一类带投资和干扰的双到达过程风险模型

李学锋

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

一类带投资和干扰的双到达过程风险模型

李学锋

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

研究了一类带投资和干扰的双到达过程风险模型，其中保费收取为时间t的线性函数而两种索赔均为复合Poisson过程，并考虑到投资和随机干扰.利用鞅分析得到了该模型下的破产概率的Lundberg不等式及其精确表达式，利用微分和It公式得到了生存概率的积分微分方程，而且得出了当索赔都服从指数分布时生存概率的微分方程.本文所得结果对保险公司和保险监管部门设置预警措施可提供一定的理论依据.

Poisson过程；破产概率；鞅；Lundberg不等式；It公式

自从1930年Cramer提出经典风险模型后，风险理论便逐渐形成并发展起来，主要研究保险事务中各种随机风险模型的破产概率或生存概率.破产概率或生存概率也是衡量保险公司稳定性的重要指标，是管理风险的重要工具.破产概率高意味着保险公司经营不够稳定，这时保险公司需要采取合理的措施提高其承担风险的能力，确保保险公司能够长期稳定地发展下去.因此，为了更加符合保险公司的实际需要，许多学者从不同的角度对经典风险模型进行了推广和改进，并用各种不同的方法计算或估算出破产概率或生存概率.文献[1-3]考虑利率因素，对经典风险模型进行了推广；文献[4,5]将鞅理论用于破产概率的研究，促进了破产理论的快速发展；文献[6]中，Dufresne和Gerber研究了带干扰的复合Poisson过程的风险模型；文献[7-9]研究了索赔相关过程的风险模型；文献[10]研究了带投资的风险模型.

本文在上述工作的基础上，考虑了带投资和有随机干扰的情形，建立了一种保险可能引起两种索赔的风险模型.比如机动车保险，发生事故后的保险赔付可能有财产赔付(包括机动车和其它受损财产)，还可能有人身伤害的赔付(包括受伤医疗费和死亡赔付).利用鞅分析得到了该模型的破产概率所满足的Lundberg不等式及最终破产概率的精确表达式，并利用微分和It公式得到了生存概率的积分微分方程.

1 模型的定义

定义1 设(Ω,F,P)是完备的概率空间(本文所有的随机变量都定义在此空间)，则对于u≥0,t≥0，保险公司在t时刻的盈余为：

(1)

其中u≥0为保险公司的初始准备金；a∈[0,1]为保险公司根据初始准备金及预测单位时间内赔款额而设定的投资比例；j为单位时间内的投资收益；c为保险公司单位时间内收到的保险费；{M(t),t≥0}与{N(t),t≥0}分别为两种索赔A和B的到达过程，即分别是保险公司在[0,t]内两种索赔A和B发生的次数；Xk为索赔A的第k次索赔额；Yk为索赔B的第k次索赔额；{W(t),t≥0}为标准Wiener过程，表示保险公司不确定性收益和付款，σ>0为扰动系数.

对上述模型做如下假设：

(1) {M(t),t≥0}与{N(t),t≥0}分别是参数为λ1,λ2的Poisson过程；

(2) {Xk,k=1,2,…}，{Yk,k=1,2,…}都为相互独立的随机变量序列，分布函数分别为F(x)和G(y),并假设它们的一、二阶矩都存在,且E[Xk]=μ1,E[Yk]=μ2；

(3) {Xk,k=1,2,…}，{Yk,k=1,2,…}, {M(t),t≥0},{N(t),t≥0},{W(t),t≥0}相互独立.

(b-λ1μ1-λ2μ2)t>0，

定义2 保险公司的破产时刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}，最终破产概率为：

φ(u)=P{T<∞|U(0)=u},

则生存概率Ψ(u)=1-φ(u).

定义3 根据模型的假设，随机变量Xk与Yk的矩母函数为：

(2)

显然当r→∞时，有mi(r)→∞，i=1,2.

2 相关引理

证明 (i)根据强大数定律知：

引理2 对于盈余过程{S(t),t≥0}，存在函数g(r)，使得：

E[e-rS(t)]=etg(r).

(3)

证明 E[e-rS(t)]=

引理3 方程g(r)=0存在唯一正解R.

g′(0+)=λ1μ1+λ2μ2-b<0,

所以当r>0时g(r)是凸函数，又g(0)=0，且显然有当r→+∞时，g(r)→+∞，因此，g(r)=0存在唯一正解，记为R.此时称g(r)=0为调节方程，称R为调节系数.

(4)

引理5 破产时刻T是FS停时[12].

3 主要结果

定理1 风险模型(1)的最终破产概率φ(u)满足Lundberg不等式：

φ(u)≤e-r0u，

证明 由引理5知T是FS停时，取t0<∞，则易知T∧t0是FS停时，利用有界停时定理知：

e-ru=Mu(0)=E[Mu(T∧t0)]=

E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)+E[Mu(T∧t0)|T>t0]P(T>t0)≥E[Mu(T∧t0)|T≤t0]P(T≤t0)=E[Mu(T)|T≤t0]P(T≤t0).

(5)

又当T<∞时，有u+S(T)≤0，所以e-r[u+S(T)]≥1，故：

定理2 风险模型(1)的最终破产概率为：

(6)

其中R为调节系数.

证明 根据(5)式，取r=R,得：

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]P(T≤t0)+

E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0),

(7)

以I(A)表示集合A的示性函数，则：

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P(T>t0)=

E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}],

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，且根据强大数定律可知，当t0→∞,U(t0)→∞,a.s..

由控制收敛定理可知：

于是在(7)式两端令t0→∞即得(6)式.

定理3 假设生存概率ψ(u)二次连续可微，则对任意u≥0，ψ(u)满足积分微分方程：

(8)

且满足边界条件：

(9)

证明 令：

H(t)=u+bt+σW(t),

(10)

在充分小的时间段(0,t]内，考虑(1)式所定义的风险过程U(t)，由于M(t)和N(t)都是Poisson过程，则在(0,t]内有以下4种可能：

(i) M(t)和N(t)都没有跳跃，其发生的概率为(1-λ1t)(1-λ2t)+o(t)；

(ii) M(t)有一个跳跃且N(t)没有跳跃，其发生的概率为λ1t(1-λ2t)+o(t)；

(iii) M(t)没有跳跃且N(t)有一个跳跃，其发生的概率为(1-λ1t)λ2t+o(t)；

(iv) 除上述外其他情况发生的概率为o(t)或0.

并注意到在(ii)和(iii)中，当x>H(t)或y>H(t)时有：

ψ(H(t)-x)=0或ψ(H(t)-y)=0，

又由全概率公式有：

ψ(u)=(1-λ1t)(1-λ2t)E[ψ(H(t))]+

等价地，有：

(λ1+λ2)tE[ψ(H(t))]=E[ψ(H(t))]-

(11)

由(10)式有：

dH(t)=bdt+σdW(t)，

σψ′(H(t))dW(t),

即ψ(H(t))=

所以：

E[ψ(H(t))]=ψ(u)+

(12)

(11)式两边同时除以t，令t→0，同时利用(12)式得：

故(8)式成立.

在(8)式中令u→0，并由引理1即得(9)式.

推论 若F(x)和G(y)分别是参数为μ1与μ2的指数分布，生存概率ψ(u)二次连续可微，则对任意u≥0，ψ(u)满足微分方程：

(λ1μ2+λ2μ1-bμ1μ2)ψ′(u)=

(13)

边界条件同(9)式.

证明 由F(x)和G(y)分别是参数为μ1与μ2的指数分布知(8)式可化为：

令x1=u-x,y1=u-y，有：

(14)

(λ1μ1+λ2μ2)ψ′(u),

(15)

由(14)、(15)式即得(13)式.

4 结束语

本文提出的一类带投资和干扰的双到达过程风险模型具有很强的实际意义，非常接近保险公司所经营的一些业务，所得到的结果对保险公司的自身设置预警措施提供了一定的理论指导意义，具有应用价值，同时也能为保险监管部门设置相应的监管指标系统提供理论依据.从最终破产概率可以看出，为确保保险公司的稳定经营，一方面，保险公司必须具备足够的初始准备金；另一方面，公司也不能一味为了提高市场份额而盲目降低保费或高额承保.因此，保险公司为减小风险，提高承担风险的能力，必须在获得尽可能多的保单的同时，做好统计调查，以便厘定合理的保费与索赔额；同时，保险公司还需要考虑一些收益比较稳定的投资项目，而且不能忽视一些随机干扰对公司稳定经营的影响，往往这些因素也直接关系到保险公司的生死存亡.当然，保险公司的实际经营运作情况可能更加复杂(例如公司的广告宣传、员工工资、房租、设备等等都需要公司进行支付)，现有的风险模型(包括本文所建模型)都还有待进一步改进，而本文的思路、计算方法为以后的研究提供了有益的参考.

[1] Cai J. Discrete time risk models under rates of interest[J]. Probability in the Engineering and Information Sciences, 2002, 16:309-324.

[2] Cai J, Dickson D. Ruin probabilities with a Markov chain interest model[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2004, 35:513-525.

[3] Cai J. Ruin probabilities with dependent rates of interest[J]. Appl Prob,2002,39:312-323.

[4] Gerber H U. Martingale in risk theory[J]. Mitt Ver Schweiz Vers Math,1973,73:205-216.

[5] Cai J, Dickson D C M. Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the sparre Andersen model with interest[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 32:61-71.

[6] Dufresne F, Gerber H U. Risk theory for the compound Poisson process that is perturbed by diffusion[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1991, 10:51-59.

[7] Partrat C. Compound model for two dependent kinds of claim[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 1994,15:219-231.

[8] Luo J H, Fang S Z. The risk model about that claims are thinning process[J]. Guangxi Science,2004,11(4):306-308.

[9] 李学锋，杨薇娜. 一类带双稀疏过程的双险种风险模型[J]. 中南民族大学学报：自然科学版，2013,32(4): 111-114.

[10] Paulsen J. Sharp conditions for certain ruin in a risk process with stochastic return on investments[J]. Stochastic Process Appl, 1998,75:135-148.

[11] 张 波. 应用随机过程[M]. 3版. 北京：中国人民大学出版社，2014:186.

[12] Grandell J. Aspects of risk theory[M]. New York: Springer-Verlag,1991:1-32.

A Kind of Double Arrival Process Risk Model
with Investment and Disturbance

Li Xuefeng

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, we considered a kind of double arrival process risk model with investment and disturbance. In the model, the premium income is a linear function of timetand the two arrivals of the claims follow compound Poisson processes. Moreover, we took investment and random disturbance into account. Using martingale analysis, we obtained the Lundberg inequality and the accurate expression of ruin probability. Using differential calculus andItformula, we obtained the integro-differential equation for survival probability. When the claims were exponentially distributed, we derived a differential equation for the survival probability. The results of this paper provide some theoretical guidance and have application values for the insurance companies and insurance regulatory authorities to set up early warning measures.

Poisson process；ruin probability；martingale；Lundberg inequality；Itformula

2015-08-11

李学锋(1979-)，女，讲师，硕士，研究方向：金融数学，E-mail: lxf@mail.scuec.edu.cn

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(CZQ14022)

O211；F840

A

1672-4321(2015)04-0132-04