数形结合在解题中的应用

广西壮族自治区柳城县实验高级中学数学组 罗 程

数形结合在解题中的应用

广西壮族自治区柳城县实验高级中学数学组 罗 程

数形结合是指将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思想与形象思维结合起来，发挥数形转换及其优势互补与整合的思想。本文就数形结合思想在解析几何、函数、不等式与方程中的应用进行论述。

数形结合 函数 不等式

许多数量关系的抽象概念和解析式若赋予几何意义，往往变得非常直观形象，使一些关系明朗化、简单化。而一些图形的性质又可以赋予数量意义，寻找恰当表示问题的数量关系式，即可使几何问题代数化，以数助教，用代数的方法使问题得以解决。数形结合思想实质上是指将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思想与形象思维结合起来，发挥数与形的转换及其优势互补与整合的思想。

关于数形结合，华罗庚教授评价说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，集合代数流一体，永远联系切莫分离。”

一、数形结合思想在解析几何中的应用

在解析几何中，许多“长度”“数式”都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法可解决某些最值及取值范围问题。另外，解析几何本身就是“以数解形”的良好典范。

数形结合是研究函数最有利的工具，对掌握函数的性质、理解题意、寻找解题思路有很大帮助，特别是研究抽象函数更为方便。

例2，(2007.四川高考)函数f( x) =1 +log2x 与g( x ) =2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是_______。

解析：f( x) =1 +log2x 的图象由y =log2x图象向上平移1个单位得到，g( x) =2-x+1的图象由g( x ) =2-x的图象向上平移1个单位得到，C满足题意。

例3，（2007.辽宁高考）若函数y f( x)的反函数的图象过点(1,5)，则y =f( x)的图象必过点_________。

A.（1，1） B.（1，5） C.（5，1） D.（5，5）

解析：原函数与反函数图象关于直线y =x对称，点(1,5)在反函数图象上，则(5,1)在原函数图象上。

例4，在y=2x，y =logx,y =x2,这三个函数中，当

A.0 B.1 C.2 D.3

图2

a1f2(x) =logax的下方即可。当0 ＜ ＜1时，由图象知显然不成立。

当a＞1时，如图4。要使在(1,2)上,f(x ) = (x -1)2的图象在

解析：画出约束条件所表示的平面区域，如图5所示A部分表示的区域为可行域。作直线l∶ 8x +9y=0，把直线l 向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z =8x +9y取得最大值。解方程组4x+y=5得点M 的坐标为x=,y =。故z的最大值2x+3y=6为。

数无形时少直觉，形少数时难入微，利用数形结合的思想方法，“以形助数”和“以数解形”，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0060