2015年全国新课标I卷理科第20题的深度探究

☉安徽省砀山中学 胡云浩

2015年全国新课标I卷理科第20题的深度探究

☉安徽省砀山中学 胡云浩

一、问题提出

题目（2015年全国新课标Ⅰ理科第20题）在直角坐标系xOy中，曲线与直线y=kx+a（k>0）交于M、 N两点.

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

本题的（Ⅱ）主要考查直线与抛物线的位置关系等基础知识和运算求解的基本技能，考查推理论证及数形结合的思想.立意深刻、内蕴厚重.那么本题能否推广为一般情况呢？即已知抛物线x2=2py（p>0），如果过定点（0，m）（m>0）且不与y轴垂直的直线l交抛物线C于M、N两点，那么y轴上是否存在定点P，使得y轴是∠MPN的平分线呢？它的逆命题是否成立呢？对于椭圆与双曲线是否具有类似的性质？还有什么变式吗？本文将予以探究.

二、问题探究

探究1：已知抛物线C：x2=2py（p>0），如果过定点（0，m）（m>0）且不与y轴垂直的直线l与抛物线C交于M、N两点，那么y轴上是否存在点P，使得y轴是∠MPN的平分线呢？

解析：假设存在点P（0，b），设直线l的方程为y=kx+ m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM、PN的斜率分别为k1、k2.将y=kx+m代入C，整理得x2-2pkx-2pm=0，则x1+x2= 2pk，x1x2=-2pm.所以k1+k2=.要使∠OPM=∠OPN，只需k1+k2=0即可.因为k≠0，故要使k1+k2恒等于0，只需m+ b=0，即b=-m即可.故y轴上存在点P（0，-m），使得y轴是∠MPN的平分线.

探究2：探究1的逆命题成立吗？即已知抛物线C：x2= 2py（p>0），点P（0，-m）（m>0），设不与y轴垂直的直线l与抛物线C交于M、N两点，如果y轴是∠MPN的平分线，那么直线l是否恒过一定点呢？

解析：设直线l的方程为y=kx+b（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM、PN的斜率分别为k1、k2.因为y轴是∠MPN的平分线，故有k1+k2=0.将y=kx+b代入C，整理得x2-2pkx-2pb=0，x1+x2=2pk，x1x2=-2pb.所以=0.因为k≠0，故有b=m，即直线l恒过定点（0，m）.

由探究1、2可得如下结论：

定理1：已知抛物线C：x2=2py（p>0），设不与y轴垂直的直线l交抛物线于M、N两点，则直线l过定点（0，m）（m> 0）的充要条件为y轴上存在点P（0，-m），使得y轴是∠MPN的平分线.

解析：假设存在点P（n，0），设直线l的方程为x=ty+ m（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM、PN的斜率分别为k1、k2.将x=ty+m代入，整理得（b2t2+a2）y2+2b2tmy+ b2（m2-a2）=0，则要使∠OPM=∠OPN，只需k1+k2=0即可.所以，因为t≠0，所以mn-a2=0，即，故x轴上存在点），使得x轴是∠MPN的平分线.

解析：设直线l的方程为x=ty+n（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM、PN的斜率分别为k1、k2.将x=ty+n代入，整理得（b2t2+a2）y2+2b2tny+b（2n2-a2）=0，则y1+因为x轴平分∠MPN，所以k1+k2=0.

由探究3、4可得如下结论：

同理可得双曲线类似性质：

三、定理变式

经探究发现，由定理1、2、3可以分别得到各自的变式.

对于抛物线C：x2=2py（p>0），由定理1可知，直线l恒过定点（0，m）（m>0）的充要条件为y轴上存在点P（0，-m），使得y轴是∠MPN的平分线.因为y轴平分∠MPN，故直线PM、PN一定关于y轴对称.因为直线l不垂直y轴，所以M、N不关于y轴对称.设直线PM与C交于另一点R，则R、N一定关于y轴对称.这样可得定理1的变式：

定理1的变式：已知抛物线C：x2=2py（p>0），点P（0，-m）（m>0），设不与y轴垂直的直线l交抛物线C于M、N两点，直线PM与C交于另一点R，则R、N关于y轴对称的充要条件为直线l恒过定点（0，m）.

推论1：已知抛物线C：x2=2py（p>0），点），设不与y轴垂直的直线l交抛物线C于M、N两点，直线PM与C交于另一点R，则R、N关于y轴对称的充要条件为直线l过焦点

注：对于焦点在y轴上的椭圆与双曲线的标准方程、焦点在x轴上的抛物线标准方程类比探究，可得类似结论.

四、高考链接

例1（2013年陕西卷理科第20题）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴是∠PBQ的平分线，证明直线l过定点.

解析：（Ⅰ）y2=8x.

（Ⅱ）类比定理1易得直线l过定点（1，0）.

例2（2010年全国卷I理科第21题）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

（Ⅱ）略.

解析：由条件知焦点F（1，0），点A、D关于x轴的对称，直线BD不与x轴垂直，类比推论2可得直线BD过焦点F，即点F在直线BD上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图1，若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.

（1）求证：M点恒在椭圆C上；

（2）略.