):24-27.Zhou Haiqiang, Ju Ping, Song Zhongpeng, et al.A dynamic equivalent method of induction motors based on dynamic similarity and buffer zone [J].Automation of Electric Power Systems, 2010, 34(13): 24-27.

[18]周海强，鞠平，宋忠鹏,等.基于附加虚拟阻抗和蚁群优化算法的动态等效模型在线修正方法[J].中国电机工程学报, 2011,31(19):75-81.Zhou Haiqiang, Ju Ping, Song Zhongpeng, et al.An online adjustment method of dynamic equivalent model based on additional fictitious impedances and ant colony optimization algorithm[J].The proceedings of the CSEE, 2011, 31(9): 75-81.

(编辑：张小飞)

A Trajectory Sensitivity-Based Dynamic Equivalent Model Parameters Optimization Method

ZHOU Haiqiang1, ZHANG Qibing2, GU Kanghui1

(1.Energy and Electrical Engineering School, Hohai University, Nanjing 211100, China; 2.State Grid Jiangsu Electric Power Company, Nanjing 210024, China)

The dynamic equivalent model of power system inevitably exists some errors.The trajectory sensitivities of the tie lines power to the equivalent parameters reveal the quantitative relation between the equivalent error and model parameter, which can be used to optimize the equivalent model parameters.Thus, a trajectory sensitivity-based optimization method was proposed for dynamic equivalent model parameters.Firstly, the definition and calculation of trajectory sensitivity were introduced.Then, the structure of the dynamic equivalent system with consideration of synthesis loads was discussed.The dominant parameters were classed into static or dynamic dominant parameters and optimized separately according to different characteristics of the trajectory sensitivities.Finally, the algorithm was applied in the optimization of the equivalent model of the IEEE 10-machine 39-bus system.The fictitious impedances, inertia time constant, stator impedance and rotor resistance of the equivalent motor were optimized.The simulation results show that the proposed method can improve the precision of the equivalent model effectively.It has a fast convergence speed and needs very little computation tasks, and so has a good application prospect.

dynamic equivalent model; trajectory sensitivity; synthesis load; parameter optimization

国家自然科学基金项目(50977021)。

TM 714

A

1000-7229(2015)08-0029-05

10.3969/j.issn.1000-7229.2015.08.005

2015-05-18

2015-07-08

周海强(1971)，男，博士，副教授，主要研究方向为电力系统建模、稳定与控制;

张琦兵(1985)，男，硕士，工程师，主要研究方向为电力系统自动化；

顾康慧(1991)，男，硕士研究生，主要研究方向为电力系统建模。

Project Supported by National Science Foundation of China (50977021).