仅据平衡位置为系统弹性势能零点就能使振子势能为kx2/2吗？

陈奎孚蔡　春

(1中国农业大学理学院，北京　100083；2北京联合大学应用文理学院，北京　100191)

仅据平衡位置为系统弹性势能零点就能使振子势能为kx2/2吗？

陈奎孚1蔡春2

(1中国农业大学理学院，北京100083；2北京联合大学应用文理学院，北京100191)

摘要为了解题方便，振子势能的kx2/2形式往往被过分地强调．笔者对这种简洁式的隐含条件进行了探究，发现经典说法是“以平衡位置作为系统势能零点”，应修改为“平衡位置点、系统势能零点和坐标原点三点重合”．文章系统论证了“三点重合”提法的合理性和普适性，通过示例展示了平衡位置参数并不总能在简洁式中被抵消掉．

关键词势能；弹簧振子；静变形

CAN THE CONCISE FORM OF kx2/2 FOR THE SYSTEM POTENTIAL ENEGY BE TAKEN FOR GRANTED IF MERELY

THE EQUIL IBRIUM POSITION IS CHOSEN AS THE ZERO POINT OF SYSTEM POTENTIAL ENERGY？

Chen Kuifu1Cai Chun2

(1College of Science,China Agricultural University,Beijing 100083;2College of Arts and Science,Beijing Union University,Beijing 100191)

Abstract for the convenience to solve problems，the system potential energy expressed with a concise Form of kx2/2 was overemphAsized．the condition for ensuring this concise Form was explored in this pAper．the prevAlent Assertion is that the point oF zero potentiAl energy must situAte At the system equilibrium position．however，this Assertion will be questioned．it will be Argued systemAticAlly that For Achieving the concise form oFkx2/2，three points，the point of zero potentiAl energy，the point oF equilibrium And the point oF the coordinAte system origin，must be coincident with each other．the Justi Fication and universAlity of this three-point coincidence will be Articulated．Anontrivial example will be used to illustrate that the static deFlection cAn not AlwAys be cAncelled out in the concise Form．

Key words potentiAl energy；mass-spring vibrator；static deflection

很多教学辅导书、解题指导书和教学论文都特别地“规定”悬挂弹簧振子的势能表示为

Ep=kx2/2

k和x分别为弹簧的劲度系数和相对自然长度的变形量，但是大多数教材并没有对这一点作过多发挥.其背后的一个原因可能是教材更强调基本理论和概念，而教辅书更侧重解题的“术”.然而恐怕还有另外一个因素，即教材影响力和影响面大，因而它更倾向成熟的内容.那么简洁式(1)是否不言而喻地正确呢？通常在说式(1)之前，会要求振子的系统势能零点取在系统的平衡位置处.笔者将会系统地展示，这是不充分的，还应该补充“坐标原点也位于平衡位置”.此外教学辅导书强调Ep=kx2/2的另一个重要原因是认为“重力改变静平衡位置，后者对Ep=kx2/2无影响”，本文也将通过一个示例纠正这种看法.

1势能简洁式对坐标原点有要求

提到弹簧的势能，我们立即想到式(1)，而系统最大能量则可简洁地表示为E=kA2/2(A为弹簧自由端位移的最大幅度).恰当地利用这两个式子，可使相关问题的分析和求解得到显著简化.这种简洁式最初是对图1(a)所示的平放弹簧振子建立的.对图2(a)所示的竖直悬挂的振子，为了使上述两个式子仍能使用，很多文献的说法是“平衡位置作为系统势能零点”.但同时也反复强调部分学生对悬挂振子使用式(1)的条件理解不到位[1-8].其中原因之一是，振子从平放到悬挂增加了问题的复杂度.但笔者认为，对简洁式的演绎条件还应作出进一步规范，以保证物理条件背后的数学逻辑性和严密性.针对该问题，除了要求“平衡位置作为系统势能零点”的要求外，还应该补充“坐标原点也要位于静平衡位置”的要求.比如，即使对平放的振子，如果我们不把坐标原点选择在弹簧的自然长度位置O,而是像图1(b)中的位置O′(O左侧，距离d)，则弹簧势能为

(2)

图1　平放弹簧振子

它的平衡位置x=0仍是势能的零点，但是不具有Ep=kx2/2的简洁式.

要想让式(2)成为简洁式(1)，必须让d=0，也就是振子的坐标原点必须在平衡位置处.

2悬挂振子情形

下面从势能的逻辑演绎角度来阐述图2(b)悬挂系统的势能简洁式对坐标原点的要求.类似的问题在参考文献[6]中是就运动微分方程展开讨论的.

图2　悬挂弹簧振子

图2(b)中O为系统平衡状态的质点m所处的位置，相应的弹簧静伸长δst=mg/k.该系统的弹簧弹性势能和质点重力势能在运动过程中都有变化.针对各自的势能，可以选择各自势能零点，比如重力势能零点可以选择O1，弹性势能零点选择O2.坐标原点刻意选择在O3.在图示的点线状态，重力势能EpG=-mg(x+d1).弹性势能稍微复杂一点.当质点m在O2处，弹簧伸长量为d3+δst-d2；而在图示的点线状态，弹簧伸长量为x+d3+δst，因此保证O2为零点的弹性势能表达式为

系统的势能为

把δst=mg/k代入上式，并按照x的幂次整理有

Ep=kx2/2+d3kx+(d2-d1)mg+

(3)

比较式(3)与式(1)，可得到前者退化成后者的充要条件为

(4)

式(4)第一式要求坐标原点在平衡位置处.弹簧的弹性势能零点可任意取.一旦弹性势能零点选定，则重力势能零点必须按式(4)第二式取.最常见的取法是d1=d2=0.此时两个零势能点、坐标原点和平衡位置四者重合.

对于非零的d2，按照式(4)的第二式确定的d1，会保证系统零势能点在平衡位置处.此时，系统的零势能点、坐标原点和平衡位置三者重合.这个结论具有普遍性.这是因为在数学上，系统(线性)势能均可写为

Ep=ax2+bx+c(a>0)

其中a,b,c为系统势能的3个常数.具有简洁的Ep=kx2/2要求是

b=c=0

回复力与势能关系为F=dEp/dx=2ax+b.因此b=0蕴含了平衡位置位于x=0的要求(反过来，x=0为平衡位置也要求b=0).

c=0就是要求x=0是系统势能零点.

综上所述，弹簧振子势能有简洁式的要求是：系统的零势能点、坐标原点和平衡位置三者重合.

3弹簧静伸长的影响

势能简洁式(1)不涉及弹簧的静伸长.相同的情形也发生于图3所示的水平摆.大多数教材都假定：此模型的摆杆处于水平位置，系统保持静平衡[9,10].因此，弹簧在静平衡位置已经受拉.如果选择静平衡为系统零势能点，且水平线为摆角θ的起始边，则系统势能(微幅振动)

静平衡参数也没有在上式中出现.

图3　水平摆

很多物理、力学教材(甚至专门的振动课程的教材)[9,10]的振动例题的势能简洁式都不涉及静平衡参数，所以有些教材或明说或隐指：选择静平衡位置为零势能点，则静平衡参数在势能简洁式中最终会被抵消而不出现.

上述看法是不全面的.势能简洁式不出现静平衡参数只是教材使用了简单例子.有大量的工程问题，静平衡参数会影响振动系统的几何参数，从而也会在势能简洁式中出现.下面举例说明[10](原题未标明弹簧的自然长度).

图4　均质刚性杆

(5)

弹簧长度为

(6)

系统势能为

(7)

(8)

式(8)表明，静平衡参数并不总是可以消掉的.

4结语

振子势能简洁式在相关问题分析和求解中有广泛使用，本文从势能一般表达式退化成简洁的角度，论证了势能简洁式要求平衡位置点、势能零点和坐标原点三者重合.

就教材中习题，笔者演示了静平衡参数在势能的简洁式并不总是可以消掉.但是究竟哪些问题可以抵消，哪些不能抵消，需要进一步的深入探索.

参考文献

[1]唐新科.势能零点位置选取的简便方法[J].物理通报，2006(8):63-64.

[2]刘景世.浅议弹簧教学[J].物理通报,2011(2):12-14.

[3]冯蒙丽,宋春荣,刘协权.弹簧振子势能问题的探讨[J].物理通报，2011(7):92-93.

[4]张红明.弹性势能零点选择与弹性势能表达式问题讨论[J].物理通报，2013(6):110-113.

[5]杨植宗.用E=(1/2)kA2求谐振系统振幅应注意的一个问题[J].物理与工程，2005, 15(4):24-25.

[6]邱荒逸.谐振系统能量Ek+Ep=(1/2)kA2的涵义[J]. 物理与工程，2007,17(2):40-42.

[7]陈炜峰,何跃娟.也谈谐振系统的势能和总能公式的适用性[J]. 物理与工程，2007，17(5):63-65.

[8]荆亚玲,李雪春.讨论简谐振动不容忽视的问题[J].物理与工程，2008,18(1):9-11.

[9]陈奎孚.机械振动教程[M].北京:中国农业大学出版社,2014:12.

[10]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(I)[M].7版.北京: 高等教育出版社，2009:60,103.

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