教在学生思维的“拐点”上

高飞

学生思维的“拐点”处于学生认知的“最近发展区”内，是学生迁移运用已有知识和经验构建新知识及解决新问题的转折点，也是促进学生理解和掌握知识的关键。那么，在新知学习过程中，邂逅学生思维的“拐点”，教师要提供充足的时间和空间，引导学生在观察、猜测、比较、分析、讨论和交流等活动中，充分地经历“独立思考”“自主探索”“合作交流”的学习过程，让学生暂停探究的“脚步”，让思维“多飞一会儿”，不仅使学生获取数学知识和技能，而且帮助学生形成独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯。

在学生初步理解和掌握了小数加减法的计算法则的基础上，教材（苏教版五年级数学上册）安排教学：在小数减法中，被减数的小数部分数位比减数少的处理方法。怎样计算“被减数的小数部分数位比减数少”的小数减法？这对于学生来说是“新事物”。因为在他们已有的整数加减法的运算知识和技能中，既没有，也找不到现成的经验可资借鉴。因此，在学生迁移已有运算知识和经验、探索“被减数的小数部分数位比减数少”的小数减法的笔算方法时，在新旧知识的转折点，往往会出现认知的“拐点”。这里，就需要教师的智慧启发和引导，发挥善“教”的功能。

例题：

教学片段1：

在学生选择所需条件、完整叙述问题的基础上，引导学生独立列式：3.4-2.65，并鼓励学生尝试探索计算方法。其中，一名学生这样笔算：

“被减数的小数部分数位比减数少”是小数减法中的教学难点。因为按照整数加减法“相同数位对齐”的计算原则，在整数加减法运算过程中，遇到一个加数比另一个加数的数位多，或者被减数的数位比减数多的情况时，仍然是从末尾对齐依次计算。当较低数位上的数算完以后，较高数位上的数从竖式上移下来，直接写在“和”或“差”的高位上。比如，笔算525-25=500。当被减数与减数个位和十位上的数相减以后，被减数百位上的“5”从竖式上移下来，写在“差”的百位上。再比如，笔算103+18=121。两个加数十位和个位上的数相加以后，第一个加数百位上的“1”移下来，写在“和”的百位上。应该说，学生在过去整数加减法的运算中，不缺少这方面的计算方法和经验的储备。但是在小数加减法运算中，则强调小数点对齐（也就是相同数位对齐），这样一来，在用竖式计算“被减数的小数部分数位比减数少”的小数减法时，不可避免地出现减数小数部分的一个数或几个数“轮空”的现象，无法实现与被减数已知数位上的数一一对应。比如，像竖式3.4-2.65中的减数2.65百分位上的“5”。这时，往往会出现部分学生由于忽视了“被减数”和“减数”的地位差别。不能很好区分小数减法中“减数”多出的数位和“被减数”多出的数位的计算方式的不同。于是，基于整数加减法的计算经验，不假思索地把减数2.35百分位上的“5”先移下来，写在差的百分位上，然后从十分位开始减起。从而导致了整数加减法计算方法的“负迁移”，进而也促成了学生构建小数减法的笔算方法的认知“拐点”。在学生思维“爬坡”的地方出现了问题，这给教学提供了一个“千载难逢”的良机。因为学生“出错的地方”既是新知识的生长点，又是本节课教学的核心环节。如何利用好学生中生成的、有价值的错误资源？这不仅关系到突破重难点的时机把握问题，更是对教师教学智慧的考验。德国心理学家艾宾浩斯指出：“保持和重现在很大程度上依赖于有关心理活动第一次出现时的注意和兴奋程度。”这里的“有关心理活动”“第一次出现”就是“首次感知”。首次感知不准确，以后即便重复多次也难以消除已经形成的模糊印象。为此，我以“退”为“进”，通过“穿针引线”地巧妙点拨，促使学生亲身经历发现问题、分析问题和解决问题的学习过程，演绎了课堂精彩。

教学片段2：

师：请说说你是怎么想的？

生：3.4的百分位上没有数字，我想把减数百分位上的“5”移下来（这是学生迁移整数运算经验），然后从被减数十分位减起。

师：这位同学的想法似乎有一定道理，同意的举手！

有部分学生举手，也有部分学生不举手。

师：要判断这样算对不对，怎么办？

生：验算！

师：怎么验算？

生：用差加减数，看看是否等于被减数。（这是整数减法验算方法直接迁移过来的。）

师：那好，我们一起来验算。结果怎样？

生：0.85+2.65=3.5。

生：3.5不是被减数，不对！

师：听起来有道理的想法为什么会产生错误的结果？看来，我们还要从源头——竖式上找原因。

于是，全班学生的目光再一次聚焦到板演的“竖式”上。经过积极观察、思考、辨析、讨论和交流等活动，最终，学生发现：2.65作为减数百分位上的“5”不能直接移下来，否则，这里的“5”就失去了减数的数学意义；3.4作为被减数百分位上不是“空白”，而是“0”，表示百分位上没有计数单位，笔算时应该把百分位看作“0”来进行计算。

师：这样思考对不对？我们还需要笔算和验算来检验。

全班学生经过笔算和验算，结果正确。

……

教学中，面对学生在思维“拐点”上出现的问题，教师是主动出击，反复强调，“逼迫”学生接受，还是把问题“抛给”学生，引导他们自己经历识错、析错和改错的过程？这体现了教师不同的教学观。案例中，教师首先以“请说说你是怎么想的？”促使板演学生“晒一晒”原始想法。当发现这种想法在学生中具有一定的代表性时，教师依然没有“出手”作出正面引导和评价，而是继续启发“要判断这样算对不对，怎么办？”从而“润物无声”地引领学生走向自主发现错误之旅。同时，激活了学生已有的整数加减法的验算方法和经验，培养了学生负责任的计算态度。当学生通过验算，发现熟悉的计算经验不足以解决新问题时，原有的认知平衡被打破，“冲突”油然而生。在新认知不平衡的驱动下，返回“竖式”辨明原因和改正错误就成了全体学生共同的心理诉求。学生经过深入思考，发现“2.65作为减数百分位上的‘5’，不能直接移下来，否则，这里的‘5’就失去了减数的数学意义；3.4作为被减数百分位上不是‘空白’，而是‘0’，表示百分位上没有计数单位，笔算时应该把百分位看作‘0’来进行计算”时，也就实现了对“被减数的小数部分数位比减数少”的小数减法的计算方法的自主建构，不仅知其然，而且知其所以然。同时，真正发挥了学生学习主体功能，促进了学生情感、态度和价值观的发展。

【责任编辑：陈国庆】