含两个参数的一类实二次型

2015-02-02 05:44赵红霞

人间 2015年36期

赵红霞

(甘肃省定西市安定区公园路中学，甘肃定西　743000)

含两个参数的一类实二次型

赵红霞

(甘肃省定西市安定区公园路中学，甘肃定西743000)

摘要：研究含两个参数a,b的一类实二次型，证明可以通过与参数a,b无关的正交线性变换把f(x1,x2)化为标准形，并讨论该二次型f(x1,x2)的正定性。

关键词：实二次型；正交线性变换；标准形；正定

二次曲线可以看成是笛卡尔平面上二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的图像。对二次曲线的研究可以追溯到2000多年前的古希腊时期。事实上，古希腊数学家在他们的著作中使用纯几何方法已经得到了今天高中数学中关于二次曲线的大部分性质和结果。二次曲线是中学数学的重要内容，对二次曲线的研究一直是非常活跃的。

多项式也是中学数学的重要内容，二次型(二次齐次多项式)这种特殊的多项式，起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准型问题的研究。二次型的理论在数学和物理的许多分支中都有应用。

本文讨论一类含两个参数的实二次型，证明可以通过与参数无关的正交线性变换把这类二次型化为标准形，并讨论这类二次型的正定性。

定义1[1]在秩等于r的实二次型f(x1,x2,…,xn)的典范形式

中，正平方项的个数p叫做f(x1,x2,…,xn)的正惯性指标，负平方项的个数r-p叫做f(x1,x2,…,xn)的负惯性指标，正、负惯性指标的差叫做f(x1,x2,…,xn)的符号差。

引理1[2]设n元实二次型f(x1,x2,…,xn)的秩为r，正惯性指标为p。则

1)f(x1,x2,…,xn)是正定的当且仅当p=r=n；

2)f(x1,x2,…,xn)是负定的当且仅当p=0，r=n；

3)f(x1,x2,…,xn)是半正定的当且仅当p=r

4)f(x1,x2,…,xn)是半负定的当且仅当p=0，r

5)f(x1,x2,…,xn)是不定的当且仅当0

引理2[1]实二次型是正定的当且仅当它的一切主子式都大于零。

证明情形1 b≠0。