基于UKF算法的小卫星串行编队相对状态自主确定

张晓磊 ， 郑建华 ， 高 东

（1.中国科学院复杂航天系统电子信息技术重点实验室 中国科学院空间科学与应用研究中心，北京 100190；2.中国科学院大学 北京 100190）

小卫星编队是指由两颗或多颗小卫星，它们之间保持一定的距离和构型，星间彼此通信，协同工作，形成一颗具有特定功能的“虚拟卫星”[1]。该技术突破了传统单颗大卫星尺寸的限制，研发成本低，鲁棒性强，并且可根据需要改变构型[2]，在全球遥感、目标跟踪等领域具有重要的应用价值。

相对轨道的精确确定是小卫星编队的关键技术之一。目前广泛采用的测量方式有GPS导航系统，激光，无线电，红外，可见光相机等[3]。GPS系统测量精度高、技术成熟，但是该系统由美国控制，不利于我国应用。激光测距精度高，但是激光波束窄，需要额外的引导系统，使得系统构造复杂，不便于在小卫星上应用。无线电测量距离远、范围广，但是测角精度较差。红外测量设备体积小、精度高，但只能提供测角信息。可见光相机能够测距、测角，但有效作用距离较近。综合各测量方法的优缺点，文中采用无线电测距，红外测角的组合测量方式。

文中研究的卫星编队运行轨道为圆轨道串行方式。常用来描述编队相对运动的Hill方程是近似简化模型，对适用对象和初始条件有一定的限制，可以证明其对于圆轨道串行编队不再适用[4]。因此，文中以卫星在惯性坐标系下的轨道动力学方程为基础，推导出卫星的相对运动动力学模型。由于测量方程为非线性方程，卡尔曼滤波（KF）适用于线性系统，对于非线性系统，需要先对其线性化，这样会带来截断误差，影响估计精度。而UKF适用于非线性系统，避免了线性化带来的截断误差，并且不需要计算测量方程的Jacobian矩阵[5]，降低了计算复杂度。因此，文中采用UKF算法，以双星编队为例，进行了数字仿真，验证了该算法的有效性。

1 坐标系定义

描述卫星编队相对运动需要用到惯性坐标系和相对运动坐标系，下面给出这两种坐标系的定义。

惯性坐标系N：原点为地球地心，XN轴指向春分点方向，ZN轴垂直于赤道面指向北极，YN轴与XN轴、ZN轴满足右手定则。

相对运动坐标系H：原点为主星的质心，XH轴从地心指向主星质心方向，YH轴垂直于XH轴，与主星运行速度方向一致，ZH轴满足右手定则。

图1 卫星编队参考坐标系Fig.1 Satellite formation reference coordinate system

2 相对轨道动力学模型

Hill方程对于圆轨道串行编队不再适用，虽然卫星轨道根数可以精确描述各种编队构型的相对运动状态，但是轨道根数和相对位置、速度间存在复杂的转换关系，不利于编队卫星的实时相对状态解算[6]。在文献[6]中已给出适合圆轨道串行编队的相对运动模型，并证明了其有效性，下文以卫星编队在惯性坐标系下的轨道动力学方程为基础，给出该模型的详细推导过程。

记rm，rc分别为主、从星的绝对位置矢量，在惯性坐标系N中，主、从星的轨道动力学方程为

式中：μ为地球引力常数；am，ac分别为主、从星受到的除地球中心引力场外的其他摄动力产生的摄动加速度之和。

从星相对主星的位置矢量为p=rc-rm，联立式（1），并将其转换到相对坐标系H中，由于主、从星的相对距离较近，所受摄动力几乎相同，因此相对摄动加速度可忽略不计[7]。则得到非线性相对动力学方程的矢量形式

式中，ωm为主星的轨道角速度。

记θ为主星真近角点，在相对坐标系中有ρ=[x y z]T，ωm=[0 0 θ˙]T，rm=[rm0 0]T，

则由式（2）可得[8]

由于两星运行于同一圆轨道，主星和从星的轨道半径相等，即 rm=rc，真近角点变化率为常值，即θ¨=0，主星相对于地心的力矩为零

联立式（3）、式（4）可得

式（5）即为编队卫星相对运动动力学方程的微分形式，对其求解即可得到任意时刻关于相对位置、速度解析形式的状态方程。

3 相对轨道测量方程

测量方程可以给出测量值与编队卫星相对位置之间的关系，需要测量的量为星间距离ρ，从星与主星的运行轨道平面的夹角α（仰角），主从星间矢量在主星轨道平面内的投影与相对运动坐标系的y轴夹角ε（方位角），主从星间的距离ρ由无线电测量系统测出，仰角α和方位角ε由红外测角系统测出，测量原理如图2所示。

图2 卫星编队测量原理图Fig.2 Schematic measurement of satellites formation

根据测量几何关系可以得出测量值与相对位置坐标的关系

4 相对轨道状态确定的UKF算法

目前解决动态系统状态估计问题广泛采用KF算法，对于非线性系统，需要系统进行线性化，但是这样会不可避免地引入截断误差，影响估计精度。UKF算法是在KF算法的基础上提出来的，它广泛适用于非线性动态系统状态估计问题，是近年来研究的热点。下面给出UKF算法的具体流程

首先，以相对位置、速度作为状态量，将状态方程和测量方程表示成如下非线性离散系统

式中：Wk为系统噪声序列，Vk为量测噪声序列。相对轨道状态确定的UKF算法流程如下[9]：

1）计算 sigma点

sigma点采样策略是UT变换算法的关键，Sigma点的个数、位置以及相应权值的确定，是在保证输入变量x的分布特征的同时，使得逼近输出某些性能指标的代价函数达到最小。本文采用对称采样策略，n维随机变量x的均值为x，方差阵为Px，按如下方式选取sigma点

2）时间更新

式中：Qk为系统噪声序列的方差阵；、分别为计算均值和方差所用的加权值，其值采用如下方法计算得到

式中：β包含状态分布的先验信息，一般在Gauss分布中，取值2为最优。

3）测量更新

式中：Rk为量测噪声的方差阵。

5 仿真分析

主星的轨道半径6 878.146 km，两星间距离约为8 km。设测量系统的精度参数：无线电测距精度1 cm，红外测角精度4″。采样周期2 s，仿真时间8 000 s。仿真结果如图3、图4所示。

图3 相对位置误差仿真结果Fig.3 Relative position error simulation results

从仿真结果可以看出，误差曲线迅速收敛，在相对状态估计达到稳定后，最终相对位置确定精度优于2 cm，相对速度确定精度优于2×10-4m/s。

6 结 论

相对状态的精确确定是编队飞行的关键技术之一，本文提出的基于UKF算法，利用无线电测距，红外测角的组合测量方式对小卫星编队相对状态进行自主确定。通过仿真结果表明，该算法收敛速度快、精度高，能够实现对圆轨道串行小卫星编队相对状态的精确自主确定。

图4 相对速度误差仿真结果Fig.4 Relative velocity error of the simulation results

[1]林来兴.小卫星编队飞行及其轨道构成[J].中国空间科学技术，2001（1）:23-28.LIN Lai-xing.Formation flying of small satellite and its orbital configuration[J].Chinese Space Science and Technology，2001（1）:23-28.

[2]Ferguson P，How Jp.Decentralized estimation algorithms for formation flying spacecraft[J].Proceedings of the AIAA Guidance， Navigation， and Control Conf，2003:2003-5442.

[3]马涛，郝云彩，马骏，等.编队飞行卫星的星间跟踪与测量技术综述[J].航天控制，2005（3）:91-98.MA Tao，HAO Cai-yun，MA Jun，et al.A survey of intersatellite tracking and sensing techniques for formation flying spacecrafts[J].Aerospace Control，2005（3）:91-98.

[4]高云峰，宝音贺西，李俊峰.卫星编队飞行中C-W方程与轨道根数法的比较[J].应用数学和力学，2003，（8）:799-804.GAO Yun-feng，BAO Yin-hexi，LI Jun-feng.Comparison of two methods in satellite formation flying[J].Applied Mathematics and Mechanics，2003（8）:799-804.

[5]吴云华，曹喜滨.编队飞行卫星自主相对导航算法研究[J].哈尔滨工业大学学报，2007（3）:354-358.WU Yun-hua，CAO Xi-bin.Autonomous relative navigation algorithm research for formation flying satellites[J].Journal of Harbin Institute of Technology，2007（3）:354-358

[6]雪丹，曹喜滨，吴云华.圆轨道串行卫星编队的相对运动研究[J].中国空间科学技术，2006（5）:37-42.XUE Dan，CAO Xi-bin.Relative motion of leader-follower formation on circular orbit[J].Chinese Space Science and Technology，2006（5）:37-42.

[7]张洪华，林来兴.卫星编队飞行相对轨道的确定[J].宇航学报，2002（6）:77-80.ZHANG Hong-hua，LIN Lai-xing.The determination of relative orbit for satellites formation flying[J].Journal of Astronautics，2002（6）:77-80.

[8]Vaddi S S，Vadli S R，Alfriend K T.Formation flying:accommodating nonlinearity and eccentricity perturbations[J].Journal of Guidance， Control and Dynamics，2003，26 （2）:214-223.

[9]Crassidis JL，Markley F L.Unscented filtering for spacecraft attitude estimation[J].Journal of Guidance， Control， and Dynamics，2003，26（4）:536-542.