“平抛运动” 典例教学设计

刘树权 王媛媛 董伟

平抛运动是曲线运动中典型的运动，掌握它尤为重要，接受方式值得探讨，请尝试一下下面方式的整合过程吧！

知识点

1.速度.（1）分速度： vx=v0、 vy=gt（如图1所示）

（2）合速度： v2=v2x+v2y

（3）速度偏向角β随时间t关系：tanβ=vy/vx=（g/v0）t

（4）速度和位移偏向角关系：tanβ=2tanα

（5）速度变化量Δv=gΔt，方向竖直向下（如图2所示）

（6）速度反向延长线交与x轴上的x/2处

2.位移.

（1） 分位移： x=v0t、y=gt2/2

（2）合位移： l2=x2+y2

（3）位移偏向角α随时间t关系：tanα=y/x=（g/2v0）t

（4）轨迹方程 ：y=（g/2v20）x2

典例设计

类型1 落点分布在几种平面上的相关问题

1.落到水平面上

例1 如图3所示，水平同时抛出的三个小球a、b、c落到水平地面上，

不计阻力，空中运动时间和初速度的关系是（ ）.

A.ta>tb=tc、 va>vb=va

B.tavb>va

C.ta>tb>tc、 va>vb>va

D.ta>tb=tc、va=vb>va

解析 竖直自由落体y=gt2/2，而ya

水平匀速运动x=v0t，而xa>xb>xa，ta

所以va>vb>va.答案选B

2.落到竖直面上

例2 如图4所示，小球与竖直墙壁30 cm处水平抛向墙壁，落到对面正下方20 cm处的P点，求（1）vp方向与墙壁所成的角度θ=______.

（2）v0=______g=10 m/s2。（3） 若以2v0的水平初速度抛向墙壁，

那么落点q______.

解析 1）作图法：如图4-1建立直角坐标系，落点坐标P（30、20），因vp反向延长线交与X/2处，

故tanβ=4/3， β=53°， vp与竖直的角θ=37°.

2）公式法.由速度与位移方向角关系：tanβ=2tanα，且tanα=y/x=20/30.

所以tanβ=4/3、 β=53°.

（2）由x=v0t和y=gt2/2消t代数得v0=1.5 m/s.

（3）由轨迹方程y=（g/2v20）x2

可知，当v0扩大2倍，y减到原来的1/4倍，故q点坐标是q（30、5）

3.落到斜面上

例3 如图5所示，两个小球在斜面的顶端沿水平方向抛出，初速度v01∶v02=1∶2，

（1）落到同一斜面上的速度与斜面所成角θ1 、θ2大小关系（ ）.

A.θ1>θ2 B.θ1=θ2 C.θ1<θ2 D.无法确定

（2）落点位移L1∶L2=（ ）.

A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶6

解析 如图5-1所示，建立直角坐标系.

（1）速度和位移的偏向角关系：

tanβ=2tanα①

落同一斜面上位移偏向角关系：

α1=α2②

故，速度偏向角β1=β2

速度与斜面所成方向角也有θ1=θ2

答案：B

（2） 速度偏向角tanβ=vy/vx=gt/v0

①

又β1=β2②

且v01∶v02=1∶2③

由①②③得t1∶t2=1∶2④

又y1∶y2=gt21/2∶gt22/2=t21∶t22⑤

和相似三角形关系L1∶L2=y1∶y2⑥

再由④⑤⑥可得L1∶L=1∶4

答案： C

本题扩展

1.若原题水平抛出点位置稍微竖直上移一点，那么（1）问题答案是（ ）.

解 因落同一斜面上位移偏向角关系： α1≠α2且α1>α2.故答案：A.

2.若原题水平初速度v0和斜面水平倾角α为已知，那么离斜面最远点时已飞行的时间为t=？

解 当速度方向与斜面平行时，飞离斜面最远，此时速度偏向角为α，因此，

tanα=vy/vx=gt/v0

答案 t=v0tanα/g

类型2 抛体相遇问题

1.平抛与平抛相遇

例4 如图6所示，自等高处间距为S，同时同方向水平抛出两个小球，初速度分别为V01和V02空中轨迹有交点，那么，在空中能相遇吗 ？若能，相遇位置位于抛点下方 h=？

解析 能，因为竖直规律相同

水平方向： s=v01t-v02t①

竖直方向： h=gt2/2②

联立①②得h=g[s/（v01-v02）]2/2

本题扩展 图6-1所示，两球在高度差为Δh的同一竖直线上还是以v01、v02同向水平抛出（v01

解析 同时抛不能相遇; 若能，1球必须先抛Δt可相遇.

由平抛轨迹方程y=（g/2v20）x2得

h=（g/2 v201）x2①

h-Δh=（g/2 v202）x2②

联立①②得h=[v202/（v202-v201）]Δh

x2=[v201v202/（v202-v201）]2Δh/g

2.平抛与上抛相遇

例5 如图7所示，小球1以V1水平速度抛出，另一个小球2同时以V2上抛，（1）若两球能相遇，则h/s=______;（2）小球2上升过程中相遇时，V2满足的条件是______.

解析 （1） s=v1t

______①

h=gt2/2+（v2t-gt2/2）②

联立①②得h/s=v2/v1③

（2） v2′=v2-gt>0④

联立①③④得v22>gh.