完全图与完全二部图上的H—Hopf模结构

江妙浩?赵汝菊

摘 要：在完全图，完全二部图，完全r部图上分别定义H-Hopf模结构，并证明它们的H-Hopf模结构，并指出它们分别与一元多项式H-Hopf模，二元多项式H-Hopf模及r元多项式H-Hopf模是同构的。

关键词：H-Hopf模；完全图；完全二部图；完全r部图；多项式H-Hopf模

完全图与完全二部图是图论中较为重要的两类图，Schmitt W R[1][2]在完全图上建立了关联Hopf代数结构，赵燕[3]给出了完全图与完全二部图及完全r部图的Hopf代数结构，并指出它们分别与一元二元及r元多项式代数 Hopf代数同构。

本文在完全图与完全二部图及完全r部图上建立H-Hopf模结构并证明之，并指出它们分别与一元多项式H-Hopf模，二元多项式H-Hopf模及 r元多项式H-Hopf模是同构的。

全文分四部分，第一部分列出我们要用到的一些定义及引理；第二部分在以完全图为基生成的向量空间上建立H-Hopf模结构，定义H-模的结构映射，H-余模结构映射；第三部分在完全二部图为基生成的向量空间上建立H-Hopf模结构，定义H-模的结构映射，H-余模结构映射；第四部分把上述结论推广到完全r部图的H-Hopf模结构。

一、一些定义及引理

在这部分，我们复习一些将要用到的定义及引理。

定义1 ：完全图Hopf代数结构。

代数结构：M（Kn，Km）=Kn·Km=

Kn+m

单位元：空图 K0=1

余代数结构：Δ（Kn）=ΣC Ki×Kn-i

余单位：ε∶K↑к，Kn↑{

反积元：S（Kn）=（-1）nKn

定义2：完全二部图Hopf代数结构。

代数结构：若Kn，m=〈V1，V2，E〉，

Ks，t=〈V'1，V'2，E'〉，则 Kn+s，m+t=〈V1∪V'1，

V2∪V'2，E∪E'〉即M（Kn，m，Ks，t）=

Kn，m·Ks，t=Kn+s，m+t

单位元为空图，记为K0，0=1

余代数结构：Δ（Kn，m）=ΣC C Ki，j×

Kn-i，m-j

余单位：ε（Kn，m）={

反积元：S（Kn，m）=（-1）n+mKn，m

定义3[4]：设G为n阶无向简单图，若G中每一个顶点均与其余的n-1个顶点相连，则G称为n阶无向完全图，简称n阶完全图，记作Kn，约定K0为空图即没有任何边图。

定义4： 设G=〈V，E〉为一个无向图，若V分V1为V2，且V1∪V2=V，

V1∩V2 =φ使得G中每条边的两端都是一个属于V1，另一属于V2，则称G为二部图，记为G=〈V1，V2，E〉，又若G是简单二部图， V1中的每个项点均与V2中的所有顶点都相连，则G称为完全二部图，记为Kn，m，规定零图为二部图。

定义5：设G=〈V，E﹥为一个n阶无向图，若V分成r（r≥2）个互不相交的子集V1，V2…，Vr，使得其中任何一条边的两端都不在同一个Vi（i=1，2，…，r），则称G为r部图，记为G=〈V1，V2，…，Vr，E〉。设G是简单r部图，若对任意的i（i=1，2，…，r）， Vi中任一个顶点均与Vj（i≠j）中的所有顶点都相连，则称G为完全r部图，记为G=Kn ，n …n ，规定零图为r部图。

定义6[5]：一个K-代数是三个数组（A，M，u），其中A是一个K-空间，

M∶A×A↑A和u∶κ↑ A是K-同态，

使下两式成立即M（I×M）=M（M×I），M（u×I）=1或M（I×u）=1

定义7：一个K-余代数是三个数组（C，Δ，ε），其中C是一个K-空间，Δ∶C↑C×C和ε∶C↑κ是K-同态，使下两式成立即（I×Δ）Δ=（Δ×I）Δ ，Δ（ε×I）=1或Δ（I×ε）=1

引理1：设N是一个向量空间，H 是一个代数，φ‥H×N→N是一个K-同态，使得下两式成立即：φ（I×φ）=φ（H×I），φ（μ×I）=1，则（N，φ）是一个左H-模。

引理2：设N是一个向量空间，C是一个余代数，ρ‥N→N×C是一个K-同态，使得下两式成立即：（I×Δ）ρ=（ρ×I）ρ，（I×ε）ρ=1 ，则（N，ρ）是一个右C-余模。

引理3：设（H，M，μ，Δ，ε）是一个Hopf代数，N是一个右H模，φ‥N×H→N是一个K-同态，N是一个右H余模，ρ‥N→N×H是一个K-同态，如果φ‥N×H→N是一个余代数同态或ρ‥N→N×H是一个代数同态或ρ（mh）=Σm0h1×m1h2，则N是一个右H-Hopf模。

二、完全图的H-Hopf模结构

在这部分，我们将在完全图上定义H-Hopf模结构，并指出它与一元多项式的H-Hopf模结构是同构的。

设K是以所有完全图为基的域κ上的向量空间，我们建立如下H-Hopf模结构。

1.完全图的H-模结构

定义：n元完全图Kn与m完全图Km的乘积是将Kn中的n个顶点与Km中的m个顶点分别相连接，构成n+m阶完全图Kn+m，即φ（Kn×Km）=Kn·Km=Kn+m

例如，·· ·▏= K1·K2=K3

▏· ▏= K2·K2=K4

▏· = K2·K3=K5

单位元：空图 K0=1

定理：K在上述定义下构成H-模结构。

证明：显然φ‥N×H→N是一个K-同态。

φ（I×φ）（Kn×Km×Kl）=φ[Kn×φ（Km×Kl）]=φ（Kn×Km·Kl）=Kn·Km+l=Kn+m+l=Kn+m·Kl=（Kn·Km）·Kl=M（Kn×Km）·Kl=φ[M（Kn×Km）×Kl]=φ（M×I）（Kn×Km·Kl）

∴φ（I×φ）=φ（M×I）

φ（μ×I）（k×Kn）=φ[μ（k）×Kn]=φ（k1H×Kn）=kKn=k·Kn

∴φ（μ×I）=1

2.完全图的H-余模结构

定义：ρ对Kn作用，将n元完全图Kn分成所有可能的2个完全图因子的张量积，再求和，即ρ（Kn）=ΣCnKi×Kn-i

例如，ρ（K3）=C31×K3+C3K1×K2+

C3K2×K1+C3K3×K0

用图表示为：ρ（ ）=1× +3·×

▏+3▏×·+ ×1

定理：K在上述定义下构成H-余模结构。

证明：显然ρ ‥N→N×H是一个K-同态。

（I×Δ）ρ（Kn）=ΣCn（I×Δ）（K1×Kn-i）=ΣCnKi×Δ（Kn-i）=ΣCnKi×（Kn-i）1×（Kn-i）2=ρ（Kn）×（Kn-i）2=（ρ×I）（Kn×K（n-i）2）=（ρ×I）ρ（Kn）

∴（I×Δ）ρ=（ρ×I）ρ

（I×ε）ρ（Kn）=（I×ε）（ΣCnKi×

Kn-i）=ΣCnKi×ε（Kn-i）=Kn

∴（I×ε）ρ=1

三、完全二部图的H-Hopf模结构

1.完全二部图H-模结构

定义：若Kn，m=〈V1，V2，E〉，Ks，t=〈V'1，V'2，E'〉 ，则它们的乘积是将V1与V'2中所有点连接，将V2与V'1中的所有点连接，则Kn+s，m+t= 〈V1∪V'1，

V2∪V'2，E∪E'〉，即φ（Kn，m×Ks，t）=Kn，m·Ks，t=Kn+s，m+t

例如， ▏· = K1，1·K1，2=K2，3

单位元：空图，记为K0，0=1

定理：K2在上述定义下构成H-模结构。

证明：显然φ‥A×H→N是一个K-同态。

φ（I×φ）（Kn，m×Ks，t×Kl，h）=

φ[Kn，m×φ（Ks，t×Kl，h）]=φ（Kn，m×Ks，t·

Kl，h）=Kn，m·Ks+l，t+h=Kn+s+l，m+l+h=Kn+s，m+l·

Kl，h=M（Kn，m×Ks，t）·Kl，h=φ[M（Kn，m×

Ks，t）×Kl，h]=φ（M×I）（Kn，m×Ks，t

×Kl，h）

∴φ（I×φ）=φ（M×I）

φ（μ×I）（k×Kn，m）=φ[μ（k）×

Kn，m]=φ（k1H×Kn，m）=kKn，m=k·Kn，m

∴φ（μ×I）=1

2.完全二部图的H-余模结构

定义：ρ对Kn，m作用，将Kn，m分为所有可能的两个完全图因子的张量积，

再求和，即ρ（Kn，m）=ΣΣCnCmKi，j×

Kn-i，m-j

例如，ρ（K1，2）=C1C2K0，0×K1，2+C1C2K0，1×K1，1+C1C2K0，2×K1，0+C1C2K1，0×K0，2+C1C2K1，1×K0，1+C1C2K1，2×K0，0=1×K1，2+2K0，1×K1，1+K0，2×K1，0+K1，0×K0，2+2K1，1×K0，1+K1，2×1

用图表示为：ρ（ ）=·× +2·×

▏+ ×·+·× +2▏×·+ ×1

定理：K2在上述定义下构成右H-余模结构。

证明：显然ρ ‥N→N×H是一个K-同态。

（I×Δ）ρ（Kn，m）=ΣΣCnCm（I×

Δ）（Ki，j×Kn-i，m-j）=ΣΣCnCmKi，j×Δ（Kn-i，m-j）=ΣΣCnCmKi，j×（Kn-i，m-j）1×

（Kn-i，m-j）2=ρ（Kn）×（Kn-i）2=（ρ×I）（Kn×K（n-i）2）=（ρ×I）ρ（Kn，m）

∴（I×Δ）ρ=（ρ×I）ρ

（I×ε）ρ（Kn，m）=（I×ε）（Σ

ΣCnCmKi，j×Kn-i，m-j）=ΣΣCnCmKi，j×ε（Kn-i，m-j）=Kn，m

∴（I×ε）ρ=1

四、完全r部图的H-Hopf模结构

下面我们将完全二部图推扩到完全r部图。

定义：在n阶完全r部图G=Kn ，n …，n中，顶点个数n=Σni，边数m=Σninj，在以{Kn ，n …，n ，n1，n2，…nr≥0}为基的向量空间k上，定义H-Hopf模结构。

φ（Kn …，n ×Km ，…，m ）=Kn …，n ·

Km ，…，m =Kn +m ，…，n +m

ρ（Kn …，n ）=ΣCn Cn …Cn Ki ，i ，…，i ×

Kn -i ，n -i ，…，n -i

ρ（Kn …，n ，Km ，…，m ）=Σ（Kn …，n ）0

（Km ，…，m ）1×（Kn …，n ）1 （Km ，…，m ）2

可以证明Kr是一个H-Hopf模。

r元多项式空间是以{x1 x2 …xr│n1，…，nr≥0}为基的数域κ上向量空间，在这个空间上的H-Hopf模结构如下： x1 x2 …xr ，x1 x2 …xr ∈Kr

φ（x1 x2 …xr ×x1 x2 …xr ）=x1 x2 …xr ·x1 x2 …xr =x1 …xr

ρ（x1 x2 …xr ）= Σ Cn Cn …Cn x1 x2…xr ×x1 x2 …xr

ρ[（x1 x2 …xr ）·（x1 x2 …xr ）]=Σ

（x1 x2 …xr ）0（x1 x2 …xr ）1×（x1 x2 …xr ）1（x1 x2 …xr ）2

结论：完全r部图H-Hopf模Kr与r元多项式H-Hopf模K[x1 x2 …xr ]是同构的。

只要做对应Kr→K[x1，x2，…，xr ]，

Kn ，n …，n → x1 x2 …xr ，结论就可证明。

参考文献：

[1]Schmitt W·R. Incidence Hopf algebras[J]. Journal of Pure and Applied Algebra，1994，96（03）：299—330.

[2]Schmitt W·R. Hopf algebra methods in graph theory[J]. Journal of Pure and Applied Algebra，1995，101（01）：77—90.

[3]赵 燕.完全图与完全二部图上的Hopf代数结构[J].曲阜师范大学学报（自然科学版），2005，33（03）： 25—29.

[4]卢开澄，卢华明. 图论及其应用[M]. 北京：清华大学出版社，1995.

[5]Dascalescu S，Nastasescu C，Raianu S. Hopf algebra：An introduction[M].Boca Raton：CRC Press，2000.

（作者单位：广西师范学院）