输出信号量化测量下不确定离散系统非脆弱H∞滤波器设计

胡婧怡,常晓恒

(渤海大学 a.数理学院; b.工学院，辽宁 锦州 121003)



输出信号量化测量下不确定离散系统非脆弱H∞滤波器设计

胡婧怡a,常晓恒b

(渤海大学 a.数理学院; b.工学院，辽宁 锦州 121003)

研究了输出信号量化测量下不确定离散系统非脆弱H∞滤波器的设计问题。难点在于滤波器设计过程存在3种不确定性，即系统本身存在的不确定性、非脆弱滤波器设计时涉及到的不确定性和由于输出信号量化测量近似表示的不确定性。通过有效的矩阵变换技术,给出基于线性矩阵不等(LMIs)的非脆弱H∞滤波器存在的充分条件。最后，通过数值仿真来验证设计方案的有效性。

不确定离散系统；H∞非脆弱滤波器；输出量化测量；线性矩阵不等式(LMIs)

伴随着控制系统的数字化和网络化，反馈控制系统中存在的量化现象引起了学者们的广泛关注[1-9]。这是因为在传统的设计中， 并没有考虑量化对系统的影响,往往会导致系统性能下降乃至破坏系统的稳定性。有关于量化问题的研究，最早见于卡尔曼于1956发表的文章[1]，指出了量化发生时，在没有考虑量化效果的前提下所设计的控制器可能导致闭环系统出现极限环和混沌现象。之后为了更好地理解和设计存在量化反馈的系统,许多学者展开了对量化问题的研究，并得到了许多重要的成果[2-8]。

另一方面，非脆弱控制和滤波问题已经成为了应用和理论界研究的一个重要问题。非脆弱问题即如何设计控制器或滤波器，使其在参数摄动的情况下仍然能够保证系统的稳定性及预期性能。关于非脆弱问题的研究可查看文献[10-14]。

本文考虑了存在输出量化测量下不确定离散系统的非脆弱状态估计问题。主要基于Lyapunov函数法引入松弛矩阵实现了系统矩阵与Lyapunov矩阵的分离，从而基于H∞滤波理论给出可行的非脆弱滤波器算法，使其消除量化误差的影响实现渐进稳定，并满足给定的H∞性能指标。最后通过仿真实例验证其有效性。

1 问题描述

考虑如下离散系统:

(1)

考虑如下形式的非脆弱滤波器:

(2)

(3)

其中：

至此，针对上述存在输出量化测量现象的不确定离散系统，设计滤波器(2)使系统在消除量化误差影响的同时，满足：

1) 当w(k)=0时，滤波误差系统(3)稳定；

下面的引理在后续研究中起关键作用。

引理1[18]给定矩阵Γ,Λ和对称矩阵Ω,对于FTF≤I，不等式Ω+ΓFΛ+ΛTFTΓT<0成立，只要存在一个恒定的标量ε>0，则满足Ω+ε-1ΓΓT+εΛTΛ<0。

2 系统H∞滤波器的分析与设计

引理2 滤波误差系统(3)在满足给定的H∞指标γ的前提下稳定，存在矩阵G,N,S和正定对称矩阵P满足下面的矩阵不等式:

(4)

其中：

证明 构造如下Lyapunov函数：

(5)

其关于滤波误差系统(3)的差分为：

(6)

其中：

注1 当w(k)=0时，容易证明如果不等式(4)成立，则系统是稳定的。另一方面,值得注意的是,在推导结论的过程中，引入的松弛变量G,N和S会有利于得到保守性低的结论。为了便于分析，引理2没有对量化误差进行处理。接下来，将给出充分的设计条件来消除量化误差的影响。

定理1 对于已给出的不确定系统(1)和滤波器(2)，滤波误差系统(3)在满足H∞范数指标γ的情况下达到一致稳定的条件是:存在G,N和S及正定对称矩阵P，以及标量ε>0,β>0,ν>0，满足下面的矩阵不等式:

(7)

其中：

证明 假设满足引理2的条件，这里考虑滤波误差系统(3)中存在的量化误差及非脆弱问题，可以描述为

这里把其定义代入不等式(4)中，可以重新写为如下形式:

(8)

然后，根据引理1，容易得到：存在ε>0,β>0,ν>0使得不等式(7)成立。本文省略了详细的过程。证明完毕。

定理2 对于不确定离散系统(1)，给定量化密度ρ>0，存在滤波器(2)能消除量化误差，并且能保证滤波误差系统(3)在满足给定H∞裕度γ条件下稳定的条件是：存在矩阵P1,P2,P3,G1,G3,N1,S1,S3,A,B,C,D,和非奇异矩阵G2，及标量λ1,λ2,λ3,λ4和ε,β,ν>0满足下面的线性矩阵不等式:

(9)

(10)

其中:

因此，可以得到一个满足给定H∞性能指标γ>0的合适滤波器：

证明 基于定理1，若不等式(7)成立，便可以设计滤波器。假设不等式中涉及的矩阵变量具有下面的形式：

这里定义：

A=G2AF,B=G2BF,C=CF,D=DF

结合前面提到的相关矩阵，把这些矩阵代入不等式(7)中，那么定理2可以很容易地被推导出来。证明完毕。

注2 通过对定理1的相关矩阵做上述结构上的定义，可以使得在定理1的不等式中出现的耦合项很好地分开。另一方面，为了降低对矩阵变量结构上的定义带来的保守性，本文引入了补偿参变量λl,l=1,2,3,4来获得解空间中额外的自由度。这些变量可以利用Chang[17]中提到的方法得到。

注3 在实际的应用中，量化误差的上限δ可以根据给定的量化密度ρ计算得到。因此，定理2中的不等式组(9)～(10)实际上是严格的线性矩阵不等式(LMIs)，故可以通过Matlab的控制工具箱来求解，进而设计滤波器。

3 仿真算例

本节通过实例验证方法的有效性。考虑式(1)中所描述的下不确定离散系统，其中:

接下来，利用前面的定理来设计非脆弱H∞滤波器。

DF=0.127 1

4 结束语

本文研究了存在输出量化测量下不确定离散系统的非脆弱状态估计问题。主要利用有效的矩阵变换技术。并引入松弛变量实现了系统矩阵与Lyapunov矩阵的分离,给出可行的非脆弱滤波器算法，使系统在消除不确定性影响及量化误差影响的同时渐进稳定并满足给定的非脆弱H∞性能指标。最后通过仿真实例验证了其有效性。

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(责任编辑 杨黎丽)

Non-FragileH∞Filter Design for Uncertain Discrete-Time System with Quantized Measurements

HU Jing-yia, CHANG Xiao-hengb

(a.College of Mathematics and Physics；b.College of Engineering,Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper researched the problem of non-fragileH∞filter design for uncertain discrete-time system with output quantization. Three types of uncertain were considered in the process of filter design, which were the uncertain in system, the uncertain in non-fragile filter and the quantization error uncertain. By effective matrix transformation techniques, a sufficient condition was presented in terms of linear matrix inequalities (LMIs) for such non-fragile filter exists. Finally, a numerical example was provided to demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

uncertain discrete-time; non-fragileH∞filter; quantized measurements；linear matrix inequalities(LMIs)

2014-11-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61104071)；辽宁省高等学校杰出青年成长计划项目(LJQ2012095)；辽宁省装备制造综合自动化重点实验室开放项目(1120211415)

胡婧怡(1990—),女,天津人,硕士研究生,主要从事量化问题及非脆弱问题研究。

胡婧怡,常晓恒.输出信号量化测量下不确定离散系统非脆弱H∞滤波器设计[J].重庆理工大学学报：自然科学版，2015(3):100-104.

format：HU Jing-yi, CHANG Xiao-heng.Non-FragileH∞Filter Design for Uncertain Discrete-Time System with Quantized Measurements[J].Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science,2015(3):100-104.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.03.019

TP273

A

1674-8425(2015)03-0100-05