离散时滞区间广义线性系统的输出反馈H∞控制器设计

李赞华, 赵 金

(1.沈阳理工大学 理学院，辽宁 沈阳 110159；2.沈阳何氏眼科医院, 辽宁 沈阳 110179)

离散时滞区间广义线性系统的输出反馈H∞控制器设计

李赞华1, 赵 金2

(1.沈阳理工大学 理学院，辽宁 沈阳 110159；2.沈阳何氏眼科医院, 辽宁 沈阳 110179)

在确定系统中某些系数矩阵均存在不确定性情况下，利用区间矩阵研究了一类离散时滞广义不确定线性系统的输出反馈鲁棒H∞控制器设计问题。通过运用系统参数不等式方法给出离散时滞区间广义系统的等价描述，利用等价描述系统得到了该系统的输出反馈控制器。所设计的控制器不仅使得闭环系统是正则的、稳定的，而且使得传递函数的范数界在给定的范围内。算例验证了该设计方法的有效性。

区间矩阵；离散时滞广义线性系统；输出反馈控制器；H∞控制

众所周知，H∞控制理论在正常系统的优化控制中起重要作用，并得到了广泛的研究与应用，各种H∞控制器的设计方法被相继提出[1-2]。对于H∞控制理论在广义系统的研究成果也已经很多，但对于具有不确定的、时滞的、离散的广义系统的研究还有很大的研究空间。一是由于系统的参数不确定是不可避免和普遍存在的[3]；二是在实际的控制系统中，时滞的影响是普遍存在的[4]；三是离散系统模型在社会问题、经济问题和时间序列分析问题中经常遇到[5-6]。因此对不确定的、具有时滞的离散广义系统的研究受到了人们的极大关注。

由于在工程实际中，状态不易直接量测，或者由于量测设备在经济性和使用性上的限制，使得许多情况下不可能实际获得系统的全部状态变量，从而使得状态反馈的物理实现成为不可能；而且状态反馈控制器是设计定常反馈增益阵，输出反馈控制器设计一般采用动态控制器设计方法，以期达到所提出的设计性能指标。本文在以上研究的背景和基础上以离散时滞区间广义系统为主要研究对象，利用H∞优化控制方法，给出了该系统的输出反馈H∞控制器设计。

1 问题提出

离散时滞区间广义线性系统如下描述:

z(t)=CIx(t)+Nu(t)

(1)

y(t)=CIx(t)

x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]

于是系统(1)可以等价地表示为

Ex(t+1)=(A0+DFG1)x(t)+(Ad0+DdFdGd)x(t-d)+(B0+DFG2)u(t)+B1ω(t)

z(t)=(C0+D3F3G3)x(t)+Nu(t)

y(t)=C1x(t)

x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]

(2)

称离散时滞广义系统

Ex(t+1)=A0x(t)+Ad0x(t-d)+B1ω(t)

z(t)=C0x(t)

(3)

x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]

为无控制标称广义系统。

对系统(1)作如下输出反馈控制

u(t)=Ky(t)

(4)

得到闭环离散时滞广义系统

Ex(t+1)=Akx(t)+Adkx(t-d)+B1ω(t)

z(t)=Ckx(t)

(5)

x(t)=Φ(t),t∈[-d,0]式中Ak=A0+B0KC1+DF(G1+G2KC1),Ck=C0+D3F3G3+NKC1,Adk=Ad0+DdFdGd

(1)闭环系统(5)是因果、正则且稳定的；

(2)具有H∞范数界γ(γ>0为给定的常数)，即满足条件‖G(z)‖∞<γ，G(z)=Ck(zE-Ak)-1B1为从干扰输入ω(t)到被控输出z(t)的传递函数。

2 主要结果

定理 对于给定实数γ>0，如果存在可逆对称矩阵P∈Rn×n，对称矩阵Q>0和对称半正定矩阵V1及正定对角矩阵L1∈R2n2×2n2,L2,Ld∈Rn2×n2使得不等式(6)及式(8)～式(13)成立

ETPE≥0

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

改革开放40周年。40年风雨同舟，40年披荆斩棘，40年砥砺奋进，改革开放成为当代中国最显著的特征、最壮丽的气象。对这一伟大历史进程，习近平总书记用“十个始终坚持”高度概括了党引领亿万人民的奋斗历程和创造的人间奇迹。中国人民具有伟大梦想精神，中华民族充满变革和开放精神。实践深刻启示我们，伟大梦想不是等得来、喊得来的，而是拼出来、干出来的。改革开放已走过千山万水，但仍需跋山涉水，我们绝不能有半点骄傲自满、固步自封，也绝不能有丝毫犹豫不决、徘徊彷徨，必须统揽伟大斗争、伟大工程、伟大事业、伟大梦想，勇立潮头、奋勇搏击。

证明：

由定理中的式(12)即得

(14)

令

把定理中的R代入式(14)得

(15)

(16)

把定理中的U代入式(16)由schur补引理，式(16)、式(9)两个不等式等价于

(17)

由schur补引理，式(17)、式(8)两个不等式等价于

(18)

(19)

取

zTSD=(z1…z2n2),Gdy=(y1…yn2)T,(G1+G2KC1)x=(x1…x2n2)T,

G3x=(x31…x3n2)T,wTD3=(w1…wn2),zTSDd=(zd1…zdn2)

得

(20)

取L1=diag(λ11…λ12n2),Ld=diag(λd1…λdn2),L2=diag(λ21…λ2n2)；由不等式性质可得到，存在λ1j>0(j=1…2n2),λ2i>0，λdi>0(i=1…n2)对任意|θi|≤|εi|≤1，|θi|≤|αi|≤1,|γi|≤1，|βi|≤1都有下式成立

(21)

(22)

把式(5)中的Ak,Ck,Adk代入式(22)，根据矩阵的性质，对任意x,y,z,w∈Rn,xTx+yTy+zTz+wTw≠0式(22)成立的充要条件

(23)

根据schur补引理，式(23)等价于

(24)

将不等式(6)～(7)与(24)相结合得

由引理可知该定理成立。因此定理得证。

3 算例

考虑系统(1)，其中

经计算得

取

L1=diag[0.25,0.32,0.18,0.41,1,1.2,0.1,0.2],

Ld=diag[0.2,0.4,0.7,0.1],L2=diag[1.1,2,3,2,4]

则满足定理中所有不等式。解得H∞输出反馈控制器为

4 结束语

利用区间矩阵研究了一类离散时滞广义线性不确定系统的输出反馈H∞控制器设计问题。通过运用系统参数不等式方法给出离散时滞区间广义线性系统的等价描述，在等价描述系统下利用线性矩阵不等式方法得到了该系统的H∞输出反馈控制器。该控制器不仅使得闭环系统是正则的、稳定的，而且使得传递函数的范数界在给定的范围内。

[1]Xu S Y,YANG C W.H∞state feedback control for discrete singular system[J].IEEE Trans On Automatic Control,2000,45(7):1405-1409.

[2]杨冬梅,孟新全.不确定时滞离散切换广义系统的鲁棒H∞控制[J].东北大学学报,2014,35(3):309-313.

[3]S.-J.Chen,J.-L.Lin.Robust stability of discrete time-delay uncertain singular systems[J].IEEE,Proc.-Control Theory Appl.,2012,151(1):45-52.

[4]张建林.广义离散时滞系统基于输出反馈H∞的控制[J].自动化技术与应用,2004,23(6):8-12.

[5]李致富，胡跃明，郭琪伟,等.不确定离散线性系统的鲁棒单调反馈-前馈迭代学习控制[J].控制理论与应用,2014,31(4):485-492.

[6]李赞华，赵金.区间离散时滞广义系统的状态反馈鲁棒H∞控制[J].沈阳理工大学学报，2011,30(3):84-87.

(责任编辑：马金发)

Output Feedback H-infinity Controller Design for Discrete-time Time-delay Interval Singular Linear Systems

LI Zanhua1，ZHAO Jin2

(1.Shenyang Ligong University ,Shenyang 110159,China;2.Shenyang He Eye Hospital ,Shengyang 110179,China)

In the case that uncertainties exist in some parameter matrices,the problem of output feedbackH∞controller design for a kind of discrete-time time-delay singular uncertainty linear systems is discussed through the use of interval matrix.Firstly,a class of equivalent decription of the discrete-time time-delay interval singular linear systems is given through the application of system parameters inequality approch.Then output feedback robustH∞controller is obtained in terms of the equivalent description systems.The designed controller guarantees that the closed-loop systems is regular and stable as well as satisfies a prescribed transfer function of the norm bounded constraint within the given range.Finally, a numerical example shows the effectiveness of the design method.

interval matrix;discrete-time time-delay singular linear systems;output feedback controller;H∞control

2014-12-20

李赞华(1976—)，女，讲师，研究方向：广义系统，优化控制.

1003-1251(2015)03-0070-05

O232

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