基于APOS理论的负数概念教学设计

扬州大学教育科学学院（225002） 姚 进

一、研究背景

数学是研究数量关系和空间形式的科学，它利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。概念是对事物本质的认识，只有正确理解概念，才能领会数学的基本知识。在概念教学的过程中，教师应向学生展示数学知识缘起、发展、演变的过程，以此帮助学生把握数学知识的本质，在这个过程中，学生积极建构知识，获得概念。

在数的发展过程中，负数是数系的一个重要组成部分，之前负数的学习安排在初中一年级。由于“正数”思考方式的影响，学生在初次接触与正数相反的负数学习时是有难度的，负数概念是教学中的一个难点。所以，在数学课程标准（2011年版）中对这部分内容作了调整，在义务教育第二学段“数的认识”提出“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量”，提前了负数概念的出现，为有理数的学习埋下伏笔。因此对负数概念教学的研究有重要的现实意义。

二、理论基础

根据皮亚杰研究的建构主义背景下，美国的杜宾斯基等人提出了数学概念学习的APOS理论模型。学生在数学概念的学习过程中进行心理建构，建构过程要通过四个阶段：阶段一：操作或活动（Action）；阶段二：过程（Process）；阶段三：对象（Object）；阶段四：概型（Scheme）。“操作A”是学生建构数学概念的起点，是理解概念的一个必要条件。通过活动，学生亲身感受概念的直观背景和概念与概念之间的联系，转换感知对象，为过程阶段提供感性的素材。“过程P”是学生通过观察、联想、内化、描述并反思活动，抽象出概念所特有的内涵。“对象O”是通过前面的抽象，认识概念本质，赋予其形式化的定义及符号，成为一个具体的对象。在后继的学习中，以此为对象进行新的活动。“图式S”是在头脑中形成综合的心理图式。在概念形成的整个过程中，相应的活动为图式的形成提供了必要的基础。单个图式只是离散的操作、过程和对象，把相似的知识点分隔开了，而多个图式则注重各个图式之间的衔接，把相似的知识点联合成一个整体。这样有利于知识点之间的迁移，学生也能理解相关知识点之间的联系，并建构出知识点之间的内部结构，形成较大的图式。

APOS理论下的概念教学设计遵循概念形成的一般规律，将概念形成的过程融入课堂教学设计的各个阶段，可以让课堂教学成为学生构建概念的思维发展平台，促进学生的概念生成。

三、教学设计：以负数概念教学为例

1.教材解析

日常生活中的实物计量产生了数的概念，能通过日常生活接触到的数只有自然数，要经过理性的思考才能获得其他的数。现行的中小学数学教材中，数系扩充是从某种测量的实际需要出发来说明扩充的必要性。本文以苏教版小学数学教材为例，“负数的初步认识”安排在五年级上册第一单元，共编排4个例题，例1是温度计上的数，例2与海拔有关，例3是盈利与亏损问题，例4与数轴相联系。负数是在学生认识了自然数并初步认识了分数和小数的基础上进行教学的。负数知识的学习，有利于学生对实际生活中负数应用的理解，生活数学化，数学生活化，提高学生运用数学认识世界和解决实际问题的能力。

2.具体设计方案

（1）操作阶段：创设情境，引入概念。

任何教学设计都要结合学生的心理特征和认知规律，教师引入概念时要考虑知识的直观性和可接受性，更要思考所引概念的必要性。小学生认知中已经建立起上下、前后、左右等代表相对意义的概念，“负数”概念安排在五年级上册第一单元，教材中选取“温度”这一学生熟知的素材展开教学。播放天气预报片段，让学生观察温度的表示和读法，介绍温度计的基本知识。随后直接呈现例1三个城市的温度，提问两个“20”表示的温度一样吗？让学生自己去发现、交流、体验。

在操作阶段，学生通过“活动”亲身体验，转换感知到的对象，以实际经验来获取信息，通过观察、发现、经历数学概念形成的过程。在这个过程中，教师精心设计并展开操作活动，提供足够的时间和空间，学生在操作中感悟，体会生活生产中引入负数概念的必要性。

（2）过程阶段：抽象概括，归纳概念。

出示例2直观图，说明虚线表示的是海平面，观察直观图，交流得到的相关信息。之后，教师明确用“正数”表示珠穆朗玛峰的海拔高度，用“负数”表示吐鲁番盆地的海拔高度，这是学生初步了解正数和负数是一对相反意义的概念的形象的直观模型。自学课本，在彼此的交流中掌握读和写的方法。明白像＋20、＋8844.4这样的数都是正数（正数前面的“＋”可以省略不写），像－20、－155这样的数都是负数。如此归纳出负数的概念。

概括概念实际上就是给概念下定义，运用已知的概念去解释新概念的内涵。教学中应充分调动学生的主观能动性，激发学生通过积极思考、自主探索、合作交流等多种方式学习数学。

（3）对象阶段：深入理解，剖析概念。

通过前两个阶段的活动与抽象，学生已经初步认识负数概念，并给出了形式化的定义及符号，成为一个具体的对象，学生将会运用这个具体对象进行之后新的活动。在对象阶段，参照例4进行如下的教学：请三位学生到教室前，其中一位学生在某一位置固定，另外两位学生分别向左、右相反方向走两步，思考如何确定他们变化后的状态。学生解决这个问题时，要把负数作为具体对象在问题情境中进行活动，建立数轴的概念。同时明确：0右边的数都是正数，左边的数都是负数。即正数都大于0，负数都小于0。

在对象阶段，旨在引导学生将数轴上的点与抽象的正数、0、负数一一对应，感受数形结合的思想，同时感受正数、负数在数轴上的排列规律。进入对象阶段时，负数概念是一种静态的、独立的对象。通过比较，提取与负数概念相对应的条件，阐明概念的内涵与拓展，揭示其中暗含的数学思想，在整体上理解概念。

（4）图式阶段：实际应用，形成图式。

经过三个阶段后，负数概念已经形成了一个包含具体对象、抽象过程、完整定义以及和其他概念（如零和负数等）既有差别又相互联系的综合的心理图式。图式阶段要加强概念在生产生活中的实际应用，以帮助学生形成稳固的心理图式。如“练一练”中收入和支出的记录，要求说出各项收入和支出的情况。这是一个生活中常见的问题，教学中通过实践应用加深学生对概念的理解，有意识地加强学生分析问题与解决实际问题的能力。

学生对操作、过程、对象以及自己认知中原有的图式进行适当的整合，同化或顺应产生平衡状态，即新的图式。这个阶段，概念从具体中抽象出来，而在抽象的过程中又完善了对概念的定义，这是对以上三个阶段的综合。个体的思维和认知状况，在连续地建构中已经上升到更高的新的水平。

综上，数学概念的学习是一种对数学活动、对象、图式的建构过程，教学设计中应该注意操作、过程、对象、图式四个阶段的整体性，在教学中应把“操作”（或活动）作为指引，在“过程”中反思，在“对象”中深入，在“图式”中整合，让学生经历概念形成的各个阶段，分层次逐渐展开各个教学环节。