古典概型与几何概型的辨别

☉江苏省无锡市第三高级中学 朱敏伟

古典概型与几何概型的辨别

☉江苏省无锡市第三高级中学 朱敏伟

古典概型和几何概型是高中概型学习中的两个重要类型，同学们在解概率题时，常常会出现解题信心不足、思维混乱等问题.下面，我们就这两类概型的特点，分析一下它们的区别和解法，以便大家更好地学习概率.

古典概型具有两个特点：①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生都是等可能的.满足以上两条，则事件A发生的概率为：P（A）=

几何概型具有的特点：①基本事件有无限多个；②每个基本事件发生是等可能的.满足以上两条，则事件A发生的概率为：P（A）=（D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，且每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点）.

一、基本事件的构成审题不清，几何概型和古典概型的区别就是基本事件的个数是有限个还是无限个

例1设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

（1）若a是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；

（2）a是从区间［0，3］内任取的一个数，b是从区间［0，2］内任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

分析：（1）中a、b分别是从4个数和3个数中任取的一个数，因此它的基本事件数是有限的，是古典概型；（2）中a、b分别是从两个区间各取一个数，有无限种取法，即基本事件数是无限的，是几何概型.

解：（1）a、b分别是从4个数和3个数中任取的一个数，故基本事件总数为4×3=12.设事件A为“方程有实数根”，即Δ≥0，化简得a≥b.

（2）以x轴和y轴分别表示a、b所取实数，设事件A为“方程有实数根”，即Δ≥0，化简得a≥b.（a，b）的所有可能结果是长与宽分别为3与2的矩形，而a≥b由图1中阴影部分所表示.所以P（A）

分清了概率题所对应的类型后，要正确做对一道概率题，对题意中的基本事件总数的分析尤为重要.

二、古典概型的解题关键在于搞清基本事件的个数

古典概型中，同学们在考虑总的基本事件数与所求事件A包含的基本事件数时，首先要考虑是否需要次序.若总的基本事件数是有次序的，那么事件A需几步发生，也需考虑次序.反之，若总的基本事件数是没有次序的，那么事件A的事件数也无需考虑次序.

例2从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.（1）求所选3人都是男生的概率；

（2）求所选3人中恰有1名女生的概率.

分析：（1）若理解成所选3人要排序，则总的基本事件数为6×5×4，而所求事件包含的基本事件的个数为4× 3×2；若理解成所选3人无需排序，只选不排，则总的基本事件数为，而所求事件，只需从4名男生中去掉一个，剩下3名男生即是所要求的.

（2）考虑用次序做就比较容易理解.

解：（1）设“所选3人都是男生”为事件A.

（2）设“所选3人中恰有1名女生”为事件B，则总的基本事件数为6×5×4，而事件B包含的结果数可考虑先选女的排序再选男的排序的思路，即事件B包含的基本事件的个数为2×3×4×3，故P（B）

由上例可知：在做古典概型题时，考虑总的基本事件数时，一定要注意有没有次序，所求事件的个数一定要跟前面是同样的有序或无序.

三、找对区域是几何概型解题成功的关键

在做几何概型题目时，需观察题目需几个独立变量，若只要一个变量，则往往只需考虑长度或角度；若要两个变量，则只需考虑相应的面积；若要三个独立变量，则往往需考虑体积.

例3在直角三角形ABC中，B=90°，A=30°.

（1）在AC上任意取一点N，求使AN>AB的概率；

（2）过直角顶点B作射线BM交线段AC于M，求使AM>AB的概率.

分析：（1）因为在线段上任意取一点是等可能的，基本事件为线段上每一处的点，使AN>AB的概率只与线段的长短有关.

（2）因为过一点作射线是均匀的，所以把∠ABC内所作任一射线BM看成是等可能的，基本事件为射线BM落在∠ABC内任一处，使AM>AB的概率只与∠ABB1（B1点满足AB=AB）的大小有关系1

解：（1）设“在AC上任意取一点N，使AN>AB”为事件A，在线段AC上取一点B1，使得AB=AB1.

（2）设“作射线BM，使AM>AB”为事件A，在线段AC上取一点B1，使得AB=AB1，所以△ABB1是等腰三角形，可得

例4A、B两人约定在7时到8时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.

分析：这是概率中的会面问题，A、B两人相约7时到8时在某地会面，两个人到达的时间是随机的.因此，利用直角坐标系，我们需要用两个变量x、y来表示两个人到达的时间，即0≤x≤60、0≤y≤60对应的区域.两个人能会面，只有当两个人到达某地的时间差小于或等于15分钟，即|x-y|≤15，用所对应的图中阴影部分表示.因每人到达会面地点的时刻是随机的，所以区域内的每个点被取到的可能性都是相等的.

解：以x轴、y轴分别表示A、B两人到会面地点的时间，建立直角坐标系，则两人能够会面的条件是|x-y|≤15.（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，这是几何概型问题，由几何概型的概率公式求得

考虑几何概型时，一定要把每个变量的条件都考虑进去，建立不等式或不等式组，再去找相应的区域求解.

四、古典概型和几何概型相结合题型的解法

借助几何模型计算曲边面积，将几何概型问题转化为古典概型问题求解.

例5图5所示的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，我们可以估计出阴影部分的面积为多少？

分析：在矩形内随机地撒黄豆，每个落点都是等可能的，即分布是均匀的，所以在图形内撒黄豆是古典概型问题，再由求得的概率去估算阴影部分的面积.

解：因为在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，于是得到落在阴影部分的概率近似为，所以，所以S=0.46×5×阴影2=4.6.

1.张云林.几何概型教学案例［J］.才智，2012（33）.

2.景宝洪.解“几何概型”题需注意的四个问题［J］.数学之友，2014（1）.

3.黄伟军.一个平面几何概型应用两例［J］.中学生数学，2006（13）.

4.侯进杰.几何概型［J］.新高考（高二版），2006（12）.

5.周伟忠.几何概型教学中要抓住什么［J］.数学通报，2007（7）.A