新课程新理念新方法

☉江苏省泰兴中学 吴卫东

新课程新理念新方法

☉江苏省泰兴中学 吴卫东

数学思想的教学是高中数学教学中的最终目标，课程标准指出：高中数学要致力于学生基础知识和基本技能的培养，要注重知识相互链接和交叉的使用，这些都是数学教学的根本，数学教学最终教学目标是引导学生建立数学的思维方式，用数学的眼光来看问题，培养其数学思想方法进而解决生活中的问题.课程标准的一席话，我们可以这么解读：高中数学教学分三个层次，其一是教材中的数学基本概念、基本公式等单一知识元；其二是各种单一知识元之间的衔接和整合，形成了知识块；最后是将知识块中的数学思想方法提炼出来，形成了无形的数学思想，站在更高的层次上学习数学.

IBM公司应聘信息技术人才（需要有扎实的数学功底和思维），有这样一道面试试题：房间里有一个水壶、一个水龙头、一个煤气灶，请问烧水的流程是怎么样的？如果现在帮你把水壶里灌满了水，这个流程应该如何实施呢？请你描述.面试的人员都一一作答，百分之九十九的人都将两个问题清晰的解答了，第一个问题是分三步走：打开龙头灌水，放在煤气灶上，打开煤气灶烧水；第二个问题省去了第一步，只需要放在煤气灶上，打开煤气灶烧水即可.只有一位学员是这样回答的，第一个问题同上，第二个问题先将水壶里的水倒掉，然后遵从第一个问题操作.最终他被IBM公司录取了.亲爱的读者，你想这是为什么？我们知道，从事计算机工作要求拥有扎实的数学功底和化归的数学思想，这位学员将问题转化为前一个问题，即充分使用了转化与化归的数学思想，这意味着其在问题解决过程中站在比较高的视角思考了问题，而大多数人将两个问题割裂开来看，自然是有扎实的知识块，却没有思想方法的意识.从中可见数学思想方法的重要性.

高中数学中的数学思想方法有哪些？哪些是必备的？重要的？核心的？这些问题由原东北师大校长史宁中教授在解读课程标准的时候特别提到：我认为中学思想方法最核心的、最重要的就是转化与化归思想，它属于意识形态方面，属于思想方法中的最高地位，其他的思想方法，如数形结合思想、分类讨论思想等，属于知识层面的，围绕着核心思想方法形成了中学思想方法圈.有时我去东北师大附中听别的老师上课，有些老师讲一个题目就由点及面的高效，有些老师题目讲了好几道，却没有渗透应该讲到的数学本质、数学思想，那是低效的.无独有偶，哈佛大学数学终身教授丘成桐也说：思想是数学的灵魂，解题是数学的外衣，有灵魂才是学到数学的本质，否则永远只有躯壳，停留在数学的大门之外.本文将结合高中数学案例，谈谈新课程中加强思想方法教学的重要性.

一、横看成岭侧成峰，远近高低各不同——思想方法层次区分

从史宁中教授对于思想方法的区分来看，高中数学思想方法主要分为知识类、技能类和意识形态类，知识类主要涉及了数形结合思想、函数与方程思想，技能类主要是分类讨论思想、类比思想、一般化与特殊化思想，意识形态类涉及的是转化与化归思想.它们之间的关系是拾级而上、不断提高，用图1来表示这些思想方法之间的层次区分.

笔者认为，思想方法教学正如上述史教授所述的一样存在着循序渐进、螺旋式上升的过程，它们之间也是高低各不同的，因此从高一教学开始渐渐渗透思想方法教学，加强学生对各种思想方法之间的认识和不断的理解.

案例1：如图2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，A，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是______.

分析：本题为江西高考原题，连接A1B，将三角形BCC1绕着棱BC1转动，使其与三角形A1BC1共面，如图3所示，连接A1C，则A1C就是所求距离的最小值所以∠ACB=90°.又∠BCC=45°，111因此∠A1C1C=135°，由余弦定理可得

说明：本题是空间几何中一道典型的翻折问题.纵观翻折问题，总是将其转化为平面问题解决，将平面所求两线段之和的最小值转化为平面中两点间连线线段最短问题.问题的本质是教师如何引导学生挖掘、发现这一问题的转化关系.其明在的问题是立体几何，暗在的联系是通过转化为平面几何问题去处理，这一数学思想其实贯穿着立体几何教学的始终，即从知识层面而言是空间问题平面化，从意识形态层面而言是化归平面化的思想是否在具体问题中得到了实施.笔者可以将化归的一般模式总结为：

化归思想是最终的数学思想，其贯穿中学数学教学的始终，学会用化归思想去不断分析问题、处理问题，其对于学生处理问题的导向性、方向性有着重要的作用.

二、随风潜入夜，润物细无声——思想方法整合教学

随着思想方法教学的深入，我们知道单一的知识类思想方法或技能类思想方法并不能解决复杂的问题，有时甚至在问题解决过程中需要多个思想方法的使用，而且在解决问题过程中那种自然而然的使用，正是将思想方法从知识体系中流露的体现.来看一个案例，这是浙江的一道竞赛问题.

分析：对于本题，笔者在竞赛训练时要求学生探索，发现学生有两种不同层次的思路.其一是基于最基本的分类讨论思想实施，但是可以最终解答完毕的没有一人，因为从代数的角度分类太复杂（读者可以查询原题给出的代数标准答案，此处不赘述）；其二是学生基于知识类思想方法数形结合思想的渗透使用，并在图形化过程中自然而然地介入了技能类的分类讨论思想，将问题化归为一个几何问题求解，从这个问题中很自然地看到了“随风潜入夜，润物细无声”的思想方法整合，这是利用思想方法较高的境界.

说明：对比标准答案的代数化方法，相信你一定会觉得思想方法渗透的魅力！这里数形结合思想与分类讨论思想的交替融合使用，将问题转化为一个图形化的问题，使学生相信数学思想方法使用的重要性，在教学过程中形成了拾级而上的思维.

三、只在此山中，云深不知处——培养思想方法眼光

仅仅学会数学思想方法的单一使用或者融合交替，有时未必能正确解决数学问题，这里还有一个更为重要的因素在里面——你有没有发现问题中存在数学思想方法的眼光？！有这样一个小故事：大众公司维修总部修理一辆从分部送来的检修汽车，数位维修员都无法查出问题所在，最后请来了大众维修总监史蒂夫，只见他打开发动机左听听右瞧瞧，开着车去试车场跑了几圈，然后拿出笔在气缸那里划出了一个圈，维修人员打开气缸，才发现一枚固定左叶气缸的螺丝松动跑到了中间，引发了一系列共振引起了汽车自检系统的故障.这个小故事暗示我们，我们并不缺少解决问题的手段，缺少的是发现问题的心.犹如在此山中一般，无法看透隐藏在问题背后的思想方法，从而无法找到解决的捷径.

分析：这是来自天津的一道竞赛试题，对于一般思考方向而言，很多学生势必联系到了向量共线问题，这也是常规的第一思路选择.但我们马上发现用向量、三角知识求解计算复杂，而且不易求解最终结果.若观察A、B两点则有另一番风景！

说明：本题貌似与思想方法关系不大，那是因为对问题背后的知识没有深刻的思想认知，从观测点坐标可以发现，这些点满足了一定的特定图形关系，进而利用转化思想和数形结合思想将问题转换为几何问题解决，这恰如贾岛所云：只在此山中，云深不知处.在思想方法教学中，利用具备前瞻性的问题来提高优秀学生的思维，是思想方法教学最高的境界，使其达到了在看不到思想方法的地方自然而然地使用思想方法解决问题.

总之，本文从新的视角分析了思想方法教学需要关注的几个方面，将思想方法分为了三个不同的类型，并从培养用单一思想方法解决问题，到思想方法整合解决难题，到最终在没有思想方法显现的问题中挖掘思想方法，努力提高学生在思想方法运用上的层次性和阶梯性，也让教师教学不再一味地只喊重视思想方法，却不知道思想方法教学如何循序渐进、螺旋式教学！坚持从本文所述的三个层面循序渐进，教师在加强思想方法教学中势必会影响学生对数学学习的洞察力，有助于学生既有扎实的基础也有宽阔的数学视野.张奠宙教授说：在没有数学的地方发现数学的运用是一种能力.笔者想说：在看不到数学思想方法的地方观察到了思想方法的运用恰是一种数学的魅力！诚然笔者才疏学浅，以自身认识的一些对思想方法教学的愚见，恳请读者批评指正.

1.刘薇.运用整体思想求数列［J］.中学数学教学参考（上），2009（10）.

2.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2002.

3.沈恒.数形结合的三重境界［J］.数学教学，2009（10）.A