基于两阶段加载模式的改进模态推覆分析方法*

蒋欢军 雷杰 吕尚文

（1.同济大学土木工程防灾国家重点实验室∥结构工程与防灾研究所，上海 200092；2.同济大学建筑设计研究院（集团）有限公司，上海 200092）

基于两阶段加载模式的改进模态推覆分析方法*

蒋欢军1雷杰1吕尚文2

（1.同济大学土木工程防灾国家重点实验室∥结构工程与防灾研究所，上海 200092；2.同济大学建筑设计研究院（集团）有限公司，上海 200092）

在模态推覆分析(MPA)方法的基础上，提出了改进的模态推覆分析(IMPA)方法；IMPA方法克服了MPA方法采用固定加载模式的不足，考虑对结构屈服前后采用分段的加载机制进行推覆分析；并通过两个算例对IMPA方法、MPA方法计算得到的结构顶点位移和层间位移角与弹塑性时程分析结果进行了比较.结果表明，IMPA方法在评估结构地震反应时较MPA方法在精度方面有了较大的提高.

静力弹塑性分析；模态推覆分析；侧向荷载模式；两阶段加载模式；结构地震响应；结构顶点位移；层间位移角

静力弹塑性分析方法又称推覆（Pushover）分析方法.该方法在基于性能抗震设计、地震易损性分析、结构连续倒塌鲁棒性分析、桥梁抗震性分析、地下结构抗震性分析等众多领域得到了广泛的研究与应用［1-4］.静力弹塑性分析方法的基本思想是将作用于结构的水平地震作用等效成为侧向水平荷载并逐步单调增加，得到结构的变形从弹性到弹塑性甚至破坏的发展全过程［5］.从Pushover方法分析原理中可以看到：当对结构选择某种水平荷载模式进行弹塑性分析时，将得到结构对应于此水平荷载模式下的能力曲线，水平荷载模式的选取，对于整个Pushover分析至关重要［6］.

Pushover分析方法建立在以下两个基本的假设上［7］：

（1）结构的地震反应与某一等效单自由度体系的反应有关；该假定表明结构的地震反应由某一振型起主要控制作用（一般认为是结构第一振型），其他振型的影响可以忽略.

（2）在地震作用过程中，不论结构变形大小，分析所假定的结构沿高度方向的形状向量都保持不变.

第一个假定认为结构的反应由某一个振型决定，而实际结构的反应多为所有振型共同决定；第二个假定认为结构响应在整个地震作用过程中的形状向量保持不变，而结构在实际地震作用下，当结构发生屈服后，结构响应的形状向量也随之发生变化.以上两个基本假设使得其在应用中具有较大的局限性，主要表现为不能考虑结构高阶振型对结构响应的贡献，因此，对于高阶振型影响显著的高层及超高层结构，传统的推覆分析方法不能给出准确的描述［8］.

Chopra及其合作者先后提出了模态推覆分析（MPA）方法［9］和修正模态推覆方法（MMPA）方法［10］.虽然MPA方法可以考虑高阶振型对结构响应的贡献，但在加载过程中始终采用固定的加载模式，这样不能考虑结构屈服后刚度变化对结构动力特性的影响.MMPA方法仍采用固定的侧向荷载模式，未考虑结构屈服后刚度变化对动力特征的影响，并且仅考虑第一模态的非线性影响，而高阶模态仅考虑弹性影响.虽然这样处理减少了计算工作量，但却可能高估了结构的地震需求.

针对上述MPA方法存在的问题，笔者对MPA方法进行了改进，将改进后的MPA方法简称为IMPA方法；并通过两个算例对IMPA方法计算结构顶点位移和层间位移角的计算精度进行验证.

1 IMPA方法概述

为了考虑结构屈服后位移形状向量变化的影响，理想的加载方式是按照每一步对应在该点处的形状向量加载，则可以收敛于精确解，但由于计算过程复杂、计算量大，无法应用于实际工程中［11］.观察由MPA方法得到的结构能力曲线（或称Pushover曲线）可知：尽管结构在屈服后刚度不断变化，但变化较小，故可采用屈服后等效折线的斜率来近似代替结构屈服后的刚度.因此加载模式可以分为两段：屈服前，按弹性自振形状向量加载；屈服后，则按转折点处对应的惯性力分布形状向量加载，这样可以考虑屈服后刚度变化对结构动力特性的影响［12］.

若考虑将各阶振型的能力曲线简化成二折线，采用分段加载，这样不仅增加了计算工作量，而且在实际中也是没有必要的，文献［10］认为结构在高阶振型下达到目标位移时多处于弹性工作状态，无须将其能力曲线简化成二折线并采用分段加载，但这样可能高估了结构的地震需求，因此评价结构的抗震性能存在一定的误差.因此文中采用如下方法判断是否需考虑高阶振型能力曲线的折线化：

首先根据振型质量参与系数达到90%来确定参与模态推覆分析的振型数［13-14］，然后根据前述原理将各阶振型的能力曲线简化成二折线模型，并将其转化成对应单自由度体系的二折线关系曲线，得到对应单自由度体系的屈服点位移；对该等效单自由度体系进行动力时程分析，得到单自由度体系的目标位移；若该目标位移大于该阶振型的能力曲线屈服点位移，则该阶振型需要考虑采用分段加载，否则直接按弹性状态的模态向量加载.

转折点处惯性力分布形状向量可按如下方法确定：

（1）将第n阶振型结构的Pushover曲线简化成二折线模型，确定屈服点位移Dn，y和屈服剪力Vn，y［15］.

（2）在结构的Pushover曲线上确定一点，使该点切线斜率等于转折点后直线的斜率.

（3）根据该点位移和Pushover曲线，确定该点处惯性力分布的形状向量，该形状向量即为屈服点处惯性力分布的形状向量.

2 IMPA方法的计算步骤

IMPA方法的主要计算步骤如下：

（1）计算结构线弹性条件下的自振频率ωn和振型φn.

（2）对于第n阶振型，按照固定侧向荷载模式sn=mφn加载，建立结构的Pushover曲线（Vn-Dn关系曲线）.

（3）根据文献［15］将Pushover曲线简化为二折线模型，并确定屈服点位移Dn，y，如图1所示.

（4）根据式（1）和式（2）将简化的二折线模型转化为第n阶振型弹塑性单自由度体系的能力曲线，如图2所示，并确定弹性自振周期Tn*和屈服位移D*n，y：

式中：

Vn、Dn为多自由度体系在第n阶振型侧向荷载模式下的基底剪力和顶点位移；

Γn为第n阶振型的参与系数，

图1 第n阶振型Pushover曲线及双折线模型Fig.1 Pushover curve and bilinearmodal of the n th-mode

图2 第n阶振型等效单自由度体系关系曲线Fig.2 Bilinearcurve of the n th-mode equivalent SDOF system

（5）根据能力谱法或弹塑性时程方法计算第n阶振型弹塑性等效单自由度体系的位移峰值,并根据式（4）计算结构第n阶振型的顶点位移峰值Dn，t：

（6）根据屈服点位移Dn，y和Pushover计算结果确定该点处对应的形状向量φn，y.

（7）从屈服分界点起，按形状向量sn，y=mφn，y加载，得到Pushover计算结果，组合屈服点前后的Pushover计算结果得到新的Pushover曲线.

（8）根据能力谱法或者弹塑性时程方法重新计算第n阶振型弹塑性单自由度体系的位移峰值D*n，t，并根据式（4）重新计算结构第n阶振型的顶点位移峰值Dn，t.

（9）根据第n阶振型的顶点位移峰值Dn，t和新的Pushover曲线，计算第n阶振型结构的任一反应值rn.

（10）重复步骤（2）-（9），计算由其他振型引起的结构反应ri，i=1，2…，J，这里需要考虑的振型数J按振型参与质量系数达到90%确定.

（11）组合各阶振型的结构反应，计算结构的总反应.考虑工程实际应用的简便性，参考GB 50011—2010《建筑抗震设计规范》第5.2.2条，根据相邻振型周期比判断是否需要考虑扭转耦联效应对结构反应的影响.

若相邻振型周期比大于0.85，则需考虑扭转耦联效应的影响，按下式计算：

式中：

ρi，n为第i阶振型和第n阶振型的扭转耦联系数；ri、rn为分别为第i阶、n阶振型引起的结构反应；ζi、ζn为分别为第i阶、n阶振型的阻尼比；βi，n为第i阶振型和第n阶振型的自振频率比.

若相邻振型周期比小于等于0.85，则不考虑扭转耦联效应的影响，按下式计算：

3 算例

3.1 算例一

某钢-混凝土混合结构由型钢-混凝土柱、钢梁框架和钢筋混凝土核心筒组成，共计36层，结构总高度110.2m，首层高4.0m，2-3层高3.6m，其余各层高均为3.0m，结构标准层平面如图3所示. 1-12层柱、墙混凝土强度等级为C50，其余各层为C40，楼板混凝土强度等级为C30，厚度150mm.主、次梁焊接工字型钢均采用Q345，柱截面主筋选用HRB400，屈服强度为360MPa，箍筋选用HRB335，屈服强度为300MPa，内置型钢选用Q345，剪力墙钢筋均选用HRB335，屈服强度为300MPa.截面尺寸如表1和表2所示.结构按8度（0.20 g）进行抗震设计，场地类别为Ⅱ类，设计地震分组为第一组，场地特征周期为0.35 s.楼面、屋面恒载分别取6.0和7.2 kN/m2，楼面、屋面活荷载分别取2和0.5kN/m2.本模型采用中国建筑科学研究院开发的PKPM2010完成配筋计算，采用CSI公司的ETABS9.7.3进行验算复核.

图3 算例一结构标准层平面图（单位：mm）Fig.3 Structural plan layoutof typical floor in example1（Unit：mm）

表1 核心筒构件截面尺寸Table1 Core tubemembers section size mm

表2 外框架构件截面尺寸1）Table 2 Outer framemembers section size mm

3.1.1 算例一计算模型

采用Perform-3D进行建模计算，梁采用Beam单元模拟，柱采用Column单元模拟，墙体采用Shear Wall单元模拟，连梁采用Beam单元模拟.文献［16］对连梁分别采用General Wall单元和Beam单元模拟进行了比较，结果发现二者计算结果差别较小.在实际工程中，一般建议采用梁单元进行模拟，这样单元划分较为灵活方便，同时连梁单元的性能评估也较为方便.

3.1.2 算例一模态分析

通过模态分析了解结构的自振特性和扭转效应，同时根据振型质量参与系数确定IMPA计算的振型数.为了保证Perform-3D建立模型的准确性，在进行分析之前将Perform-3D计算的振型与其他软件（Satwe、Etabs、Abaqus）的计算结果进行对比，证实了Perform-3D建模的可靠性，Perform-3D计算所得结构基本周期为2.688 s，第一扭转周期为1.692 s，周期比为0.63，结构整体的扭转效应较小.取结构前9阶振型，X向和Y向质量参与系数均达到90%.模态分析结果如表3所示.

3.1.3 模型一IMPA法计算过程及计算结果对比

限于篇幅，文中仅详细介绍X向分析过程.

对结构各阶振型分别按不考虑P-Δ效应和考虑P-Δ效应进行推覆分析，发现是否考虑P-Δ效应对Pushover曲线的影响不大，得到X向各阶振型下未考虑P-Δ效应的能力曲线并将其简化成二折线模型，如图4所示.

表3 算例一的模态分析结果Table 3 Modal analysis results of example 1

图4 X向前三阶平动振型下结构的Pushover曲线及二折线模型（算例一）Fig.4 Pushover curves and bilinear modal of the first three translationalmodes in X-direction（example 1）

本算例采用动力时程分析方法计算等效单自由度体系的目标位移.文中采用基于设计反应谱法选取地震动记录，选取8组天然波（El Centro、Taft、BLVD、Tabas、Northridge、EDA、GAZ和TCU071）和2条人工波（USER1和USER2）.各地震动反应谱曲线及平均值曲线如图5、图6所示.

根据前述原理对各阶振型等效单自由度体系进行时程分析，发现高阶振型计算的目标位移小于其屈服点位移，意味着结构在高阶振型推覆达到目标位移时仍处于弹性工作状态，因此仅需将基本模态对应的能力曲线进行改进.将基本模态的能力曲线简化成二折线后，确定转折点处的惯性力分布形状向量，从转折点起按该形状向量加载，得到二次加载的能力曲线，组合屈服点前的能力曲线得到新的Pushover曲线，并将新的能力曲线简化成二折线模型，如图7所示.

图5 各地震波加速度反应谱曲线Fig.5 Acceleration response spectra of each seismic wave

图6 各地震波加速度反应谱平均值曲线Fig.6 Average acceleration response curve of seismic wave

图7 基本模态修正后的Pushover曲线及二折线模型（算例一）Fig.7 Modified pushover curve and bilinear modal of the basic mode（example 1）

表4 不同计算方法的结构顶点位移计算结果（算例一）Table 4 Roof displacement calculation results of differentmethods（example 1）mm

分别在小震、中震、大震下对各阶振型对应的等效单自由度体系进行弹塑性时程分析（NLRHA），得到各地震波作用下等效单自由度体系的顶点位移，反算得到结构顶点位移，组合各阶振型的结构反应，得到原结构在不同地震波作用下的顶点位移，同时与MPA方法及对原结构进行弹塑性时程分析方法的计算结果进行比较，如表4所示.IMPA方法与MPA方法计算的顶点位移相对于弹塑性时程分析结果的相对误差如图8所示.

图8 不同简化计算方法所得的结构顶点位移与时程分析结果的相对误差（算例一）Fig.8 Relative errors of roof displacementbetween calculation results of different simplificationmethods and time history analysis result（example 1）

以地震波作用下计算的各阶振型等效单自由度体系顶点位移平均值作为目标位移，当结构顶点位移到达目标位移时，组合同一方向下各振型对应的层间位移角得到结构的总层间位移角.采用MPA法与IMPA法计算的层间位移角曲线与弹塑性时程分析所得结果的对比如图9所示.IMPA方法与MPA方法计算的层间位移角相对于弹塑性时程分析结果的相对误差如图10所示.

图9 结构层间位移角分布曲线对比（算例一）Fig.9 Comparison of story drift ratios（example 1）

3.2 算例二

本算例取自文献［16］中的工程实例——北京财富中心二期写字楼.该大楼的建筑面积约17万m2，结构总高度约264m，共59层（局部61层）.典型楼层楼面布置图见图11，外轮廓平面尺寸约为64m×41.5m，采用型钢混凝土框架-钢筋混凝土核心筒混合结构体系，长边为南北向，短边为东西向.

图10 不同简化计算方法所得的层间位移角与时程分析结果相对误差（算例一）Fig.10 Relative errors of inter-story driftangle between calculation results of different simplification methods and time history analysis results（example 1）

3.2.1 算例二计算模型

采用Perform-3D建立计算模型.模型中底层、加强层及加强层下一层的连梁由于截面高度较大，采用General Wall单元进行模拟，其余连梁采用梁单元进行模拟，连梁两端均设置弯曲铰，部分跨高比较小的连梁设置剪切铰；次梁由于两端为铰接，主要承担竖向荷载，故按弹性考虑；外框柱及外框梁均在其两端设置弯曲铰；核心筒的所有剪力墙采用纤维层来考虑其弯曲及轴向的弹塑性变形性能.

图11 算例二结构标准层平面图（单位：mm）Fig.11 Structural plan layoutof typical floor in example 2（Unit：mm）

3.2.2 算例二模态分析

Perform-3D计算所得结构基本周期5.321 s，第一扭转周期为3.264 s，周期比为0.61，结构整体的扭转效应较小.取X、Y向前4阶振型，X向和Y向质量参与系数均达到90%.X、Y向各前4阶振型参数如表5所示.

表5 算例二的模态分析结果Table 5 Modal analysis results of example 2

3.2.3 模型二IMPA法计算过程及结果对比

限于篇幅，文中仅介绍X向的计算结果.文中按未考虑P-Δ效应影响的模态加载进行Pushover分析，得到X向前4阶振型对应的Pushover曲线，根据前述原则，并将其简化成二折线模型，得到屈服点位移和屈服点强度，如图12所示.本算例采用动力时程分析方法计算等效单自由度体系的目标位移.选取的地震波与算例一相同.

根据前述原理对各阶振型等效单自由度体系进行时程分析，发现X向第3阶振型（Mode8）和第4阶振型（Mode13）计算的目标位移小于其屈服点位移，意味着结构在这两阶振型推覆达到目标位移时仍处于弹性工作状态，因此仅需考虑将X向第1阶振型（Mode1）和第2阶振型（Mode5）对应的能力曲线进行改进.修正后的能力曲线简化成二折线模型，如图13所示.

图12 X向前四阶平动振型下结构的Pushover曲线及二折线模型（算例二）Fig.12 Pushover curves and bilinearmodels of the first four translationalmodes in X-direction（example 2）

限于篇幅，本算例顶点位移计算结果仅列出各条地震波下计算的顶点位移的平均值，如表6所示.层间位移角曲线与弹塑性时程分析所得结果的对比及误差统计如图14及图15所示.

图13 X向第1阶及第2阶振型修正后的Pushover曲线及二折线模型（算例二）Fig.13 Modified pushover curve and bilinearmodels of the first two translationalmodes in X-direction（example 2）

表6 不同计算方法的结构顶点位移计算结果（算例二）Table 6 Roof displacement calculation results of different methods（example 2）

3.3 结构顶点位移与最大层间位移角计算误差分析

由前述两个算例可知，IMPA方法在评估结构顶点位移和层间位移角时，计算精度均优于MPA方法.同时，注意到IMPA方法与时程分析方法的计算结果仍存在一定的误差，主要由以下3个原因造成：

（1）在进行模态推覆分析时，文中算例仅选取其各方向前若干阶振型，未考虑其他更高阶振型的影响，故计算结果相对偏小.

（2）推覆分析为单向加载，而结构实际往往遭受双向地震动作用，故计算结果存在一定的误差.

（3）推覆分析为静力计算，未能考虑地震作用下结构的反复耗能的影响，故计算存在一定的误差.

图14 结构层间位移角分布曲线对比（算例二）Fig.14 Comparison of story drift ratios（example 2）

图15 不同简化计算方法所得的层间位移角与时程分析结果的相对误差（算例二）Fig.15 Relative errors of inter-story drift angle between calculation results of different simplification methods and time history analysis results（example 2）

4 结语

IMPA方法克服了MPA方法采用固定加载模式的不足，考虑对结构屈服前后采用分段的加载机制进行推覆分析.IMPA方法根据振型质量参与系数确定考虑的振型数，然后通过对各阶振型目标位移与屈服位移的比较，判断结构在高阶振型下达到目标位移时的工作状态，若结构进入塑性状态，则采用两阶段加载模式，然后组合各阶模态推覆分析的结果得到结构的反应.通过两个算例比较了IMPA方法、MPA方法和时程分析的结果，证明了该方法在评估结构地震反应时较MPA方法精度有了较大的提高，因此具有较大的工程应用价值.IMPA方法虽不能像时程分析一样反映出结构遭受地震作用下动力反应的全过程，但能给出结构的潜在破坏机制，为设计和性能评价提供依据，同时IMPA方法较时程分析节约大量的时间，提高工作效率.

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Im proved M odal Pushover Analysis Based on Two-Stage Loading Pattern

Jiang Huan-jun1Lei Jie1LüShang-wen2
（1.State Key Laboratory of Disaster Prevention in Civil Engineering∥Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction，Tongji University，Shanghai200092，China；2.Architectural Design and Research Institute of Tongji University（Group）Co.，LTD，Shanghai200092，China）

On the basis of themodal pushover analysis（MPA）method，amethod of improved modal pushover analysis（IMPA）is proposed.This method overcomes the shortcomings of the fixed loading patterns of the MPA（Modal Pushover Analysis）method，and its loading mechanisms before and after a structure yields are different. Then，by two examples，the IMPA method is compared with the MPA method in terms of roof displacement，interstory drift angle and elasto-plastic time-history.The results show that the IMPAmethod ismuchmore accurate than the MPA method when the twomethods are used to estimate the structural seismic response.

static elasto-plastic analysis；modal pushover analysis；lateral loading pattern；two-stage loading pattern；structural seismic response；roof displacement；inter-story drift angle

TU 318+.1

10.3969/j.issn.1000-565X.2015.07.009

1000-565X（2015）07-0057-11

2014-09-28

国家自然科学基金资助项目（91315301-4）；国家“十二五”科技支撑计划项目（2012BAJ13B02）

Foundation items：Supported by the National Natural Science Foundation of China（91315301-4）and the National Key Technology R&D Program of the Ministry of Science and Technology of China during the“12th Five-Yeat Plan”（2012BAJ13B02）

蒋欢军（1973-），男，博士，教授，主要从事工程结构抗震研究.E-mail：jhj73@tongji.edu.cn