回溯“基点” 展开过程

倪志敏

《数学课程标准》指出：“在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。”这里指出，在数学教学中，教师要给学生提供有效的思维线索，让学生经历知识的产生、发展过程，从而深入理解所学知识，获得更具启示意义的思维灵感。由此，我认为，要发展“四基”教学，必须注重过程与结果的和谐统一。下面，我结合“用字母表示数”一课的教学来谈谈自己粗浅的看法。

“用字母表示数”是“代数学”的一个基本特点。从用数字表示数到用字母表示一定范围内的任意一个数，从用数字算式表示具体的数量关系到用含有字母的式子表示一般的数量关系，反映了人的思维从特殊到一般、从具体到抽象的飞跃。由于提高了学生抽象思维能力的要求，所以从学生的知识层面上来说，本课教学无疑显得格外重要。

一、寻根溯源，探寻字母教学的“基点”

表示数的符号叫做数字，且我们早已习惯用0、1、2……这些阿拉伯数字来表示数。有了这些数字和十进制计数法，就可以表示出任何一个自然数，以及数概念扩展后的其他的数。那我们为什么还要学习用字母表示数呢？仔细阅读教材后，我发现教材以小棒围图形为素材，直接类推出用含有字母的式子表示小棒的根数，但关于用字母表示数的可行性，教材中没有一字说明。

“一个数学教师究竟应该有什么样的数学功底，对数学知识有什么样的思想认识……什么样的数学教师才能使学生懂得并追求严谨科学的规律或要求呢……要注重对数学的原理、道理、科学方法、智慧思考的发掘，并将这些贯穿于数学教学的始终，使学生从数学中获取尽可能多、尽可能大的思想力量。”于是，我决定寻根溯源。查阅一至三年级教材后，我发现教材在编排上对于这一知识做到了早期蕴伏、逐步渗透。如一年级“求未知数”一课中的7+（ ）=10，二年级“用乘法口诀求商”中的□×8=56，三年级用字母表示长方形和正方形的面积计算公式，四年级上册用字母表示运算律……至此，我心中的疑惑终于得到了解释，原来教材中的这些蕴伏、渗透，除让学生逐步感受到数字外，还可以用某种图形或符号表示参与运算的数。既然字母也是一种符号，为什么不能用字母来表示数呢？基于以上对各册教材的解读，我在教学“用字母表示数”时设计如下。

教学片断1：

（1）回忆用数字表示数。

师（出示）：这表示多少？

师（再出示）：这表示多少？

师（小结）：看来，同学们早就学会了用0、1、2……9这些阿拉伯数字来表示数。

（2）回忆用图形或某种特殊的符号表示数。

师[出示7+（ ）=10、△+△=10]：在一二年级，我们还见过这样的式子，这里的括号中填几？这里的三角形符号中填几？你是怎么知道的？

师（小结）：你们看，图形或某种特殊的符号（括号）也可以表示数。

（3）回忆用字母表示数。

师（出示“算24点”的6、7、A、10）：那你们知道字母可以表示数吗？这里的A表示1。

师（总结）：我们不仅可以用数字、图形或某种特殊的符号来表示数，还可以用字母来表示数。今天这节课，我们就一起来研究用字母表示数。

……

思考：我循着知识的“基点”，从低年级的认数到求括号里的未知数和图形所表示的数再到用扑克牌算24点，揭开了教材中早期蕴伏、逐步渗透的用字母表示数的内容的层层面纱，让学生在熟悉的场景中唤起记忆，明白用数字、图形、符号、字母都可以表示数。

二、抽丝剥茧，展现字母教学的过程

教材中的例1教学用含有字母的式子表示倍数关系，例2教学用含有字母的式子表示相差关系。由此可见，“用字母表示数”一课应当建立在学生已经理解了四则运算意义的基础上进行教学的。但是，还有一些细节始终萦绕在我的心头：第一，a个三角形是教材中出现的，这是一个已知量和未知量的问题，已知的可以用一个具体的数来表示，未知的用什么表示是不是可以由学生“创造”，而不需要书本“代劳”呢？第二，a在这里代表的是什么数，教学中是一带而过，还是引导学生细细品味？第三，例2不仅教学用字母表示数，而且让学生体会用字母表示一个具体的数时，含有字母的式子就有一个确定的值，这里还蕴伏着用字母表示数从概括到具体的认识过程，该如何引导学生探究呢？因此，例题的教学看似简单，实则盘根错节，在实际教学中很容易“眉毛胡子一把抓”，陷入“剪不断，理还乱”的境地。基于以上三个问题的思考，我决定依据“用什么字母表示数”“用字母表示什么样的数”“字母是否能像数一样进行四则运算”三个问题板块进行教学。

教学片断2：

（1）用26个字母表示一个数。

师（出示一个储蓄罐）：老师这儿有一个储蓄罐，里面放了一些1元钱，请你们猜一猜里面放了多少钱？（学生猜测）

师：你们能确定储蓄罐里究竟有多少钱吗？（不能）那我们该怎样表示储蓄罐里的钱数呢？

师：对你们而言，这里面有多少钱根本不知道，不适合用一个具体的数来表示，在这种情况下就需要用到字母来表示。刚才这位同学用字母n来表示，还可以用别的字母来表示吗？（生答略）

师：也就是说，26个英文字母，用哪一个表示都可以。储蓄罐里的钱数，就选用其中的一个字母n来表示。

（2）用一个字母表示任意一个数。

①师：那么，这个n究竟代表多少钱呢？有办法确认吗？

师（把储蓄罐里的钱倒出来，数出一共有5元钱）：此时此刻，n表示几？我们就说n=5。

②师再往储蓄罐里放进2元钱。

师：此时此刻，n等于几？

③师把储蓄罐里的钱全部倒出来，只放进5角钱。

师：此时此刻，n等于几？0.5还可以写成分数，所以n=。看来，字母可以表示整数、小数、分数等。

（3）用含有字母的式子表示数和数量关系。

①加法。

师（课件出示一个储蓄罐）：这里面有多少钱？老师也想到了用字母（x）表示数。

师（课件播放往储蓄罐里再放入3元钱）：你看到了什么？

师边说边出示：储蓄罐里原有x元钱，又放入3元钱，现在一共有（ ）元钱。

师：你能列出一个式子吗？

②减法。

师（课件出示里面有x元钱的储蓄罐，播放动画，掉出2元钱）：你看到了什么？

师边说边出示：储蓄罐里原有x元钱，拿走2元钱，现在还剩（ ）元钱。

③乘法。

师边说边出示：2个储蓄罐（分别标明里面有x元）里一共有（ ）元，5个这样的储蓄罐里一共有（ ）元钱。

④除法。

师（课件出示里面有x元钱的储蓄罐）：捐给灾区的4个同学，平均每个同学能分到（ ）元钱。

师（小结）：我们不知道x是多少元钱，但是我们可以让x与这些数进行加、减、乘、除，写出含有字母的式子。所以，含有字母的式子也可以表示数。

……

思考：通过猜储蓄罐里有多少钱，让学生发现未知量用哪一个具体的数表示都不合适，可以用26个字母中的任何一个字母来表示；再把储蓄罐里的钱倒出来数或放入5角钱，向学生揭示字母可以表示整数、分数、小数等，使学生明确了字母可以表示的范围。在第三个问题板块中，仍然以一个不知道多少钱的储蓄罐为“引子”，既延续前两个问题板块的情境，又巧妙地利用低年级图文结合解决问题的形式，让学生感受到字母不仅和数一样可以进行加减乘除运算，而且能组成含有字母的式子，明白含有字母的式子也可以表示数，实现了学生思想上的一次新的飞跃。

三、深入浅出，实现过程和结果的和谐统一

“用字母表示数”这节课的知识难点不易于学生理解：用字母既可以表示数，也可以表示数量关系；用字母表示的数有时是概括的（变量），有时又是具体的（常量）；用字母表示数具有简洁性……所有这些知识难点都蕴含在教材中，但未被一一点明。在教学中，我们只有深入浅出，才能将学生的思维推向一个新的高潮。

教学片断3：

出示： 小明的年龄 小明爸爸的年龄

a a+30

师：从这个字母和含有字母的式子中，你能看出小明和他爸爸年龄之间的关系吗？（生答略）

师（小结）：小明和他爸爸之间的年龄关系，可以从这个字母和含有字母的式子中能清楚地看出。

师：当a=1时，是什么意思？那么，这时小明的爸爸多少岁？你是怎样算的？当a=4时呢？当a=10时呢？那么，a还可以等于多少岁？那时小明的爸爸多少岁？（学生举例略）

师（强调）：在这里，a一般表示100以内的自然数，当然也有特殊情况。

师：10与a都表示小明的年龄，那10与a又有什么不同呢？（生讨论交流）

师（小结）：10只表示小明的一个年龄，a可以表示小明所有可能的年龄。可见，用字母表示是多么的简洁！同样，10+30表示什么呢？a+30呢？

师（总结）：用字母可以表示数，这个数可以是变化中的数。用含有字母的式子也可以表示变化中的数，还能表示数量之间的关系。

……

思考：“讲授数学知识应强调通过逻辑链条以及由浅入深的认知路径，以承前启后的方式将数学新知识揭示给学生，这样才符合学生数学学习的特点，才能发挥数学知识的智慧作用。”首先，通过比较10与a、10+30与a+30之间的不同，我有意识地将学生的思维推向纵深：用一个字母能表示小明所有可能的年龄，用一个含有字母的式子也能表示小明爸爸所有可能的年龄，以“一”代表“所有”，不仅体现了用字母表示数的简洁性，而且能从含有字母的式子中看出数量之间的关系。其次，字母与含有字母的式子在一定程度上和常数一样能互相比较、互相运算，这就是它们之间的联系。这样教学，利于让学生体验到字母表示数的现实性、优越性，辨析常量与变量的区别和联系。

小学生学习数学，一般都是有意义的学习，对于前人积累的数学基础知识必须积极思考，理解每个符号、式子所代表的实际含义，才能真正将所学内化成自己的知识。因此，教师在教学中要尽可能地回溯知识“基点”，展开过程，让学生经历数学知识产生、形成和发展的过程，在丰富教学价值的同时，实现过程与结果的和谐统一。

（责编 杜 华）endprint