浅谈数学思维对解题的重要意义

张文波（农安县万顺乡中学 吉林农安 130200）

浅谈数学思维对解题的重要意义

张文波
（农安县万顺乡中学 吉林农安 130200）

本文以中考例题为切入点，阐述了数学思维在解题过程中的重要作用。

数学 中考 方法 体验 解题

请看以下例题

（1）连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O|恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数。的值：

（2）在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧。小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）。”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；

（3）当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由。

【教学反思】

本题共计390字符，阅读量偏大。题中均有抛物线，故以二次函数为“载体”，考查三角形与四边形，起点较高，难度较大。主要体现在两方面：一是考查知识点较多且需深入挖掘；二是数学思想运用得较为广泛，对学生综合素质要求较高。一见到本题，大多数学生感觉无从下手，即使是尖子生，面对第（2）题同时也难免一头雾水。真的这么难吗？

一、理清基本知识点，寻找解题思路

教学时，首先让学生尝试说出本题考查的知识点，主要包括折叠问题、三角形的有关知识、命题、二次函数的交点式及对称性、平行四边形、解直角三角形、垂线段、解方程、解不等式等。从这么多知识点中快速寻找解题思路，对基本能力（特别是化归能力）要求颇高：同时，本题阅读量偏大，还应关注学生获取、收集、处理和运用信息能力；题目新颖，又考查学生创新精神和实践能力。教师在教学中应做到：

1.及时归纳，寻找“突破点”

俗话说，万变不离其宗。图形在平移、旋转或翻折过程中，位置和方向会有所改变，但其本质是全等变换，其中蕴含的不变往往是解决问题的突破口。针对第（1）小题，学生大都思路清晰，能把握住“折叠”这一全等变换，从而利用对应边、对应角的不变性进行分析。再联系到求解二次函数与坐标轴的交点坐标及对称性这经常性问题，通过解直角三角形求解。教师在引导学生归纳解题思路时应紧扣不变量，关注方法，要把解题思维贯穿于一种题型中，让学生自我形成知识建构。

2.适时提升，体验“全过程”

在日常教学中，教师要重视学生体验知识产生和发展过程，理顺知识的来龙去脉，理清知识呈现的过程，理解公式、定理和法则等的推导过程，杜绝死记硬背，给学生充分反思时间，逐步提升学生能力。第（2）问考查的知识，需要提醒学生关注第一个正确命题，找准关键点，体会不构成平行四边形是考虑边的数量关系不满足平行四边形的判定，从而大胆猜测证明一条与另外三条不相等，类似解决方法在2011年《中考数学能力自测》208页第2题最后一问中有所体现。对于新颖的能力提升题，应让学生在体验分析和解决问题的全过程，做到事半功倍。

二、挖掘思想方法，体验解题过程

本题运用的数学思想方法较多，包括化归、数形结合、特殊到般，以及方程等思想。解决本题离不开数学思想的综合运用，教师在教学中应关注这几种思想的展现过程：

1.体验过程，重视思考和交流

“解题就是把要解的题转化为已解过的题”。数学解题过程就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。“学而不思则罔”，教师应引导学生解题时勤于思考，不仅立足原题思考，还要有举一反三和触类旁通的变式思考。拿到压轴题后，不要急于动手，而是思维在先。有相当一部分学生在压轴题上失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本概念和简单计算或输在“审题”上。讲解本题时，我让学生尝试把自己体会主动大胆讲给其他同学听，遇到问题要善于和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。当时第（2）问他们讨论得很热烈，讨论重点并不是浅显的成立不成立，而是如何去说明不构成平行四边形，个别同学甚至已初步得出PB比另外3条小的突破点。通过思考、交流和体验过程，慢慢展示自己分析问题能力，再加上扎实基本功，压轴题也不在话下。

2.优化思维，提炼思想和方法

讲课时，教师要注意展示学生解题的思维过程，更要注重典型题目的运算技巧。2011年苏州市中考数学阅卷老师深有感触：许多同学做压轴题时存在思维混乱问题。中考时间毕竟有限，要解决这么多问题，应在考前冲刺做文章。台上一分钟，台下十年功。日常训练中对待一些疑难问题，应引导学生多些思考、探究和尝试，发现创新性解法。要教会学生“大题小做”，即对一些综合题应化“大”为“小”，以“庖丁解牛”的精、气、神，把它“肢解”成小问题，然后对这些小问题逐个推导，找出规律，再将其融合升华为大题。要注重培养学生直接观察、大胆猜测及多种数学思想的灵活运用，让学生碰见难题时“化难为易，化繁为简，化未知为已知”，切实提高学生基本功。

俗话说，“授人以鱼不如授人以渔。”由一道题的解决方法出发，掌握一类题的普遍做法，是应倡导的教学技巧。基于此，针对苏州市2011年中考数学中的这道压轴题，要引导学生理清这类题的大致思路及般解法，找出其共性；更要抓住其中细微区别，找出其特殊性。当然，更希望学生不仅会对老师讲过的题“依葫芦画瓢”，而且对其变式题更要做到求“同”存“异”。其实，数学题目存在无限的数量，题型类别也丰富多彩，但数学的思想方法却还是相对有限的，特别是还存在中考大纲的范围限制。因此，相信只要学好有关基础知识，掌握必要数学思想方法，就能轻松应对各种题目和题型，提升数学逻辑和思维能力。