一类带渐近线性项的Schrödinger方程非平凡解的存在性

彭超权,魏 盼

(中南民族大学 数学与统计学学院,武汉 430074)

一类带渐近线性项的Schrödinger方程非平凡解的存在性

彭超权,魏 盼

(中南民族大学 数学与统计学学院,武汉 430074)

研究了如下Schrödinger方程:-Δu+V(x)u+u=f(u),x∈N,其中N≥3,f(u)关于u在无穷远处渐近线性. 这类方程源于数学物理中的多种分支,在生物学的一些问题中也有一定的体现.利用山路定理,证明了在一定条件下该方程在H1(N)中非平凡解的存在性.

渐近线性;非平凡解;山路定理

1 主要问题及结果

本文考虑如下一类Schrödinger方程:

-Δu+V(x)u+u=f(u),x∈N,

(1)

在H1(N)中非平凡解的存在性,其中N≥3.

Schrödinger方程(1)的研究受到了广泛的关注,这类方程源于数学物理中的多种分支, 在生物学的一些问题中也有一定的体现，例如文[1,2],另外文[3]在径向对称的Sobolev空间中讨论了问题(1)；文[4]得到了V(x)及f(t)关于变量具有周期性时,f(t)关于t在无穷远处超线性或渐近线性时方程多解的存在性；文[5]考虑了V(x)变号且在无穷远处可能衰减到零的情形；文[6] 则讨论了一类带参数的渐近线性方程组的问题,更多相关文章可见文[7-9].

本文拟讨论V(x)在无穷远处可能衰减到零以及f(t)关于t在无穷远处渐近线性的情形,我们假设V(x)及f(t)满足如下条件:

(i)V(x)连续且∃a,A>0以及α∈(0,2)使得对∀x∈N有:

(ii)f∈C(,), 当s→0时,f(s)s-1→0.

(iii) ∃l∈(0,∞),使得当s→+∞时,f(s)s-1→l,并且对∀s≠0有0≤f(s)s-1≤l.

我们的主要结果如下:

定理1 假设V(x)满足条件(i)，并且条件(ii)～(v)成立,令l>μ*,其中：

则方程(1)在H1(N)中至少有一个非平凡解.

2 预备知识

令E={u∈H1(N,u|2+V(x)u2+u2)dx<+∞},它的内积为:

u,vuv+V(x)uv+uv)dx,

为了证明定理1,我们将用到文[10]中提出的山路定理.

引理1 设E为Banach空间,E*是其相应的对偶空间,I∈C1(E,)且满足:

I{zn}→c≥β并且(1+‖zn‖)‖I′(zn)‖E*→0,

(2)

满足式(2)的序列称为Cerami序列(简称(C)c序列).

引理2 假设函数f(t)满足条件(ii)和(iii),则有:

(a) ∃ρ,β>0,使得当‖u‖=ρ时,对∀u∈E,有I(u)≥β>0.

(b) ∃v∈E,使得当‖v‖≥ρ,l>μ*时,有I(v)<0.

证明 (a) 由条件(ii)和(iii)可知,对∀ε>0,存在一个常数Cε>0,使得对∀t∈有:

|F(t)|≤ε|t|2+Cε|t|p,

(3)

其中p∈(2,2*),则由式(3)和Sobolev不等式可知,对∀u∈E有:

由此可知当t→∞时有I(tφ)→-∞,从而问题(b)得证.

3 定理1的证明

引理3 假设条件(i)～(v)成立,则泛函I的任何(C)c序列{un}在E中有界.

即

(4)

下证w不恒等于0. 反证法. 若w≡0,由条件(iii)、(v)可得,存在充分大的R>0以及η∈(0,1)使得:

(5)

(6)

则由式(4)～(6)可知1≤η+o(1),矛盾. 因此w不恒等于0.

矛盾. 因此{un}在E中有界.

定理1的证明 由引理1及引理2知,存在序列{un}∈E满足:

I(un)→c≥β>0,
(1+‖un‖)I′(un)→0,

由引理3可知,{un}在E上有界,从而存在{un}的子列,不妨仍记为本身,使得当n→∞时,un⇀u在E中. 下证当n→∞时,‖un-u‖→0. 因为:

(7)

(8)

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[10] Zhou H S. An application of a Mountain Pass theorem[J]. Acta Math Scie,2002,18(1):27-36.

Existence of Nontrivial Solutions to a Schrödinger
Equation with Asymptotically Linear Terms

Peng Chaoquan,Wei Pan

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities,Wuhan 430074,China)

In this paper, we study thd following Schrödinger equation -Δu+V(x)u+u=f(u),x∈N,whereN≥3,f(u) is asymptotically linear. Equations of this form arise in various branches of mathematical physics and in some problems in biology as well. By using the Mountain Pass theorem and under certain conditions,we prove that the equation possess at infinity a nontrivial solution foruinH1(N).

asymptotically linear;nontrivial solution;Mountain Pass theorem

2015-10-13

彭超权(1979-),男,副教授,博士,研究方向：偏微分方程，E-mail：pcq1979@163.com

国家自然科学基金资助项目(61374085);中南民族大学研究生创新基金资助项目(2015sycxjj126)

O175.25

A

1672-4321(2015)04-0129-03