电荷体系在变化外电场中的能量(势能）与受力

景义林

(安阳师范学院物理与电气工程学院，河南安阳 455000）

文献［1］分析了一定电荷分布的电荷体系在不变外电场(即当电荷体系在外电场中的位置发生变化时，外电场的分布情况和产生外电场的电荷分布情况不变）中的能量，即一定电荷分布的电荷体系在不变外电场中的势能。这种情况下，一定电荷分布的电荷体系在外电场中的能量(势能）就是电荷体系与外电场的相互作用能。但在实际中，一般情况下，一定电荷分布的电荷体系在外电场中的位置发生变化时，外电场的分布情况和产生外电场的电荷分布情况会随之而发生变化，这里，我们把这种外电场简单称之为变化外电场，如一定电荷分布的电荷体系周围是导体或带电导体，这时，电荷体系所处的外电场就是导体上的电荷所产生的电场，当电荷体系相对导体的位置发生变化时，导体或带电导体的电荷分布情况及其所产生的电场就会随之而发生变化。那么，这种情况下，一定电荷分布的电荷体系在外电场中的能量(势能）等于什么呢?还等于电荷体系与外电场的相互作用能吗?本文拟分析这个问题，并根据势能分析研究电荷体系的受力情况。

1 一定电荷分布的电荷体系所受变化外

电场的电场力也是保守力系，故一定电荷分布的电荷体系在变化外电场中也具有势能

先来说明一点。点电荷在导体或带电导体周围时，所受导体或带电导体电场的电场力是保守力。

众所周知，点电荷在电荷分布一定的带电体所产生的静电场中所受电场力是保守力，但当点电荷在导体周围(导体由于静电感应，要产生感应电荷）或带电导体周围的静电场中时，对应于点电荷所在的每一个位置，都对应着导体或带电导体的一个确定的不同的电荷分布。因此，点电荷相对于导体或带电导体位于不同位置时，对应的导体或带电导体的静电场严格说来并非同一个静电场，但通过下面的分析，我们可以知道，电荷所受导体或带电导体静电场的电场力依然是保守力。

当点电荷位于导体或带电导体周围某一位置(位矢为X）时，点电荷所受导体或带电导体电场的电场力及其旋度

一定电荷分布的电荷体系可看作是由相对位置一定的许多元电荷组成的。由此可知，当一定电荷分布的电荷体系在外电场中的位置发生变化时，即使产生外电场的电荷分布情况和外电场的分布情况发生变化，电荷体系所受外电场的电场力也是保守力系，电荷体系在这样的变化外电场中也具有势能。

2 一定电荷分布的电荷体系在变化外电场中的能量(势能）

两个电荷体系的能量，涉及到以下几种:两个电荷体系的总能，两个电荷体系的自能，两个电荷体系的相互作用能，一电荷体系在另一电荷体系电场中的能量即势能。其中，两个电荷体系的相互作用能是两个电荷体系的总能与两个电荷体系的自能之差。

为了研究一定电荷分布的电荷体系在变化外电场中的能量(势能），我们来看当一定电荷分布的电荷体系在变化外电场中从一位置移动到另一位置时，电荷体系在外电场中的能量(势能）的增量。按照势能的定义，在外电场中，当电荷分布一定的电荷体系从一位置移动到另一位置时，电荷体系在外电场中的能量(势能）的增量等于外力所做的功。与文献【1】所述情况——即一定电荷分布的电荷体系在不变外电场中的情况不同的是，这里，当一定电荷分布的电荷体系在变化外电场中从一位置移动到另一位置时，不仅一定电荷分布的电荷体系与产生变化外电场的电荷体系的相互作用能要发生变化，而且由于产生外电场的电荷分布情况和外电场要发生变化，故产生外电场的电荷体系的自能也要发生变化，这个能量的变化必然也是由于外力做功的缘故。因而外力做的功等于两电荷体系相互作用能的增量与产生外电场的电荷体系自能的增量。故这种情况下，一定电荷分布的电荷体系在外电场中位于某一位置时，电荷体系在外电场中的能量(势能）等于两电荷体系的相互作用能与产生外电场的电荷体系的自能之和。

3 一定电荷分布的电荷体系在外电场中的受力

一定电荷分布的电荷体系在另一电荷体系电场中的能量(势能）知道了，那么，根据势能，我们即可求该电荷体系所受另一电荷体系电场的作用力了。

电荷分布一定的电荷体系的自由度是6，电荷体系的位置可用6个广义坐标来描述。设用电荷体系(刚体）上某一点(参考点）的直角坐标x、y、z和过该点与电荷体系固连的某一有向直线与x、y、z轴的夹角 α、β、γ 为描述体系的广义坐标。则电荷体系在另一电荷体系电场中的势能

4 举例

一定电荷分布的电荷体系在变化外电场中的势能

Ws1为产生变化外电场的电荷体系的自能，Wi为两电荷体系的相互作用能。举两个特殊的例子。

例1 点电荷q距半径为R0的接地导体球的球心为r，分析点电荷所受作用力。

解:这一例题中，电荷体系——接地导体球的电荷分布不仅随它与另一电荷体系——点电荷q之间距离变化而变化，而且它的带电量也随二者之间距离的变化而变化。

根据镜像法求解静电场［1］的结果，我们可以求出接地导体球的感应面电荷密度［2］

以上列举的两个简单例子，对于处在变化外电场中的一定电荷分布的电荷体系都是再简单不过的点电荷。单就这两个例子来说，这里，我们利用其在外电场中的势能来求解其受力，似乎有舍近求远、舍简就繁的嫌疑，但就一般的一定电荷分布的电荷体系来说，知道了电荷体系在外电场中的势能，我们就可根据势能求其在外电场中的受力情况，就可利用拉格朗日方程求其运动规律，这往往要比利用积分法求电荷体系的受力情况、利用牛顿定律求电荷体系的运动规律要简单得多。

［1］郭硕鸿.电动力学(第二版）［M］.北京:高等教育出版社，1997:91，72，74.

［2］倪忠楚.用电像法求电荷与导体间作用力时应注意的一个问题［J］.物理与工程，2003，13(4）:19 －22.