基于拉格朗日插值多项式的光伏电池I-V特性建模方法

郭婷婷，伦淑娴

（1.渤海大学数理学院 辽宁 锦州 12101；2.渤海大学新能源学院 辽宁 锦州 121013）

最近几年能源危机和环境污染的问题越来越严重，而通过光电效应或者光化学效应直接把光能转化成电能的太阳能电池是最有前景的能源，并会成为未来主要的能源方式，所以人们对太阳能电池越来越重视[1-2]。为了要实现光伏发电系统的最优化设计和最优化实现，所以我们需要一个仿真模型来建模太阳能电池。一系列光伏电池串联连接或者并联连接可以组成一个光伏电池矩阵，而光伏电池矩阵在光伏发电系统中具有重大的作用，因此，光伏电池的建模是一个非常值得研究的课题。人们经常使用理想状态下的光伏电池等效电路来建模光伏电池。光伏电池的等效电路通常有两种类型，分别是单二极管模型和双二极管模型。光伏电池研究都是基于在这两个模型的基础上进行的，而且绝大多数人们选择的是单二极管模型来进行光伏电池建模研究。所以本文也采用单二级管模型进行建模。这两个模型都是关于电流和电压的隐式的数学表达式。给出一个电压值，人们必须通过解非线性方程才能得到对应的电流值，然而，有很多时候，即使给出很好的初值，也得不到对应电流值。所以，为了得到给出电压值的对应的电流值，人们使用各种方法得到电流-电压显式表达式，例如数值分析的参数模型方法[1-2]，W-函数的方法[3-4]和人工智能的方法[5]。利用基于数值分析的参数模型方法可以得到关于电流-电压的显式逼近的表达式，但为得到显式方程，必须先确定参数个数，然后再解出各个参数的值，非常复杂，需要花费大量的时间。W-函数的方法可以给出一个准确的，而非逼近的显式表达式，但是程序非常复杂，花费时间。人工智能的方法不能给出一个真正的解析表达式。所以本文把桑迪亚国家重点实验室的电流-电压特性曲线上的5个关键点[6]作为节点进行拉格朗日插值，直接、快速地得到光伏电池的电流-电压特性曲线，给出一个电压值可以直接得到对应的电流值，不需要求解出各个参数的值，具有准确，快速的特点。

1 光伏电池单二极管模型

太阳能电池是通过光电效应或者光化学效应直接把光能转化成电能的装置。光伏电池的等效电路模型能够帮助我们深入了解这种器件的工作原理。理想光伏电池的模型可以表示为一个感光电流源并联一个二极管。光源中的光子被太阳能电池材料吸收。如果光子的能量高于电池材料的能带，那么电子就被激发到导带中。如果将一个外部负载连接到光伏电池的输出端，那么就会产生电流。图1是由一个串联电阻和一个并流电阻构成的光伏电池等效电路。

图1 太阳能电池单二极管模型Fig.1 The single-diode model of solar cells

根据图1，我们可得到光伏电池的I-V特性如下：

可以很容易地看出光伏电池I-V特性是一个隐式表达式。要想得到电流值，必须得解一个非线性方程。有时候即使给出很好的初值，也得不到解，非常复杂，而且花费大量时间。

2 基于拉格朗日插值多项式太阳能光伏电池I-V特性显式表达方法

利用桑迪亚国家重点实验室光伏电池I-V特性曲线上的五个关键点作为节点进行拉格朗日插值。这5个关键点分别为其中，Isc是短路电流，Vmp和 Vmp分别是最大功率点对应的电压和电流值，Voc是开路电压，Ix是电压值为Vx条件下的电流值，Ixx是电压值为Vxx条件下的电流值。令电压V为坐标系的x轴，电流I为坐标系的y轴，则我们可以假设：

根据光伏电池I-V特性曲线特点，对I-V特性进行分段插值。

当 0≤x≤x1的时候，令（xo，yo），（x1，y1）作为插值节点进行线性插值；

当 x1≤x≤x4的时候，令（x1，y1），（x2，y2），（x4，y4），作为插值节点进行3次插值。I-V特性分段插值结果如下[7]：

将桑迪亚国家重点实验室中的五个关键点 （0，Isc），（Vx，Ix），（Vmp，Imp），（Vxx，Ixx），（Voc，0）代入上述插值多项式中，从而得到的光伏电池I-V特性的显式表达式，如下：

综上，式（4），（5）是基于拉格朗日插值多项式的光伏电池I-V特性显式形式。利用此式，我们可以根据不同的电压值得到对应的电流值，从而得到光伏电池I-V特曲线，称式（4），（5）为基于拉格朗日插值多项式的光伏电池I-V特性模型，简称拉格朗日模型。

3 基于拉格朗日插值多项式的I-V特性模型的仿真实验及准确性讨论

选取两种不同的电池类型来验证拉格朗日插值多项式的光伏电池I-V特性模型的准确性。这两种不同的电池类型分别是单晶硅（SP-75）和多晶硅（MSX-64）。由于五参数模型[8]能够准确地预测光伏电池的I-V特性，所以我们在此把五参数模型看成是真实数据。利用Matlab软件，我们把桑迪亚国家重点实验室的5个关键点进行插值，得到的I-V特性曲线，简称为桑迪亚模型。我们并不知道桑迪亚模型的具体表达形式。将拉格朗日模型与真实数据和桑迪亚模型进行比较。本文使用均方根误差来验证拉格朗日模型的准确性。均方根误差（RMSE）的表达方法如下式：

其中，d是测试数据的数目，Ii是真实数据，IMi是逼近的数据。本文选择光伏电池组件SP-75，MSX-64分别在光照强度（简称光强）为1 000 W/m2，温度25℃的条件下和光强为600 W/m2，温度35℃条件下的值来验证 I-V特性。

表1给出不同的光伏电池组件SP-75，MSX-64分别在光强为1000 W/m2，温度25℃的条件下和光强为600 W/m2，温度35℃条件下桑迪亚国家重点实验室五个关键点的值。根据表 1和式（4），（5），我们可以得到这些组件在不同光照和温度条件下的I-V特性曲线，并与真实数据和桑迪亚模型进行比较。I-V特性比较的结果如图2，图3所示。同时表2给出不同的光伏电池组件SP-75，MSX-64，在不同光强和温度下的该模型和五参数模型的均方根误差值。

表1 不同组件在不同光强和温度条件下桑迪亚国家重点实验室五个关键点的值Tab.1 The value of the five key points of the different photovoltaic modules at different conditions

图2 SP-75在不同光强和温度条件下I-V特性Fig.2 I-V characteristic for SP-75 module at different solar irradiance and temperature conditions

图3 MSX-64在不同光强和温度条件下I-V特性Fig.3 I-V characteristic for MSX-64 module at different solar irradiance and temperature conditions

根据图2，图3和表2，我们可以很清晰地看出拉格朗日模型可以准确并快速地预测不同光伏电池类型 （如单晶硅，多晶硅）的I-V特性曲线，尤其是在0≤V≤Vx和Vmp≤V≤Voc范围内。但是由于该方法利用最大功率点上的电压和电流值作为已知进行插值，所以不能预测到最大功率点。

4 结 论

文中提出了一个基于拉格朗日插值多项式的光伏电池I-V特性的新的建模方法。该方法根据桑迪亚国家重点实验室I-V特性曲线上的五个关键点的值做为节点进行插值，得到I-V特性的显式表达式，根据给出的电压值得到对应的电流值，从而得到基于拉格朗日插值多项式的I-V特性模型。根据仿真结果显示该模型是一个简单，快速的I-V特性建模方法。

表2 不同光伏电池组件在不同光照和温度条件下的均方根误差值（RMSE）Tab.2 The value of RMSEs of different photovoltaic m odu les at different conditions

[1]LUN Shu-xian，DU Cun-jiao，YANG Gui-hong，et al.An explicit approximate characteristic model of a solar cell based on Padéapproximants[J].Solar Energy，2013，92:147-159.

[2]LUN Shu-xian，DU Cun-jiao，GUO Ting-ting，et al.A new explicit model of a solar cell based on Taylor’s series expansion[J].Solar energy，2013，94:221-232.

[3]Jain A，Kapoor A.Exact analytical solutions of the parameters of real solar cells using Lambert W-function[J].Solar Energy Materials and Solar Cells，2004，81:269-277.

[4]Romero B，Pozo G，Arredondo B.Exact analytical solution of a two diode circuit model for organic solar cells showing S-shape using Lambert W-functions[J].Solar Energy，2012，86:3026-3029.

[5]Kulaksiz A A.ANFIS-based estimation of PV module equivalent parameters:application to a stand-alone PV system with MPPT controller[J].Turkish Journal of Electrical Engineering&Computer Sciences，2013，21:2127-2140.

[6]King D L，Boyson W E，Kratochvil J A.Photovoltaic array performance model[C].Albuquerque，New Mexico 87185-0752，2004.

[7]Burden R L，Faires J D.Numerical Analysis[M].Cengage Learning，2011.

[8]De Soto W，Klein S A，Beckman W A.Improvement and validation of a model for photovoltaic array performance[J].Solar Energy，2006，80:78-88.