Excel在单摆运动分析中的应用

热合买提江·依明， 阿合买提江·依明江

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)



Excel在单摆运动分析中的应用

热合买提江·依明， 阿合买提江·依明江

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 830046)

本文运用求常微方程数值解的四阶龙格-库塔方法，确定了描述单摆运动的非线性微分方程数值解的龙格-库塔公式；用Excel的迭代计算和循环迭代功能确定了数值解，求出单摆在各个时刻的速度和位置；巧用绘制图像和实现动画功能“数”、“形”及“动”连贯形象直观地演示了单摆运动的动态模拟仿真；实现交互性，建立了不同参数情况下研究单摆运动和模拟的平台，得出了单摆无阻尼、有阻尼、摆角为任何角度值时，速度和位置的数值解，速度和位置的曲线和相应的相图；结果显示，Excel在单摆运动分析中的应用，不仅实现数值计算、绘制图像和动画演示，而且弥补实际实验的不足，为物理理论和实验的计算机辅助教学提供了一种简单、直观、高效的方法。

数值解；单摆；Excel；动态模拟；交互性

0 引 言

单摆运动是一个理想的物理学模型，在物理学中有着非常重要的作用。现在大多数“大学物理”教材中[1-2]讨论单摆运动时，只讨论了小角度摆动时的近似线性运动问题，单摆的一般运动问题几乎不讨论。主要原因是讨论一般单摆运动中考虑大角运动和阻尼时，描述它运动的微分方程是一个非线性微分方程，没有解析解。在教学和实验过程通过适当的数值方法求其数值解，并与计算机软件技术相结合，演示单摆的动态运动仿真，与实际试验比较，帮助学生正确掌握和研究其运动过程、分析各因素对单摆运动的影响，提高物理理论和实验教学的效果。虽然，进行数值计算和仿真的软件种类挺多，如Fortran[3]、Matlab[4-7]、LabVIEW[8]、Origin[9]等，这些软件的功能强大、界面友好，但是这些软件的普及性较低，入门不易，具有较强的专业性，学生在短时间内掌握和应用不到位。

当前普及性最高、功能强大的办公应用软件MS. OFFICE的组件之一：Excel的基本操作已为广大师生非常熟悉而且功能直观、数据输入界面简便，使操作者易于接受、便于掌握其功能[10-11]。此外Excel具有较强的数值迭代计算[13-14]和绘制图像可视化功能[15]，合理正确地使用Excel的这些功能可以实现动态仿真[16]，本文用Excel的高效数值计算和绘制图像功能动态仿真演示单摆运动，为物理理论和实验的计算机辅助教学提供了一种简单、直观、高效的方法。

1 单摆运动微分方程和数值算法

1.1 单摆运动微分方程

最基本的单摆绝对挠性且长度不变、质量可以忽略不计的一根绳子或一条竿和一个锤组成，锤系在绳或竿的下方，绳或竿的另一端固定，锤来回移动，假设单摆绳子的长度为l，锤的质量为m,摆动角度为θ,则考虑空气阻尼时，所受的阻尼为qdθ/dt(q为阻尼系数)，由牛顿第二定理得描述单摆运动的微分方程为

(1)

其中，θ0和v0分别是初始摆角和初始驱动速度。

当q=0时，方程(1)描述无阻尼单摆运动方程。无阻尼而且摆角很小0<ω≤5°的情况下，可以假设θ≈sinθ，此时单摆运动方程变为二阶常系数线性微分方程，可以确定解析解。一般情况下方程(1)没有解析解，因此要用适当的数值方法求其数值解进行分析。

1.2 数值算法

设dθ/dt=v，则方程(1)变为如下二元一阶非线性常微分方程组：

(2)

式中，θ是位置，v是单摆的摆动速度

由求常微分方程数值解的四阶龙格-库塔公式[12],求方程(2)数值解的计算式为：

K11=vn

(3a)

(3b)

K12=vn+hK21/2

(3c)

(3d)

K13=vn+hK22/2

(3e)

(3f)

K14=vn+hK23

(3g)

(3h)

(3k)

(3i)

其中，h是时间步长。

2 用Excel数值计算

2.1 位置和速度的计算

如图1所示，打开Excel表格输入重力加速度、单摆线长度、阻尼系数、初始位置、初始驱动速度、开始时间、模拟终止时间、时间步长等参数。

图1 输入初始条件

如图2所示，在单元格D2、E2和F2中分别输入：=B6、=B4和=B5；用式(3a)及(3b)在单元格G2和H2中分别输入：=F2，=-B3*F2-B1/B2*SIN(E2)；用式(3c)及(3d)在单元格I2和J2中分别输入：=F2+B8/2*H2，=-B3*(F2+B8/2*H2)-B1/B2*SIN(E2+B8/2*G2)；用式(3e)及(3f)在单元格K2和L2中分别输入：=F2+B8/2*J2，=-B3*(F2+B8/2*J2)-B1/B2*SIN(E2+B8/2*I2)；用式(3g)及(3h)在单元格K2和L2中分别输入：=F2+B8*L2，=-B3*(F2+B8*L2)-B1/B2*SIN(E2+B8*K2)；用式(3k)及(3i)在单元格E3和F3中分别输入：=E2+B8/6*(G2+2*I2+2*K2+M2)，=F2+B8/6*(H2+2*J2+2*L2+N2)；在单元格D3中输入：=D2+B8。

元格区域G2:N2中的公式复制到单元格区域G3:N3中,然后单元格区域D3:N3中的公式复制到单元格区域G102:N102中得如图3所示的结果。

图2 输入初始公式

图3 位置和速度计算结果

2.2 当时位置和速度的计算

首先调试Excel的工作簿计算模式,选择“文件”→“选项”→“公式”。

在单元格B9中输入计算总次数的计算公式：=(B7-B6)/B8；在单元格B10中输入实现循环和计算当前计算步骤的计算公式：=IF(B10

在单元格区域P2:Z2中输入的计算公式与如图2中单元格区域D2:N2的计算公式一样。单元格P3中输入=IF(B10<=1,P2+B8,P4+B8)；

单元格Q3中输入=IF(B10<=1,Q2+B8/6*(S2+2*U2+2*W2+Y2), Q4+B8/6*(S4+2*U4+2*W4+Y4))；

单元格R3中输入=IF(B10<=1,R2+B8/6*(T2+2*V2+2*X2+Z2), R4+B8/6*(T4+2*V4+2*X4+Z4))；

单元格P4中输入=IF(B10<=1,P2+2*B8,P3+B8)；

单元格Q4中输入=Q3+B8/6*(S3+2*U3+2*W3+Y3)单元格R3中输入=R3+B8/6*(T3+2*V3+2*X3+Z3)；

单元格区域S2:Z2中的公式复制到单元格区域G3:N3中,然后单元格区域D3:N3中的公式复制到单元格区域S4:Z4中。

得如图5所示的结果。

图5 计算当前位置和速度

2.3 显示单摆摆动有关数据的输入

在单元格AB2、AC2、AB3和AC3中分别输入=-B2/2、=B2、=B2/2和=B2；

在单元格AD2、AE2、AD3和AE3中分别输入=0、=B2、=B2*SIN(Q4)和=B2-B2*COS(Q4)。

如图6所示。

图6 单摆摆动有关数据

3 绘制Excel实时动态演示图

3.1 绘制位置曲线、速度曲线和相图

选择“插入”→“选散点图”→“添加”,如图7所示。

图7 绘制图形对话框

在“系列名称”内填“位置曲线”，在“X轴系列值(X)”内填“=Sheet！$D$2:$D$102”，

在“Y轴系列值(Y)”内填“=Sheet1!$E$2:$E$102”；再选择“添加”，

在“系列名称”内填“速度曲线”，在“X轴系列值(X)”内填“=Sheet！$D$2:$D$102”，

在“Y轴系列值(Y)”内填“=Sheet1!$F$2:$F$102”；再选择“添加”，

在“系列名称”内填“当前位置”，在“X轴系列值(X)”内填“=Sheet1!$P$4”，在“Y轴系列值(Y)”内填“=Sheet1!$Q$4”；

再选择“添加”，

在“系列名称”内填“当前速度”，

在“X轴系列值(X)”内填“=Sheet1!$P$4”，

在“Y轴系列值(Y)”内填“=Sheet1!$R$4”；再选择“添加”，

在“系列名称”内填“相图”，

在“X轴系列值(X)”内填“=Sheet1!$F$2:$F$102”，

在“Y轴系列值(Y)”内填“=Sheet1!$E$2:$E$102”；

按“确定”键后对图形进行修饰得如图8所示的结果。

图8 无阻尼单摆置曲线、速度曲线和相图

3.2 绘制单摆动态摆动图

选择“插入”→“选散点图”→“添加”；

在“X轴系列值(X)”内填“=Sheet1!$AB$2:$AB$3”，

在“Y轴系列值(Y)”内填“=Sheet1!$AC$2:$AC$3”；

再选择“添加”，

在“X轴系列值(X)”内填“=Sheet1!$AD$2:$AD$3”，

在“Y轴系列值(Y)”内填“=Sheet1!$AE$2:$AE$3”；

再选择“添加”，

在“X轴系列值(X)”内填“=Sheet1!$AD$3”，

在“Y轴系列值(Y)”内填“=Sheet1!$AE$3”；

按“确定”键后对图形进行修饰得单摆演示图。

3.3 演示和应用

以上所说的操作完成以后，按住功能键F9，单元格B10中的当前步骤，每一次增加一，在1到100之间循环，使得图10所示单摆开始摆动，随着单摆的摆动图9中的当前位置和当前速度沿着位置曲线和速度曲线开始运动。

图1 中的重力加速度、单摆线长度、阻尼系数和初始位置等参数多可以随时改变，图9是阻尼系数改为0.2时，位置曲线、速度曲线和相图的变化。

用这个Excel表格平台，经过观察其动态演示过程清楚的看到位置(摆角)最大时，速度为零；一个周期摆动所需时间可以近似估计周期，随着阻尼的增加摆角减小等等。

图9 有阻尼单摆位置曲线、速度曲线和相图

4 结 语

本文提出的基于Excel实现的单摆运动模拟方法的最大特点是单摆摆动运动的位置和速度实时变化过程，通过“数”、“形”及“动”连贯直观的动态显示。另外本方法有很好的交互性，对不同的参数进行数值模拟，直观和方便的观察到不同参数对单摆运动的影响。Excel简单易学，不需要掌握其它软件和程序设计语言，学生根据所学的书上知识和教师的引导可以实现单摆运动模拟，可以加深学生对理论知识的理解，提高物理理论教学和实验教学的质量，另外本文呈现出Excel在数值迭代计算、数据可视化和实时动态仿真功能的潜力，有望进一步将Excel应用到物理理论和实验教学的其他内容。

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Application of the Excel on Analysis of Pendulum Motions

RahmatjanImin，AhmatjanIminjan

(School of Mathematics and Systems Science, Xinjiang University, Urumqi 830046， China)

The differential equation of free vibration pendulum movement is described by a second order nonlinear ordinary differential equations. Generally it cannot be solved by analytical methods, the numerical methods are then needed to solve this equation. This paper used Runge-Kutta method which is to find numerical solution of ordinary differential equations to determine the Runge-Kutta formulas of nonlinear differential equations of the pendulum movement. The numerical solution was determined based on iterative computation and cyclic iteration function of Excel, and found the velocity and position of pendulum in each moment. Through drawing image and animation visually it demonstrated the dynamic simulation of pendulum movement by using “numeric”, “figure” and “move” coherently. Interactive platform was established to study pendulum movement and simulation in different parameters, numerical solutions and figures of velocity and position and also the phase diagrams can be obtained with damped, undamped and any vibration angle of pendulums. The result showed that the application of Excel on analysis of pendulum can realize the numerical computation, the visual image drawing and animation; meanwhile it has made up the lack of the actual experiment. Computer-aided instruction for theoretical and experimental physics provided simple, intuitive and effective method.

numerical solution; pendulum; Excel; dynamic simulation; interaction

2014-05-26

国家自然科学基金(No.51075346)

热合买提江·依明(1974-)，男，维吾尔族，新疆伊犁人，硕士，讲师，主要从事公共教学和工程数值计算及其模拟研究，

Tel.：13669931900；E-mail:rahmatjanim@gmail.com

阿合买提江·依明江(1969-)，男，维吾尔族，新疆伊犁人，副教授，硕士，主要从事公共教学和基础教学研究。

Tel.：13199917691；E-mail:ahmetjan69@hotmail.com

TH 113.2;G 642.0

A

1006-7167(2015)01-0113-05