灰色模型优化改进及其在人口城镇化问题上的应用

杨　翠，刘　冲，吕文华

(1.安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246011；2.滁州学院 数学与金融学院，安徽 滁州 239000)



灰色模型优化改进及其在人口城镇化问题上的应用

杨翠1，刘冲1，吕文华2

(1.安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246011；2.滁州学院 数学与金融学院，安徽 滁州 239000)

摘要：利用最小二乘原则求得最佳平移步长，对原始数据进行平移变换，建立GM(1,1)模型对中国人口城镇化作出了分析，并对预测结果进行了误差检验。从实例可以看出，最佳平移变换方法简单容易实现，优化后的灰色模型精度更高，从而能对中国人口城镇化程度提供更长期的预测效果。

关键词：灰色理论；GM(1,1)模型；人口城镇化；平移变换

中国人口城镇化问题是中国经济发展的一个重要表现形式。城镇化与经济增长二者之间呈现密切的相互促进关系。从经济角度看，城市化是在空间体系下的一种经济转换过程，人口和经济之所以向城市集中是集聚经济和规模经济双重作用的结果，特别是像经济急速发展的中国，人口城镇化问题是当前急需解决的问题，目前对这一问题有很多研究[1-2]，大多利用统计方法，这类方法需要大量数据支持，因城镇化程度很多时候是由于当前的经济发展速度决定，所以往往误差较大。

灰色理论是邓聚龙[3]教授首先提出，灰色预测具有小样本适用性，在很多预测领域发挥着重要的作用。但它存在一定的局限性。GM(1,1)模型主要适用于单一的指数增长序列，要求数据序列级比为定常数，预测结果才能够达到很好的精度。目前很多对GM(1,1)模型的改进主要体现在四个方面：1)改进模型的参数估计方法[4-5]，2)对背景值的改进[6-8]，3)对模型的初始条件的改进[9-10]，4)GM(1,1)模型形式的改进[11-13]。这些针对模型形式改进后，对于相应的问题来说精度有所提高，但对原始序列进行相应的变换以减少模型误差的分析很少。本文利用平移变换法优化灰色模型对人口城镇化问题进行分析和预测。

1灰色系统建模及预测的基本原理

1.1GM(1,1)模型的建立

设原始时间序列

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

(1)

对原始数列作累加生成(1-AGO)

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

(2)

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(3)

为GM(1,1)模型的基本形式，a,b为参数。

(4)

(5)

式(5)为最常用的GM(1,1)模型的一般形式，可进一步化简为

(6)

1.2模型GM(1,1)精度检验

GM(1,1)模型的拟合精度必须达到一定的要求，才能应用于实际问题的预测，当误差较大时，需要对模型进行相应改进。

平均相对误差：

(7)

2平移变换

2.1最佳平移步长

可知x(0)(k)-τ=αx(1)(k)-αkτ+β

(8)

令c1=ατ,c2=τ+β,(8)式为，

x(0)(k)=αx(1)(k)-c1k+c2

带入原始数据X(0)与X(1)，由最小二乘原则求得

[α,c1,c2]T=(BTB)-1BTY

(9)

这里B和Y分别为

Y=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]T，

则可得最佳平移步长τ=c1/α。

2.2平移变换GM(1,1)建模步骤

1) 根据(8)式求得参数αc1，确定最佳平移步长τ=c1/α；

4) 根据式(4)计算参数[a,b]T=(BTB)-1BTY；

5)根据公式

(10)

2.3模型说明

TT-GM(1,1):数据经最优平移变化后建立的GM(1,1)。

3人口城镇化的分析

本文选用2008-2013年中国城乡人口进行分析(表1)，考虑城镇人口所占比率变化规律。

表1　城乡人口对比表(单位 /万人)

3.1建立GM(1,1)预测模型

根据表1中城镇人口比率数据，由式(4)求得参数[a,b]T=[-0.033 5,0.451 0],建立GM(1,1)模型如下

(11)

根据式(9)求得最佳平移步长为0.685 1，对原始数据进行平移变换，求得参数[a,b]T=[0.098 8,-0.247 2]，建立数据优化后GM(1,1) 模型为

(12)

根据式(11)，(12),计算2008-2013年城镇人口的预测值及误差如表2。

表2　城镇人口的预测及误差

3.2模型预测与结果分析

根据表2所得数据，可得GM(1,1)模型和优化后模型对比图如图1。

从图1知，TT-GM(1,1)模型曲线拟合度比GM(1,1)模型要好得多，由表2可得TT-GM(1,1)模型的预测精度比GM(1,1)模型高很多，对比精度检验表，TT-GM(1,1)模型达到中长期预测精度，所以，利用TT-GM(1,1)模型对2012-2015年的城镇人口比率进行预测，将参数值代入(10)式，对应值为[55.46，56.68，57.80，58.80]，未来城镇人口比率变化趋势见图2。

图1GM(1,1)和TT-GM(1,1)模型对比关系

图2城镇人口比率变化曲线

4结束语

对原始数据进行平移变换能很好地改进灰色模型的精度，实例表明： 1)思想简单，比其它的改进方法更容易实现，能很好地解决直接运用GM(1,1)模型产生高误差问题，结果更加精确可靠；2)对数据进行平移变换，从一定程度上拓广了GM(1,1)模型的应用范围，使得灰色预测模型更加适合于预测经济发展、物价增长、人口增加以及其它数据呈增长型问题有很好的实际应用意义；3)TT-GM(1,1)模型对城镇人口变化规律进行预测分析，精度更高，能达到中长期预测效果。

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Using the Grey Model Optimized by Translation Transformation to Analyze the Problem of Population Urbanization

YANG Cui1, LIU Chong1, Lv Wen-hua2

(1.College of mathematics and computer science, Anqing Normal uiversity, Anqing 246011, China；2.College of mathematics and finance, Chuzhou university, Chuzhou 239000, China)

Abstract:The best translation step was first obtained by using the least squares principle and the original data was transformed by translation transform method in the paper. Then we constructed the GM(1,1) model to analyze the problem of population urbanization in China, and the result of forecast error was analyzed. The results show that the grey model optimized by the best translation method is more accurate and reliable. It can carry on forecasting the population urbanization in long term.

Key words:grey theory, GM(1,1)model, population urbanization, translation transformation

文章编号：1007-4260(2015)03-0035-03

中图分类号：O231.9

文献标识码：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.010

作者简介：杨翠，女，安徽安庆人,硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院讲师，研究方向为微分方程、系统稳定性分析。

基金项目：安徽高校省级科学研究项目(KJ2014A180)和安徽省自然科学基金青年项目(1508085QA14)。

收稿日期：2014-07-07

网络出版时间：2015-8-25 15:40网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.010.html