W(0,1)的李双代数结构

2015-03-13 06:12邵霞付佳媛祁杰
关键词:复数等式代数

邵霞,付佳媛,祁杰

(中国传媒大学理工学部,北京 100024)

1 引言

Drinfeld于1983年基于量子群的基础首次引入李双代数的概念。量子群理论的核心部分是研究那些既非交换又非余交换的Hopf代数。

本文拟先研究W(0,1)的李双代数结构,确定其三角性与上边缘性。从而更易于我们对W(a,b)的李双代数结构的研究。

2 预备知识

首先,我们回顾一些与李双代数相关的一些基本定义及结果。

R 为复数域C 上的向量空间,ξ是 R⊗R⊗R 上的循环映射,即 ξ(x1⊗x2⊗x3)=x2⊗x3⊗x1,∀x1,x2,x3∈R,τ为 R⊗R 上的扭映射,即 τ(x⊗y)=y⊗x,∀x,y∈R。

R为复数域C上的向量空间,若存在线性映射σ:R⊗R→R满足:

称(R,σ)是一个李代数。

R为复数域C上的向量空间,若存在线性映射:△R→R⊗R:满足:

称(R,△)是李余代数。

对于李代数R,我们记[x,y]=σ(x,y),用·表示伴随对角作用:

定义2.1 若(R,σ)是李代数,(R,△)是李余代数,且满足相容性条件:

称三元对(R,σ,△)为李双代数。

U(R)是 R 中的普遍包络代数,1 是 U 中的单位元,对,定义 rij,c(r),i,j=1,2,3

为U⊗U⊗U中的元素。

定义2.2 (1)四元对(R,σ,△,r)称作是一个上边缘的李双代数,如果(R,σ,△)是一个李双代数,r∈Im(1-τ)∈R⊗R使得△是r的一个三角上边缘,即:△=△r,且

(2)上边缘李双代数(R,σ,△,r)称作是上三角的,如果r满足经典Yang-Batex方程(CYBE):

3 W(0,1)主要结果及其证明

首先,我们给出李代数W(0,1)的定义,复数域C上无限维李代数W(0,1)满足李括号积:

其中 i,j∈ℤ .为方便起见,以下均记 W(0,1).为 W

(1)三元对(R,[·,·],△)是一个李双代数,当且仅当 r满足 CYBE.

(2)(1+ ξ+ ξ2)·(1⊗ △)·△(x)=x·c(r),∀x∈ R (2.3)引理3.2 令W⊗n表示n个W的张量积,在W的伴随对角作用下,W⊗n称为一个R-模,假设r∈W⊗n满足x·r=0,∀x∈W.则 r∈C c⊗n。

元素r∈Im(1-τ)⊂W⊗W称为满足修正Yang-Batex方程(MYBE),若

推论3.3 元素r∈Im(1-τ)⊂W⊗W 满足CYBE,当且仅当它满足MYBE.

V=W⊗W为在伴随对角作用下的W-模.记Der(W,V)为W到V的所有导子的集合,d:W→V,d是一个线性映射,满足:

对∀v∈V,定义内导子vinn如下:

记Inn(W,V)为所有内导子的集合.我们知道

H1(W,V)为的系数在V中的一阶上同调群。

若d(Wn)⊂Wσ+n,n∈ℤ,称导子d∈Der(W,V)是一个次数为α的齐次导子,则

其中

在下面意义下成立,对所有 u∈W,仅有有限多个 dα(u)≠0,d∈Der(W,V).(称 d=∑α∈ℤdα是可加的).

命题3.4Der(W,V)=Inn(W,V),相应地,H1(W,V)=0。

只需证明每一个d∈Der(W,V),d=∑α∈ℤdα是可加的,且这有限个dα均是W到V的内导子即可。

断言1 若0≠α∈ℤ则dα∈Inn(W,V)。

即 dα(xn)=uinn(xn).因此 dα=uinn是一个内导子。

以下,用“≡”表示一个等式在模C(c⊗c)作用下恒成立。

断言2 对 d0∈Der(W,V)0,有 d0∈Inn(W,V)。

下面我们分几个子断言来证明。

子断言1 d0(L0)≡d0(c)≡0

对∀xn∈Wn,n∈ℤ ,将 d0分别作用在[L0,xn]=-nxn,[xn,c]=0 的两边,有 xn·d0(L0)=xn·d0(c)=0。由引理3.2 得,d0(L0)≡d0(c)≡0。

子断言2 存在u∈V0,使得将d0用d0-uinn替换后有d0(W)≡0。

对∀0≠m∈ℤ,n∈ℤ设

注意,对∀p∈ℤ,下面作用成立

因此d0(L1)可以简化为

将 d0作用在等式[L-1,L1]=2L0两边,比较的系数推出

因此

将 d0作用在等式[L2,L-1]=3L1两边,对∀p∈ℤ ,比较的系数有

因此

将 d0作用在等式[L1,L-2] =3L-1的两边,对 ∀p ∈ ℤ ,比较的系数有

因此

将d0作用在等式[L2,L-2]=4L0的两边,比较系数可得

记 Vir是 W 的 Virasoro 子代数,即 Vir=spanC{Ln|n∈ℤ }可由基{L-2,L-1,L1,L2}生成.又由于(2.13)、(2.14),可得

将 d0作用在等式[L0,[L0,H2]]=2H2的两边,比较系数可知

又由于 W 由{L-2,L-1,L2,H2}生成,由(2.15)、(2.16)可知

断言2得证。

断言3 d0≡0。

断言4 仅有有限多个n∈ℤ使dn≠0。

引理3.4 假设 ∃v∈V使对 ∀x∈W,x·v∈Im(1⊗1-τ),则v∈Im(1⊗1-τ)。

上述等式中的系数均在域C中,且每个求和符号对应的和式均为有限项求和,记元素都是 Im(1- τ)中的元素.用 v-u 代替 v,u 可以表示成 u1,p,u2,p,u3,p,u1,u2的线性组合,我们可以假设

假设存在 p >0,使 ap≠0,取 q >0,使 q≠p,则 Lp+q⊗L-p是在 Lp·v中的项,然而,由(2.20)可知,L-p⊗Lp+q不是 Lq·v中的项,与 Lq·v∈Im(1-τ)矛盾;进一步假设 qp=0,∀p∈ℤ*(这里ℤ*表示非零整数),类似地,同样可以假设dp=0,∀p∈ℤ*,因此(2.22)可表示为

由Im(1-τ)⊂ker(1-τ)及我们的假设W·v⊂Im(1-τ)可以推出a0=d0=a'0=c'0=bp=0 ∀p∈ℤ,且我们有

注意到{p|bp≠0}是有限项,比较各项系数,则

故(2.23)为

观察等式

显然,b1=0.引理得证。

定理3.1 上的李双代数结构都是三角上边缘的。

设(W,[·,·],△)是 W 上的一个李超双代数结构,由(1.6)、(2.5)及命题 3.4 可知,存在 r∈W⊗W,使得△ =△r,由于 Im△⊂Im(1-τ)及引理3.4 知,r∈Im(1-τ),又由(1.4)、(2.3)及推论3.3,可知 c(r)=0.根据定义可知,(W,[·,·],△)是一个上边缘的并且三角的李双代数。

[1]杨恒云.广义N=1,2超Virasoro代数的超双代数结构及表示[D].上海交通大学,2008.

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