时滞离散马氏跳跃线性系统的部分Lévy镇定

胡军浩，兰 菁，韦茜妤

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

时滞离散马氏跳跃线性系统的部分Lévy镇定

胡军浩，兰 菁，韦茜妤

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074)

研究了时滞离散马氏跳跃线性系统的部分Lévy镇定问题. 通过对马尔科夫链的分类，将时滞离散马氏跳跃线性系统分为可观测和不可观测两个部分，利用随机分析工具和线性矩阵不等式设计了可观测部分的镇定控制器，使得系统被Lévy噪音镇定. 再运用Shur引理，对定理进行了推广，并通过实例阐明了定理构造的控制器有效.

Lévy噪音;部分镇定;马尔可夫切换;线性矩阵不等式; Shur引理

Markov链驱动的系统是用来描述许多具有结构和系数突变特点的实用系统，其中包含连续取值和离散取值. 混杂系统是自动控制的重要课题，随之而来的重点就是稳定性分析.文献[1]研究了变时滞控制器镇定离散混杂线性系统，文献[2]讨论了混杂微分方程的随机稳定性，文献[3]研究了连续混杂线性二次控制，文献[4]讨论了离散混杂线性系统的稳定性和控制.

众所周知，一个不稳定的确定性系统可以被噪声镇定，对于此方面的课题，利用不同的噪音来镇定系统有一系列的研究，文献[5,6]利用多维Brown运动作为噪声源，确立了一般的随机镇定结论，解决了这个问题.文献[7]研究了基于Lévy噪音的随机微分方程的渐近稳定性质，提供由Lévy噪音作为噪声源镇定系统的可能性.

与此同时，另一个问题也经常出现在现实的动力系统中，一个系统包含两个部分，一部分是可观测的，一部分是不可观测的，由此产生了能否仅控制可观测部分来实现镇定整个系统，文献[8]利用Brown运动作为噪声源镇定了混杂系统，将Markov链状态空间分解为两个集合来将系统划分为两部分，一部分为可观测部分，另一部分为不可观测部分.文献[9]引入了这种划分方式，用Lévy噪音对混杂微分方程进行部分镇定.

另一方面，时滞在分析许多物理过程中是非常常见的，文献[10,11]均考虑了时滞，而一个随时间变化的时滞更加贴合实际，其中，文献[11]分析的是变时滞系统. 现有文献中，利用Lévy噪音作为噪声源镇定不稳定系统的成果非常少.本文将Brown运动推广到一般的Lévy过程，并且考虑在离散马氏跳跃线性系统中添加变时滞，利用Lévy噪音通过可观测部分镇定整个系统.

1 问题陈述

考虑如下定义在完备概率空间(Ω,F,P)的线性变时滞离散混杂微分方程的镇定：

Δx(k)=A(r(k))x(k)+B(r(k))x(x-τ(k)).

其中Δx(k)=x(k+1)-x(k),k∈Z+,x(k)∈Rn是系统状态，矩阵A(r(k)),B(r(k))是有合适维度的常数矩阵.τ(k)∈N 是一个变时滞，并且满足τmin≤τ(k)≤τmax且τmin,τmax∈N.

众所周知，根据Markov链转移规律，如果将Markov链r(k)状态看作模式，则该系统将从一个模式切换到另一个模式. 但是，系统中有一些模式是可观测的，另一些是不可观测的. 将Markov链状态空间L分为两个子集L1和L2，且L=L1∪L2. 对于每一个模式，若i∈L1，则是可观测的；若i∈L2，则是不可观测的.

下面考虑由Lévy过程镇定的上述线性变时滞离散混杂微分方程：

Δx(k)=A(r(k))x(k)+B(r(k))x(x-τ(k))+

u(x(k),r(k))Δy(k)，

(1)

u(x(k),i)=(g1ix(k),g2ix(k),…,gmix(k)),

其中gji,j=1,2,…,m,i∈L1是待设计使系统(1)镇定的n×n阶矩阵，且gji=0,j=1,2,…,m,i∈L2，则系统(1)化为：

(2)

给出(y(k),k≥0)的Lévy-It分解：

(3)

(4)

为了使(4)式看起来更为简便，采用如下符号：

任意的i∈L，从而将(4)式表示为：

令Hi=Ai+Ci+Di+Ei则有：

(5)

定义1 用x(k;r0,φ(·))表示系统(5)的轨道，如果对任意的初始条件r0∈L,φ(k)∈Rn,k=-τmax,-τmax+1,…，0,有

我们称系统(5)随机稳定.

2 Lévy噪声镇定

首先，给出本文必要的假设2.

假设2 对任意的x∈Rn，i∈L1，存在常数ej，j=1,2,…，m,使得：

定理1 当(7)式满足假设2，它是随机部分稳定的，如果存在矩阵Pn∈S+,Q∈S+,W∈S+,i∈L1,n∈L, 满足如下LMIs：

(6)

证明 定义 z(k):=Δx(k),

xk:=[xT(k)xT(k-1)…xT(k-τmax)]T,

并且采用如下Lyapunov泛函：

V(xk,r(k),k):=V1(xk,r(k),k)+V2(xk,r(k),k)+V3(xk,r(k),k)+V(xk,r(k),k)+V4(xk,r(k),k)+V5(xk,r(k),k).

其中：

V1(xk,r(k),k)=xT(k)P(r(k))x(k),

利用假设2可以解得：

E(xTHix)=E(xTAix+xTCix+xTDix+xTEix)=

(7)

从而，我们计算：

(8)

(9)

E(V3(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-

V3(xk,r(k),k)=(τmax-τmin)xT(k)Qx(k)-

(10)

因为τmin≤τ(k)≤τmax，所以得到：

(11)

结合(9)～(11)式有：

E(V2(xk+1,r(k+1),k+1)+V3(xk+1,r(k+1),

k+1)|xk,r(k),k)-(V2(xk,r(k),k)+V3(xk,r(k),k))=xT(k)Qx(k)-xT(k-τ(k))Qx(k-

τ(k))+(τmax-τmin)xT(k)Qx(k)+

(12)

(13)

E(V5(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-

(14)

因为:

(15)

综合(7)以及(13)～(15)式有：

E(V4(xk+1,r(k+1),k+1)+V5(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-(V4(xk,r(k),k)+V5(xk,r(k),k))=E[τmaxzT(k)Wz(k)-zT(k)Wz(k)+

E(zT(k)(τmax-1)Wz(k))≤ζT(k)·

(16)

综合(7)，(12)及(16)式有：

E(V(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-

(17)

根据(17)式，对所有的x(k)≠0，有δ>0，所以：

E(V(xk+1,r(k+1),k+1)|xk,r(k),k)-

V(xk,r(k),k)≤-δ‖x(k)‖2<0.

(18)

由(18)式我们得到，对任意的K≥1，有：

所以可以得到：

由定义1，可以得到系统(5)部分镇定. 证毕.

引理1(Schur引理) 考虑实对称矩阵S∈Rn×n，并将S进行分块：

其中S11是r×r阶的，假定S11,S12是非奇异的，则以下3个条件是等价的：

(i) S<0;

定理2 当(5)式满足假设2，它是随机部分稳定的，如果存在矩阵Pn∈S+,Q∈S+,W∈S+,Z∈S+,i∈L1,n∈L，满足如下LMIs：

(19)

证明 运用引理1(iii)，令：S11=

3 实例

4 总结

本文运用Lévy噪音研究时滞离散马氏跳跃线性系统，推广了现有文献的结果(现有文献只用Brown运动镇定时滞系统)，并且引入了对马尔可夫链的划分方法，使得用噪音镇定的系统更加普遍，提高了计算实用性和实际应用价值.

[1] Xiong J L, Lam J. Stabilization of discrete-time Markovian jump linear systems via time-delay controllers[J]. Automatica, 2006,42(5):747-753.

[2] Deng F Q, Luo Q, Mao X R. Stochastic stabilization of hybrid differential equations[J]. Automatica, 2012, 48(9):2321-2328.

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[7] Applebaum D, Siakalli M. Asymptotic stability of stochasitc differential equations driven by Lévy noise[J]. J Appl Probab, 2009,46:1116-1129.

[8] Mao X R, Yin G G, Yuan C G. Stabilization and destabilization of hybrid systems of stochastic differential equations[J]. Automatica, 2007,43(2): 264-273.

[9] 刘德志，周国立. 基于Lévy过程混杂微分方程的随机部分镇定[J].中国科学,2015,45(5):713-722.

[10] Zhao X Y, Deng F Q. Moment stability of nonlinear discrete stochastic systems with time-delays based on H-representation technique[J]. Automatica, 2014,50(2): 530-536.

[11] Liu D Z, Wang W Q, Menaldi J L . Almost sure asymptotic stabilization of differential equations with time-varying delay by Lévy noise[J]. Nonlinear Dyn, 2015,79:163-172.

Partial Lévy Stabilization of Time-Delayed Discrete Markovian Jump Linear Systems

Hu Junhao, Lan Jing,Wei Xiyu

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, the partial Lévy stabilization of time-delayed discrete Markovian jump linear systems was considered. By the classification of markov chain, the time-delayed discrete Markovian jump linear system was divided into two part that one was observable part and the other was objectivity part. By adopting stochastic analysis and linear matrix inequalities (LMIs), the stabilition controller of the observable part was designed to stabilize via Lévy noise. By using Shur lemma, the theorem was extended. In the end, an example was given to illustrate the effectiveness of the designed controller.

Lévy noise; partial stabilization; markovian switching; LMIs; Shur lemma

2015-08-31

胡军浩(1974-)，男，教授，博士，研究方向：随机控制， E-mail:junhaohu74@163.com

国家自然科学基金资助项目(61374085)

O231.1

A

1672-4321(2015)04-0114-05