耐用设备租赁及预防性维修的联合优化策略

杨爱峰， 王文婷， 范世庆

（合肥工业大学 管理学院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

随着企业生产规模的不断扩大和生产技术的提高，越来越多的企业需要配备大型化、智能化、自动化的设备以满足消费者个性化、多样化和差异化的需求。但面对昂贵的设备购买成本及维修费用等不利因素，一些企业开始由购买设备转向租赁设备［1］。于是在这样的背景下，有些企业（称为租赁商）开始购买耐用设备并专门用于经营性租赁，从而获得相应的租赁收益。租赁模式下设备的所有权始终归租赁商所有，承租企业只需与租赁商签订耐用设备的租赁合同便可获得一定时期内设备的使用权，而设备在租赁期内发生的一系列维修服务成本将由租赁商承担。因此，为了保证设备在租赁期内正常工作，降低设备故障维修成本，增加设备在租赁期后的残值收益，租赁商需制定包括租赁次数等在内的耐用设备租赁维修计划。

设备故障的维修方案，按其维修时间的不同可分为事后维修（corrective maintenance，CM）和预防性维修（preventive maintenance，PM）［2］。其中，事后维修是指当设备发生故障后进行维修使设备恢复到其故障前的工作状态，但并不改变设备的故障率和使用寿命；它是一种传统的维修方式且是出现不可预知的紧急状况后的唯一处理手段，因此事后维修一般都会使企业面临昂贵紧急的维修费用。预防性维修是指根据设备故障维修数据和零部件磨损规律，制订科学的生产系统预防性维修策略，在设备发生故障前就采取各种预防性措施来保证生产设备能够处于正常工作状态。有效的预防性维修可以降低设备的故障频率，延长设备的使用寿命，有效地降低了企业的维修成本。

与本文关系紧密的租赁设备预防性维修最优策略代表性研究成果如下：文献［3］从消费者的角度，提出了一种基于设备年龄更新维修设备的策略，从而延长设备的使用周期，降低了消费者的总成本；文献［4］提出对具有剩余价值的产品决定其租赁期及预防性维修政策，从租赁商的角度，对其在租赁设备维修中利润问题做了进一步的分析，但文献中对租赁周期Ti、设备进行预防性维修的初始故障率控制点θa与维修程度x的关系表述有所欠缺，实际为Ti＋1－Ti＝θa＋ix；文献［5］给出了租赁设备的最优预防性策略，考虑了在固定的租赁期L内分别在时刻t1，t2，…，tk（0＜t1＜t2＜ …＜tk＜L）对设备进行k次预防性维修，每次预防性维修使得设备故障率降低δj，使得企业（承租人）在租赁期内总成本最小；文献［6］从企业（承租人）的角度，建立了相应的设备供应商的最优定价策略以及最佳维修和更换策略，从而满足企业（承租人）在购买设备时期望延长设备保修期的要求；文献［7］将租赁品与再制造联系起来，探讨了租赁商对租赁品进行回收再制造的最优库存与定价策略，体现了租赁品再制造与出售产品再制造产品所属权不同的特征；文献［8－9］分别对再制造产品租赁的最优库存和定价策略及对租赁设备在租赁期内的最优维护策略进行了研究；文献［10］对易逝品的租赁供应链模式进行了深入研究，重点突出易逝品随时间消耗其价值不断降低的特征；文献［11］对租赁返回产品的回收再制造活动协调机制进行了研究，主要分析了分散决策模式和集中模式下租赁商对到期返回产品的最优库存、再制造策略问题，但却没有集中体现租赁品与普通产品再制造的具体差异特征；文献［12］以雪橇租赁为例，研究了占线决策者对产品进行T周期租赁，可以获得一定折扣的租赁价格，从而建立了带预期的占线租赁模型，研究租赁商之间的确定性竞争策略。

本文研究了耐用设备的租赁及预防性维修联合优化策略，进一步假设耐用产品租赁期结束后的残值回收收益是随预防性维修次数及预防性维修程度线性递增，建立了一个更加符合现实的租赁设备运行情况的预防性维修模型。本文着重考虑设备残值对租赁商利润的影响程度，租赁商可以通过安排合理的预防性维修策略来增加租赁设备在租赁期末的剩余残值，最终使得租赁商在租赁活动中获得更高的利润，同时也提升了租赁商的服务水平和可信度。

1 符号说明与模型假设

1.1 模型中用到的符号

本文研究的耐用设备租赁活动主要包括租赁商、承租人和租赁合同3个要素。租赁商向承租人租赁耐用设备并提供相应的维修服务，承租人需按租赁合同支付相应的租金。因此租赁合同中通常包括租赁价格、租期内设备要求达到的工作状态及设备故障的维修方案等。

模型假设已知参数：W 为耐用设备的单位租赁价格；td为耐用设备的生命周期；V为租赁商购买耐用设备的价格；Vd为耐用设备在预防性维修情况下td末的单位残值；f（t）为设备发生故障的密度函数；F（t）为设备发生故障的分布函数；Cr为设备事后维修的单位成本；Cp（x）为设备预防性维修的单位成本；ti为第i次预防性维修的时间点；TC为租赁商的总成本；TR为租赁商的总收入；TP为租赁商的利润。

模型假设决策变量：θa为设备进行预防性维修的控制初始点；L为耐用设备的租赁时间；x为设备预防性维修每次恢复程度；n为设备在整个租赁期内进行预防性维修的总次数。

1.2 模型假设条件

（1）租赁设备发生故障后，经过事后维修可以恢复到故障前的状态，但事后维修不能改变设备的故障强度，也不会延长设备的使用寿命。

（2）本文所考虑的设备事后维修时间及设备预防性维修时间均远远小于设备的平均故障间隔时间及租赁期限；因此，本文忽略事后维修时间及预防性维修时间。

（3）在计算租赁商利润中，本文假设一个随设备预防性维修次数及单位维修程度呈线性相关的单调递增函数来表示租赁设备期末的回收残值，以此体现租赁商按计划对设备进行预防性维修作业可以延长设备使用寿命的特征。

（4）由于本文考虑的是对耐用设备的长期租赁及维修问题，故当租赁设备达到其租赁期限后，租赁商将对设备进行回收，评估其剩余残值。

2 模型建立

耐用设备的租赁及预防性维修优化策略主要是从租赁商的角度，通过优化租赁设备的预防性维修策略，减少对设备发生故障的维修次数及故障维修成本，增加租赁设备在租赁期末的回收残值，建立租赁商利润最大化模型。

租赁商在整个租赁期L内的总利润为：

（1）式中第1部分为租赁商在租赁期L内获得的总收入，包括租赁设备所得租金收入LW和耐用设备在租赁期L末回收所获得的总残余价值。假设设备的单位残余价值Vd是与耐用设备预防性维修次数n及维修程度x线性相关的单调递增函数，即Vd＝V0＋nx。耐用设备在租赁期L末回收所获得的总残余价值为：

由此可得，租赁商在租赁期L内的总收入为：

（1）式中的第2部分为租赁商在租赁期L内所产生的总成本，其主要是由租赁设备发生故障的维修成本及租赁商购买耐用设备价格V2个部分组成。本文将维修成本根据维修时间的不同分为事后维修成本和预防性维修成本2项进行讨论。其中事后维修成本可以在耐用设备进行预防性维修情况下，根据预测的设备故障率得出，具体分析过程如下：假设设备的租赁期限为L（0≤L≤td），设备在租赁期内发生故障的密度函数及分布函数分别为f（t）、F（t），其中f（0）＝0；对设备进行预防性维修的初始故障率控制点为θa。当设备运行t时间后，达到预防性维修的控制初始点θa时，租赁商便开始对设备采取预防性维修策略，每次的维修程度均为x，如图1所示。即设备每进行一次预防性维修之后，设备的使用年限就相应增加x，于是有：

ti＋1－ti＝x，i＝1，2，…，n，

因此，在预防性维修的情况下，租赁设备在租赁期L内的总故障率为：

假设当租赁设备在租赁期L内发生故障时，事后维修的单位成本为Cr，事后维修时间忽略不计，可得租赁期L内设备的总事后维修成本为：

图1 耐用设备的预防性维修示意图

设备维修的总成本中的另一部分为设备的预防性维修成本，其主要考虑了租赁设备在租赁期L内进行预防性维修次数n及维修程度x，假设预防性维修的单位成本为a＋bx，其中a＞0，b＞1，因此设备在租赁期内的总预防性维修成本为：

由上述分析可得，租赁商在整个租赁期L内的期望总成本为：

将（1）式化简可得：

3 模型求解

在考虑设备剩余价值Vd的情况下，为对已经建立的模型求解，首先假设耐用设备故障率的密度函数f（t）是关于时间t的增函数，即f′（t）＞0，∀t＞0，这是因为根据实际情况，随着租赁时间t的增加，设备发生故障的频率也越来越大。

定理1 当f′（t）＞0，∀t＞0，且n，L，x＞0，租赁设备进行预防性维修的最优控制初始点。

证明 对（8）式进行关于θa的一阶求导，可得：

因为当f′（t）＞0，∀t＞0，所以f（θa）－f（θa－x）＞0，即

得E［TP（θa，x，L，n）］是关于θa的单调递减函数。又x≤θa≤L，故。定理1得证。

定理2 当f′（t）＞0，∀t＞0，且a＞0，b＞1，x＞0，租赁设备预防性维修的最优维修程度x＊＝L／（n＋1）。

证明 对（10）式进行关于x的一阶求导，可得：

得E［TP（x，L，n）］是关于x的单调递减函数。又，θa＝x，从而得出x＊＝L／（n＋1）。定理2得证。

将x＊＝L／（n＋1）代入（10）式可化简租赁商的利润函数为：

证明 将（12）式分别对租赁期L进行一阶和二阶求导可得：

即得，可知是关于租赁期L（0≤L≤td）的单调递减函数。

又因为

可分以下3种情况求得租赁设备的最优租赁期L＊：

定理3得证。

为求解租赁设备进行预防性维修的最优预防性维修次数n＊，设计如下算法：

（1）取变量n的初始值n＝1，max＝0。

（2）若，则L＊＝0，租赁设备预防性维修的最优策略为（n＊，x＊，θ＊）＝（0，0，0），E［TP］＝max＝0，迭代停止；否则转步骤（3）。

4 算例分析

假设租赁设备故障率和故障维修时间均服从二参数威布尔分布，其发生故障的密度函数为f（t）＝λβ（t）β－1，λ＞0，β＞0，t＞0，假设租赁设备预防性维修模型中其他参数的具体数值如下：

W＝800＄，V＝1 000＄，V0＝20a，

td＝20a，Cr＝280＄，Cp（x）＝50＋bx（b≥1）。

对于不同取值的b、λ、β，租赁设备的最优预防性维修（PM）策略对租赁商的影响，见表1所列。

表1 租赁设备的最优预防性维修（PM）策略对租赁商利润的影响

由表1可以看出：

（1）租赁期L增加，预防性维修（PM）成本Cp增加，对设备进行预防性维修（PM）的次数增加；租赁商利润减少。

（2）预防性维修（PM）的次数增加，可使设备的剩余价值增加，即可延长设备的生命周期，租赁商利润增加。

（3）设备故障强度增加，租赁期L变短，设备的剩余价值降低，即设备生命周期的延长率降低。

5 结束语

本文将产品租赁融资模式与设备预防性维修（PM）相结合，通过对租赁设备运行时故障次数、预防性维修程度、预防性维修次数及租赁期限的研究，建立了有残值的租赁设备的最优预防性维修策略模型，从而优化了租赁商的利润函数，使租赁设备在租赁期内获得更高的生产效率及服务能力。另外，耐用设备租赁回收残值除了与设备预防性维修时间、维修程度、租赁期限有关，还与设备故障损耗等其他因素有关，需要进一步探索。

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