高考中圆锥摆运动的周期问题探析

陈光才

(江苏省南京市第二十九中学，江苏　南京　210036)

高考中圆锥摆运动的周期问题探析

陈光才

(江苏省南京市第二十九中学，江苏南京210036)

摘要：由2013年江苏高考物理第2题引发思考：挂在外面的座椅做圆周运动的半径是否一定大于内侧的？本文从数学和物理两方面加以分析，得出悬绳偏转的角度θ与绳长L和悬挂点到转轴距离d的关系，并由此结合生活中和高考题中的一些实例展开论述.

关键词：高考物理；圆锥摆；周期；飞椅

1问题的提出

例1(2013年江苏)如图4所示，旋转秋千中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上.不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是().

图4

A.A的速度比B的大

B.A与B的向心加速度大小相等

C. 悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等

D. 悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

然而，对于解析中A的半径比B的小的结论，估计大部分同学是凭感觉得到的，并没有经过严格的证明，尤其是在高考考场中.那么，究竟这个结论对不对呢？下面做简要的论述.

2问题的研究

2.1　数学分析

由上述表达式可知：在T和d都相同时，L越大，θ越大.在T和L都相同时，d越大，θ越大.那么，对于这道高考题就可以得出：RA

2.2　物理分析

图7

当然，大家从笔者所画的图中似乎已经得到了更加直观的方法.利用圆锥摆的结论，圆锥摆小球做圆周运动的周期取决于悬挂点到圆周轨道所在水平面的高度H，既然A和B有相同的周期，那么它们的H必然应该相同.只不过，这里需要将悬线延长，找到延长线和竖直轴的交点，此交点即为等效悬挂点.如果告诉A、B的等效悬挂点分别为O′和O″，那么O′O″的高度差h′必然和两球的高度差h相等.那么可以得出同样的结论：在T和d都相同时，为了保证h和h′相等，那么L越大，θ必越大(如图7).同理，在T和L都相同时，d越大，θ越大(如图5、图6).关键是要能够抓住周期相同则高度相同的结论.

3问题的延伸

图8

例2(2008年广东)有一种叫“飞椅”的游乐项目,示意图如图8所示,长为L的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为r的水平转盘边缘.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力,求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.

这让笔者想到生活中的“飞椅”，会在大圆盘下面挂很多椅子，有的靠近转轴，有的远离转轴，那么这些椅子在转动的过程中，有没有撞在一起的危险呢？我们假设他们撞在一起了，如图9所示，会发现：它们的H不相等.而它们绕着同一个转轴在转动，所以周期相同，通过前面的结论可知，它们的H必须相等，从而得出相互矛盾的结果，所以它们不可能撞在一起.那么是不是悬挂位置和悬绳长度都可以随意取呢？由图10可以看到，如果靠近转轴的悬绳太长就有可能和外侧的悬绳缠绕在一起，这样就会带来危险，所以，在安装悬绳的时候应该把长的放在外面，短的放在内侧，这样可以避免缠绕的危险.

图11

例3(2013年重庆)如图11所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合.转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.若ω=ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0.

图12

例4在一个内壁光滑的圆锥桶内，两个质量相等的小球A、B紧贴着桶的内壁分别在不同高度的水平面内做匀速圆周运动，如图13所示，则().

① 两球对桶壁的压力相等

②A球的线速度一定大于B球的线速度

③A球的角速度一定大于B球的角速度

④ 两球的周期相等

A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④