环境污染下基于最优捕获的Filippov系统的稳定性

康宝林,蔡向阳,徐明娜

(鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

环境污染下基于最优捕获的Filippov系统的稳定性

康宝林,蔡向阳,徐明娜

(鞍山师范学院 数学与信息科学学院,辽宁 鞍山 114007)

建立了一类环境污染下治理污染物及捕获种群的Filippov系统，给出了各类平衡点及伪平衡点的稳定性.

环境污染；Filippov系统；平衡点；稳定性

我国水环境问题比较复杂，在现有经济技术条件下，解决水环境问题需要经过一个缓慢的过程.因此,研究河流生态系统在受污染下的渔业资源捕获问题具有重要的意义.本文以非光滑动力系统[1]为理论基础，建立了环境污染中渔业资源管理的Filippov系统[2,3],给出了系统的一些动力学性质.

1 模型的相关知识

考虑如下Filippov模型

(1)

及

(2)

2 动力学性质分析

在模型(1)及(2)中，我们将种群体内毒素浓度作为指标函数，则模型(1)和(2)能写成

(3)

其中，

根据文献[4]中定义1.1～1.4，将研究模型(3)的动力学性质，由

可得滑线区域

即

根据文献[4]中定义1.1，可得滑线动力系统

(4)

对于系统(1)平衡点满足方程

若

则系统(1)存在唯一的真平衡点，记为

反之，若

对于系统(2)平衡点满足方程

若

则系统(2)存在唯一的真平衡点，记为

反之，若

(i)若

(ii)若

(iii)若

(5)

解得

(6)

通过以上分析，当系统(5)成立时，xp为正根，系统(3)的伪平衡点存在.因此可得如下定理：

定理1 如果条件(5)成立，则系统(3)存在一个全局渐近稳定的伪平衡点Ep.

证明 通过对(6)式分析，当条件(5)成立时，xp>0且唯一，由于

[1]KunzeM.Non-Smoothdynamicalsystems[M].Koln：UniversitatKoln,2000.

[2]FilippovAF.Differentialequationswithdiscontinuousrighthandsides[M].Dordrecht:KluwerAcademic,1988.

[3]BernardoMD,SearaTM,TeixeiraMA.GenericbifurcationsoflowcodimensionofplanarFilippovSystems[J].JournalofDifferentialEquations,2011,250(4):1967-2023.

[4] 尚晋,刘兵,康宝林.一个两阶段结构害虫治理Filippov模型的动力学性质研究[J].生物数学学报,2013,28(3):485-492.

KANG Baolin，CAI Xiangyang，XU Mingna

(SchoolofMathematicsandInformationScience，AnshanNormalUniversity,AnshanLiaoning114007,China)

(责任编辑：张冬冬)

Stability of Filippov system concerning optimal harvest in a polluted environment

We formulate a Filippov system on pollution treatment,harvest populations in a polluted environment,and obtain kinds of equilibrium and proof the stability of pseudo equilibrium. Key words environmental pollution;Filippov system;equilibrium;stability

2015-07-21

康宝林(1983-),男，内蒙古呼和浩特人，鞍山师范学院数学与信息科学学院讲师.

O29

A

1008-2441(2015)06-0018-03