从平均速度到瞬时速度

尤丽君

(江苏省无锡市北高级中学，江苏　无锡　214000)

从平均速度到瞬时速度

尤丽君

(江苏省无锡市北高级中学，江苏无锡214000)

摘要：平均速度是我们能够测量的物理量，而瞬时速度是人类的抽象思考和推理演绎的结果.本文从数学角度对平均速度和瞬时速度两个概念做了区分，从原理上分析了光电计时器测平均速度近似替代瞬时速度的系统误差，介绍了极限法测瞬时速度的理论依据，分析了v与Δt、Δx之间满足的函数关系，最后探讨了瞬时速度教学的重要意义.

关键词：平均速度；瞬时速度；光电门；极限法测速

关于速度，人教版教材上是这样描述的：“一般说来，物体在某一时间间隔内，运动的快慢不一定是时时一样的，所以由v=Δx/Δt求得的速度,表示的只是物体在时间间隔Δt内的平均快慢程度，称为平均速度(average velocity).显然，平均速度只能粗略描述运动的快慢.为了使描述精确些，可以把Δt取得小一些，物体从t到t+Δt这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些.Δt越小，运动的描述就越精确.当Δt非常非常小时，我们把Δx/Δt称作物体在时刻t的瞬时速度(instantaneous velocity).”这是高中物理教材中第一次对极限思想的教学渗透.

1从数学角度理解平均速度和瞬时速度区别

比较上面两式可得：只要Δt不等于0，瞬时速度和平均速度就不相等(中间时刻瞬时速度计算为特例).只有Δt→0，平均速度的极限值为at，这才是t时刻对应的瞬时速度.所以，当Δt→0时，平均速度的极限值就是t时刻的瞬时速度.而这个极限值的物理意义已经和通常意义上的平均速度不一样，所以想要从普通意义上的平均速度角度来精确阐明瞬时速度是行不通的.

2实验测定平均速度近似替代瞬时速度

在力学实验中，测量瞬时速度的常用方法有：打点计时器测速和光电门计时测速.

打点计时器和光电门是中学物理实验中常见的两种测量瞬时速度的仪器.打点计时器测量速度的实验原理是：用某一段时间内的平均速度来近似代替某一时刻的瞬时速度.而光电门计时测速的实验原理是：用某一段时间内的平均速度来近似代替某一点(光电门透光孔)处的瞬时速度.在研究匀变速直线运动中，打点计时器的这种近似代替在实验原理上并没有带来误差，但其可靠性相对较差，现代物理实验中经常使用光电门计时器采集数据来测量速度.

2.1光电门计时测速

光电门是精度比较高的光敏器件，当它的透光孔没有被挡光时，计时器不计时.当带有挡光片的物体经过它的透光孔时，计时器开始计时.当挡光物体离开透光孔时，挡光结束，计时器停止计时.利用光电门的这种功能，已知运动物体的挡光片长度Δx，通过计时器记录下该物体遮挡光的时间Δt，可以得出物体在挡光过程中运动的平均速度v=Δx/Δt，在Δx或Δt较小的情况下，即可将此速度近似为物体通过光电门时的瞬时速度.以匀变速直线运动为例，光电计时测速的这种近似代替在原理上存在一定的系统误差.

如图1所示，将导轨调倾斜，小车以加速度a在导轨上做初速度为零的匀加速直线运动.小车由导轨上某一固定位置滑下，测量挡光片滑至光电门所在位置处的瞬时速度.

图1

设挡光片的宽度为Δx，A和B为挡光片前后沿上2个点，当挡光片的前边沿A刚好接近光电门透光孔开始挡光时，计时器开始计时，直到挡光片的后边沿B刚好离开透光孔挡光结束时，计时器停止计时.记录下这段时间Δt，可得v实验=Δx/Δt，即光电门测得的瞬时速度v实验，实际上是图1中挡光片从位置1(挡光开始位置)到位置2(挡光结束位置)之间的一段平均速度；而挡光片在通过光电门位置时的实际速度v实际应该是挡光片的中心位置刚好在光电门的透光孔处时的瞬时速度[2]，即在Δx的中点位置处的速度，因此v实际=v中位.

上述结论还可通过分析匀变速直线运动规律和运动图像同样得出：v实验=v中时，v实际=v中位，而v中时

2.2极限法测速

为了让学生能更深刻的理解瞬时速度是平均速度的极限，同时也为了能更好的测量瞬时速度，利用光电门计时器还能做极限法测速处理.

表1　(挡光片前沿位置固定)

图-Δt图(挡光片前沿固定)

图-Δx图(挡光片前沿固定)

实验过程中，如果将挡光片的后沿位置固定，让挡光片前沿逐渐趋近来改变Δx，同样可以通过图像得到一个极限值，两种不同的趋近方式得到的图像斜率符号相反(如表2及图4、图5).

表2　(挡光片后沿位置固定)

图-Δt图(挡光片后沿固定)

图-Δx图(挡光片后沿固定)

3结束语

事实上，我们能够测量到的永远只是平均速度，无论时间Δt取多小，我们用v=Δx/Δt测出的也只是在那个短暂瞬间的平均速度.人们无法测量瞬时速度，因为人们无法测量一个无限小的时间间隔，而且，多小的时间间隔才算无限小？人们在现实世界中无法测得瞬时速度，却可以用数学方法计算出瞬时速度，这就是数学所独具的伟大力量.它可以凭借科学家的猜想和推理，超越普通人眼中的世界，测算出人们在现实中根本看不见也测不到的东西.也就是说，平均速度是我们能够测量的真实世界，而瞬时速度是人类的抽象思考和推理演绎的数学结果.无数的科学家用无穷的想象力，推动着知识不断的向前发展，等待后人的检验和证实.在教育过程中，引导学生透过知识本身，体会科学发现的伟大过程，感受科学家绝妙的科学猜想和数学推理，才是真正震撼心灵的学习.

参考文献：

[1] 文道友.关于瞬时速度概念理解上的一种疏忽[J].四川师院学报(自然科学版),1985,(10).

[2] 周勇,李更磊,郑小平.对光电门测得的瞬时速度的误差分析[J].物理实验,2009,29(1).

[3] 崔建坡,刘虎,冀建利.气垫导轨实验中极限法测速度的分析与讨论[J].物理实验,2007,27(8).

[4] 邓华，仲扣庄.用DISLab探究气垫导轨上滑块的瞬时速度[J].物理教师,2007,(5).

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