无穷级数在经济学中的应用

辛春元

(辽宁对外经贸学院，辽宁大连 116052 )

无穷级数在经济学中的应用

辛春元

(辽宁对外经贸学院，辽宁大连 116052 )

结合实例，对无穷级数在经济学中的应用进行了探讨与研究.

无穷级数；经济学；应用

无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，本质上它是一种特殊数列的极限。它是用来表示函数、研究函数性质，以及进行数值计算的一种重要工具，对微积分的进一步发展及其在各种实际问题上的应用有着非常重要的作用。下面结合实例介绍无穷级数在经济学中的应用。

例1（奖励基金创立问题）[1]：为了创立某奖励基金，需要筹集资金，现假定该基金从创立之日起，每年需要支付4百万元作为奖励，设基金的利率为每年5%，分别以

(1)年复利计算利息；

(2)连续复利计算利息。

问需要筹集的资金为多少？

解： (1)以年复利计算利息，则

第一次奖励发生在创立之日，第一次所需要筹集的资金 (单位：百万元)=4；

第二次奖励发生一年后时，第二次所需要筹集的资金 (单位：百万元)=；

第三次奖励发生二年后，第三次所需要筹集的资金(单位：百万元)=；

一直延续下去，则总所需要筹集的资金 (单位：百万元)=4+++…++…这是一个公比为的等比级数，收敛于=84。

因此，以年复利计算利息时，需要筹集资金8400万元来创立该奖励基金。

(2)以连续复利计算利息时

第一次所需要筹集的资金 (单位：百万元)=4；

第二次所需要筹集的资金 (单位：百万元)= 4e-0.05；

第三次所需要筹集的资金(单位：百万元)=4(e-0.05)2；

一直延续下去，则总所需要筹集的资金 (单位：百万元)=4+4e-0.05+4(e-0.05)2+4(e-0.05)3+…

这是一个公比为e-0.05的等比级数，收敛于

因此，以连续复利计算利息时，需要筹集8 202万元的资金来创立该奖励基金。

例2(合同订立问题)[1]：某演艺公司与某位演员签订一份合同，合同规定演艺公司在第n年末必须支付该演员或其后代n万元 (n=1，2，…)，假定银行存款按4%的年复利计算利息，问演艺公司需要在签约当天存入银行的资金为多少？

解：设r=4%为年复利率，因第n年末必须支付n万元 (n=1，2，…)，故在银行存入的资金总额为

为了求出该级数的和，先考察幂级数

该幂级数的收敛域为 (-1，1)，当r=4%时，

由即S(x)=xf(x)，则

因此

于是

从而

将r=4%代入上式，即可求得演艺公司需要在签约当天存入银行的资金为

例3（建桥费用问题）[2]：建造一座钢桥费用为380000元，每隔10年需油漆一次，每次费用4000元，桥的期望寿命为40年，建造一座木桥费用为200000元，每隔2年需油漆一次，每次费用2000元，桥的期望寿命为15年，以贴现率10%，比较哪一种更经济?（建桥费中不包括油漆费）

解：把桥梁作为永久性设施，钢桥建桥费用的总现值是

油漆费用的总现值是

所以，钢桥总投资E=E1+E2=45.369万元

木桥建桥费用的总现值是

油漆费用的总现值是

所以，木桥总投资W=W1+W2=37.819万元

由E＞W，可知建木桥更为有利。

例4（增添机器设备问题）[2]：某厂需增添一机器设备，如果购买需要4000元，机器使用寿命10年，贴现率14%，如果不买，则可以租用，每月租金500元，且规定每年初交付该年租金，问购买和租用那个方案好？

解：方法1：把两种方案中工厂的支出都折算成现值进行比较。

买机方案：一次支出40000元。

租机方案：S10=6000+6000×(1+14%)-1+ 6000×(1+14%)-2+…+6000×(1+14%)-9==35 678(元)。

由40000＞35 678,可见租机方案较为经济。

方法2：也可以都折算成终值来比较。

买机方案：P1=40000(1+14%)10=148289 (元).

租机方案：P2=6000+6000×1.1410+6000×1.149+…+6000×1.14

由132267＜148289,可得到相同的结论.

例5（房子出售问题）[2]：一幢房子如立即售出可得10万元，或者可以用5年时间进行装修然后以30万元的价格售出，装修花费10万元，这笔费用可在第三年底支付。银行可以12%的年复利借给这笔费用，而在卖出房子后收回本利。假设贴现率为10%，问房主选择哪一个方案有利？

解：第一方案收到的现值是10万元。第二种方案五年后收到的30万元中，首先要扣除银行贷款本息： 10×(1+12%)=10×1.122=12.544（万元）。

所以5年后的实际收入是30-12.544=17.546（万元）。

把这个值折合成现值：17.456×(1+10%)-5= 10.838 8(万元)。

即第二种方案相当于现在立即收到10.8388 (万元)，比第一方案多收8388元，故第二方案有利。

例6（银行存款问题）[3]：设银行存款的年利率为r=0.05，并以年利率计算。某基金会希望通过存款A万元，实现第1年提取19万元，第2年提取28万元，…,第n年提取 (10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少元？

解：为使第n年底能提取 (10+9n)万元，那么在第1年初应存入An(万元)，第n年底应为：

从以上几个例子，可以看出无穷级数在经济学中应用得很广泛，有待于今后更深入的研究与探讨，使高等数学作为一种工具在经济学中发挥着越来越大的作用。

[1]林伟初,国安学. 高等数学（经管类）（下）[M].上海:复旦大学出版社,2009.102-104.

[2]张杰明. 经济数学[M]. 北京:清华大学出版社, 2011.372-374.

[3]全国硕士研究生入学统一考试辅导用书编委会. 全国硕士研究生入学统一考试数学考试参考书[M]. 北京:高等教育出版社,2012.7,176.

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A

1672-4658(2015)04-0157-03

2015-06-28

辽宁省职业技术教育学会科研规划课题.课题编号：LZY15058

辛春元(1975-)，女，辽宁大连人，辽宁对外经贸学院副教授，硕士，主要从事应用数学的教学与研究.