关于BCH－代数导出半群的一些结果

李金龙，李 军

1966年，日本数学家K.Iseki提出了BCI－代数；1981年，胡庆平推广了这个代数系统，提出了BCH－代数.众所周知，BCI－代数类是BCH－代数类的真子类，正是由于这样原因，对BCH－代数的研究就更困难一些，但通过研究所得的结论却更具有普遍性.文［1］作者讨论了BCH－代数的导出半群；文［2］作者讨论了BCI－代数的可换序半群.作者将利用BCH－代数的导出半群来刻画结合BCI－代数、p－半单BCI－代数、拟结合BCH－代数和BCHK－代数.因为一般的BCH－代数没有BCI－代数中的自然偏序关系，所以可换序半群需在文［3］作者提出的偏序BCH－代数中来讨论，并给出有关可换序半群的一些性质.

为行文方便，先引入下面的一些定义和结论.

定义1［4］一个（2，0）型代数〈X；＊，0〉叫作BCH－代数，如果∀x，y，z∈X，它满足下列公理

定义2［5］设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，若∀x∈X，有0＊（0＊x）＝0＊x成立，则称〈X；＊，0〉是一个拟结合BCH－代数.

定义3［3］设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，若x≤y（x≤y⇔x＊y＝0），∀z∈X，有z＊y≤z＊x，则称〈X；＊，0〉是一个偏序BCH－代数.

若x≤y，∀z∈X，有z＊y≤z＊x，这个性质称为BCH－代数的偏序性.

在文［9］中，给出了序半群的理想和核的概念，将其中的运算改为加法后可叙述为：

定义4［9］设A是加法序半群 （S，＋，≤）的非空子集，如果满足：

（1）∀s∈S，∀a∈A，有s＋a，a＋s∈A；（2）∀b∈S，∀a∈A，由b≤a，可推出b∈A.

则称A是序半群S的理想.

如果序半群S的所有理想的交非空，称这个非空交为S的核，记为Ker（S）.在序半群S中，如果只有S为它的理想，称S为单序半群.如果Ker（S）存在，必是S的最小理想.

引理1［1］设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，∀x，y∈X，定义，x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］，则（X，＋）是一个可换半群，且有（0＊x）＋x＝0.

设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，文［6］中，记G（X）＝｛x∈X｜0＊x＝x｝，L（X）＝｛x∈X｜0＊（0＊x）＝x｝，它们分别称为BCH－代数〈X；＊，0〉的结合部分、p－半单部分；文［5］中，记Q（X）＝｛x∈X｜0＊（0＊x）＝0＊x｝，并有下面的结论：

引理2［5－6］设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，则有下列结论成立：

（1）G（X）是X 的一个结合BCI－子代数；（2）L（X）是X 的一个p－半单BCI－子代数；（3）Q（X）是X的一个拟结合子代数.

引理3［4－5］设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，则∀x，y∈X，有下列结论成立：

（1）0＊（x＊y）＝（0＊x）＊（0＊y）；（2）0＊［0＊（0＊x）］＝0＊x；（3）x＊0＝x.

引理4［5］设〈X；＊，0〉是一个拟结合BCH－代数，则有下列结论成立：

（1）∀x，y∈X，定义：x＋y＝0＊（x＊y），则（X，＋）是一个交换（可换）半群；

（2）∀x∈X，有（0＊x）＊x＝0.

引理5［4］设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，若∀x∈X，有0＊x＝x，则〈X；＊，0〉是一个结合BCI－代数.

引理6［7］设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，若∀x∈X，有0＊（0＊x）＝x，则〈X；＊，0〉是一个广义结合（p－半单）BCI－代数.

引理7［8，10］设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，则有下列结论成立：

（1）L（X）＝｛0＊x｜x∈X｝＝｛0＊（0＊x）｜x∈X｝；（2）设x∈L（X），若y∈X，有y＊x＝0，则y＝x.

引理8［3］设〈X；＊，0〉是一个偏序BCH－代数，则X中的二元关系≤是一个偏序关系.

1 用BCH－代数导出半群来刻画特殊的BCH－代数

设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，∀x，y∈X，定义x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］，由引理1知，（X，＋）是一个可换半群，文［1］将（X，＋）称为BCH－代数〈X；＊，0〉的导出半群.下面先讨论（X，＋）的几个子代数，然后用BCH－代数的导出半群来刻画一些特殊的BCH－代数.

定理1 设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，则有下列结论：

（1）（G（X），＋）是BCH－代数导出半群（X，＋）中的对合群；

（2）（L（X），＋）是BCH－代数导出半群（X，＋）中的可换群；

（3）（Q（X），＋）是BCH－代数导出半群（X，＋）的可换子半群.

证明 （1）利用引理2的（1）知，G（X）是X 的一个结合BCI－子代数，故∀x，y∈G（X）有，x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝x＊y，由文［4］知，（G（X），＋）是一个对合群，且0是零元，故（G（X），＋）是 （X，＋）中的对合群.

（2）利用引理2的（2）知，L（X）是X 的一个p－半单BCI－子代数，故∀x，y∈L（X），由引理3的（1）得，x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝［0＊（0＊x）］＊（0＊y）＝x＊（0＊y），再由文［4］知，（L（X），＋）是一个可换群，故（L（X），＋）是 （X，＋）中的可换群.

（3）利用引理2的（3）知，Q（X）是X 的一个拟结合子代数，故∀x，y∈Q（X），由引理3的（1）和定义2，得x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝［0＊（0＊x）］＊（0＊y）＝（0＊x）＊（0＊y）＝0＊（x＊y），再由引理4的（1），知（Q（X），＋）是可换半群，故（Q（X），＋）是 （X，＋）的可换子半群.

定义5 设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，若∀x∈X，有0＊x＝0成立，则称〈X；＊，0〉是一个BCHK－代数.

定理2 设〈X；＊，0〉是一个BCH－代数，则有下列结论：

（1）X是结合BCI－代数当且仅当导出半群（X，＋）是以0为零元的对合群；

（2）X是p－半单BCI－代数当且仅当导出半群（X，＋）是以0为零元的可换群；

（3）X是拟结合BCH－代数当且仅当（L（X），＋）是以0为零元的导出半群（X，＋）中的对合群；（4）X是BCHK－代数当且仅当导出半群（X，＋）中任意两个元素之和为零.

证明 （1）设X是结合BCI－代数，则G（X）＝X，由定理1知，（X，＋）是对合群，且0是零元.反过来，若导出半群（X，＋）是以0为零元的对合群，则∀x∈X有，x＋x＝0，由引理1知，（0＊x）＋x＝0，故0＊x＝x，由引理5知，〈X；＊，0〉是结合BCI－代数.

（2）设X 是p－半单BCI－代数，则L（X）＝X，由定理1知，（X，＋）是可换群，由 H－1得，0＋x＝0＊［（0＊0）＊x］＝0＊（0＊x）＝x，故0是X的零元.反过来，若导出半群（X，＋）是以0为零元的可换群，则∀x∈X 有，0＋x＝x，即0＊（0＊x）＝x，由引理6知，〈X；＊，0〉是p－半单BCI－代数.

（3）必要性.设X 是拟结合BCH－代数，则∀x∈L（X），由引理4的（2）和 H－1知，x＋x＝0＊［（0＊x）＊x］＝0＊0＝0，又0＋x＝0＊（0＊x）＝x，利用定理1得，（L（X），＋）是以0为零元的导出半群（X，＋）中的对合群.

充分性.∀x∈X，令y＝0＊x，由引理7的（1）知，y∈L（X），因（L（X），＋）以0为零元的导出半群（X，＋）中的对合群，由引理3的（1）和（2）得

0＝y＋y＝ （0＊x）＋（0＊x）＝0＊｛［0＊（0＊x）］＊（0＊x）｝＝ （0＊x）＊［0＊（0＊x）］.又由引理3，上式和H－1得

［0＊（0＊x）］＊（0＊x）＝ ［0＊（0＊x）］＊｛0＊［0＊（0＊x）］｝＝0＊｛（0＊x）＊［0＊（0＊x）］｝＝0＊0＝0.

再由 H－2得，0＊（0＊x）＝0＊x，所以利用定义2知，〈X；＊，0〉是拟结合BCH－代数.

（4）必要性.设〈X；＊，0〉是BCHK－代数，则∀x，y∈X，有x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝0.

充分性.设∀x，y∈X 有，x＋y＝0＊［（0＊x）＊y］＝0，取x＝0，由 H－1得，0＊（0＊y）＝0，两端左乘0得，0＊［0＊（0＊y）］＝0＊0＝0，由引理3的（2）得，0＊y＝0，因此由定义5知，〈X；＊，0〉是BCHK－代数.

最后说明一下，设（X，＋）是BCH－代数〈X；＊，0〉的导出半群，二元运算＋的值域记为Ran（X，＋），由引理7的（1）易知Ran（X，＋）＝｛x＋y｜x，y∈X｝＝｛0＊［（0＊x）＊y］｜x，y∈X｝＝L（X）.

2 偏序BCH－代数导出半群的性质

定理3 设〈X；＊，0〉是一个偏序BCH－代数，则它的导出半群（X，＋）是一个可换序半群.记为（X，＋，≤），这里的≤是偏序BCH－代数〈X；＊，0〉的偏序.

证明 利用引理8知，（X，≤）是偏序集，由引理1知，（X，＋）是可换半群；∀x，y，z∈X，设x≤y，由偏序性和 H－3得，（0＊z）＊y≤（0＊z）＊x，（0＊y）＊z≤（0＊x）＊z，再由偏序性得，0＊［（0＊x）＊z］≤0＊［（0＊y）＊z］，即x＋z≤y＋z，利用交换律得，z＋x≤z＋y，所以（X，＋）是一个可换序半群.

设I是偏序BCH－代数〈X；＊，0〉的可换序半群（X，＋，≤）的任一理想，∀a∈I，由引理1知，0＝（0＊a）＋a∈I，所以，由定义4知，可换序半群（X，＋，≤）的核一定存在，且0∈Ker（X）.

下面，研究偏序BCH－代数〈X；＊，0〉的可换序半群（X，＋，≤）核的一些性质.

定理4 设〈X；＊，0〉是一个偏序BCH－代数，则它的可换序半群（X，＋，≤）的核就是X 的p－半单部分，即Ker（X）＝L（X）.

证明 由于0∈L（X），所以L（X）是X的非空子集.∀x∈X，∀a∈L（X），由引理7的（1）知，x＋a＝a＋x＝0＊［（0＊a）＊x］∈L（X）；∀b∈X，∀a∈L（X），若b≤a，即b＊a＝0，由引理7的（2）得，b＝a∈L（X）.所以，L（X）是（X，＋，≤）的理想.设I是（X，＋，≤）的任一理想，由定理4上面的说明知，0∈I；∀a∈L（X），有a＝0＊（0＊a）＝0＊［（0＊0）＊a］＝0＋a∈I，从而L（X）⊆I.所以，L（X）是可换序半群（X，＋，≤）的最小理想，即Ker（X）＝L（X）.

由定理4和引理7的（1）立即有推论1.

推论1 偏序BCH－代数〈X；＊，0〉的可换序半群（X，＋，≤）的核 Ker（X）＝｛0＊x｜x∈X｝.

若偏序BCH－代数〈X；＊，0〉是BCHK－代数，则L（X）＝｛0｝.反之，若L（X）＝｛0｝，则∀x∈X，由引理7的（1）得，0＊x＝0，因此有推论2.

推论2 偏序BCH－代数〈X；＊，0〉是偏序BCHK－代数当且仅当其可换序半群（X，＋，≤）的核Ker（X）＝｛0｝.

推论3 偏序BCH－代数〈X；＊，0〉是p－半单BCI－代数当且仅当其可换序半群（X，＋，≤）是单序半群.

证明 必要性.如果〈X；＊，0〉是p－半单BCI－代数，即L（X）＝X，由定理4得，Ker（X）＝X，故可换序半群（X，＋，≤）只有一个理想，因此它是单序半群.充分性.因X本身是（X，＋，≤）的理想，由定理4知，最小理想Ker（X）＝L（X），又（X，＋，≤）是单序半群，只有一个理想，故X＝L（X），即偏序BCH－代数〈X；＊，0〉是p－半单BCI－代数.

定理5 设偏序BCH－代数〈X；＊，0〉的可换序半群为（X，＋，≤），则核 Ker（X）＝L（X）是（X，＋，≤）中的最大群.

证明 ∀x，y∈Ker（X），由于 Ker（X）是（X，＋，≤）的理想，所以，x＋y∈Ker（X）；∀x∈Ker（X）＝L（X），因0∈Ker（X），所以，0＋x＝0＊（0＊x）＝x，即0是 Ker（X）的单位元；另外，∀x ∈Ker（X），由推论1知，0＊x∈Ker（X），又由引理1，知（0＊x）＋x＝0，故0＊x是x 的逆元，因此，核Ker（X）是（X，＋，≤）中的群.

设Y 是（X，＋，≤）中的任意群，e是Y 的单位元，则∀y∈Y 有，e＋y＝y，即0＊［（0＊e）＊y］＝y，令y＝0，由引理3的（3），得0＊（0＊e）＝0，两端右乘e，由 H－3，H－1，得0＊e＝0，利用此式，在0＊［（0＊e）＊y］＝y中，令y＝e，得e＝0，这说明0是Y 的单位元，从而只要y∈Y，就有0＋y＝0＊（0＊y）＝y，即y∈L（X）＝Ker（X），所以，Y⊆Ker（X）.这就证明了核 Ker（X）＝L（X）是（X，＋，≤）中的最大群.

定理6 设I是偏序BCH－代数〈X；＊，0〉的非空子集，则I为X 的核的充要条件是I既是可换序半群（X，＋，≤）的理想又是群.

证明 设I＝Ker（X），由定义4和定理5可知，I既是（X，＋，≤）的理想，又是其中的群.反过来，如果I既是 （X，＋，≤）的理想，又是其中的群，又由定义4和定理5可知，Ker（X）⊆I，且I⊆Ker（X），故I＝Ker（X）.

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