画画数数解难题，思维升华展奇迹

刘慧+刘孙渊

教学内容：鸡兔同笼

教学对象：小学二年级学生

教学目标：

知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题，掌握画画数数的解法及其升华——假设法，并能用来解决生活中简单的该类问题。

过程与方法：掌握将画画数数解法抽象升华到假设法的过程，培养初步的抽象逻辑思维能力、符号和数学建模意识，渗透对应思想、优化思想。

情感与价值：获得解决问题的成功体验，提高学习数学的兴趣和自信心；了解有关的数学史，增强民族自豪感；体会“鸡兔同笼”问题的应用价值。

教学重点与难点：将画画数数的解题方法抽象升华为假设法及模型的过程。

教学准备：多媒体课件、白纸等

教学过程：

一、观察提炼，做好铺垫

师：同学们，你们喜欢小鸡和小兔吗？

生：喜欢。

师（放录像）：我们先放一段有小鸡和小兔的录像，同学们观察一下一只鸡和一只兔子各有几个头、几个身子、几条腿，一样多吗？

生1：一只鸡有一个头，一个身子，两条腿；一只兔有一个头，一个身子，四条腿；一只兔比一只鸡多两条腿。

师：很好！可鸡和兔子的腿长在哪里呢？

生1：长在身子上。

师：鸡和兔的身子都像什么图形？

生1：扁圆形。

师：同学们观察得很仔细。鸡和兔的身子有相似性，都接近于扁圆（椭圆）形，也就是这种 形状。

【评析：引导学生对鸡兔的头、身子、腿的数量及对应关系进行观察，提炼出身子的形状，为后面画身子、画腿做了铺垫。这有别于大多数教学设计“用圆或椭圆表示头，在头上画腿”的不合情理的教学设计。】

二、创设情境，导入新课

师（课件展示）：一天傍晚，小明去王阿姨家串门，发现阿姨把养的鸡和兔关进了一个笼子里。他就问：“为啥关在一个笼子里？”阿姨说：“家里只有这一个笼子，晚上把它们关在一个笼子里睡觉好管理。”小明又问：“您养了多少只鸡，多少只兔？”阿姨说：“笼子里的鸡和兔共有8个头，20条腿，你就自己算算吧。”“啊！这也需要数学？”

师：是啊！生活中到处都要用到数学。为了方便，我们先结合这个问题产生的背景给它起个名字，然后帮帮小明吧。

生2：叫“笼子里的鸡兔问题”。

生3：名字太长，也没说明是同一个笼子。叫“鸡兔同笼”吧。

师：同学们真善于动脑筋。我国古代的劳动人民早就给它起了“鸡兔同笼”问题这个名字，既简短，又能反映其产生的背景。这节课，我们就来探讨这个问题。（板书课题：鸡兔同笼问题）

【评析：教者从创设生活情景入手，既体现了数学与生活的密切联系，又使问题的引出水到渠成。】

三、诱导启发，主动探索

师：同学们都喜欢画画，看看能不能用画画数数的办法来解决这个问题呢？当然，没有必要像美术课那样去画，只要简单地画出来，能体现题目中鸡和兔子的有关数量关系就行。可不知道各有几只，画多少个鸡头、兔头好呢？头的差异又比较大，难画，画错了改的时候也麻烦。怎么画好呢？

生4：一个头对应一个身子，身子都是扁圆形，先画身子，再画腿，确定了鸡和兔后再画头。

师：同学们真善于动脑筋。那就用 表示身子，用一道竖杠“|”表示一条腿试试吧。少画了补上好办，多画了擦掉麻烦，不多画当然最好。

（教师巡视，以便选择不同画法的学生回答）

师：我看到同学们都画完了，也都画对了，而且画法好多啊！有的先全画成鸡；有的先全画成兔；有的先画2只鸡，再画6只兔；有的先画5只鸡，再画3只兔；有的先画4只鸡，再画4只兔；有的按一只鸡一只兔的顺序画；有的按两只鸡两只兔的顺序画；等等。结果都是——

生（齐答）：6只鸡，2只兔。

师：由于时间关系，老师下面请三位同学把画的过程说出来。

生5：我先画了8个身子，再在身子下画腿。考虑到多画了还得擦掉，就把它们当鸡来画，在每个身子下画2条腿，数一数画了16条腿，比实际的20条腿少4条腿，需添上4条腿。一只兔比一只鸡多两条腿，画的每只鸡上添2条腿就改成兔，4条腿添到了两只鸡上，所以兔有2只，鸡有6只。

师：这个同学很善于动脑，思路很清晰，表述得也很好。

生6：我也先画了8个身子，再在身子下画腿。我估计鸡应该多，就先在5个身子下画2条腿当鸡，在3个身子下画4条腿当兔，数一数画了22条腿，比20条腿多2条腿，就把画4条腿的一个身子擦掉了2条腿改成鸡，所以兔2只，鸡6只。

师：这个同学首先进行了估计，思路也很清晰，值得我们学习。

生7：我也先画了8个身子，再在身子下画腿。我喜欢兔，就先在每个身子下画4条腿当兔，数一数画了32条腿，比20条腿多12条腿，就每个擦去2条腿改成鸡，擦到第6个时就一共擦去了12条腿，所以6只鸡，2只兔。可惜我喜欢的兔太少了。

师：这个同学从喜欢的角度出发开始画，思路也很清晰，表述也很好。老师也给出了多种画法，就包含这三位同学的画法。同学们比较一下这三种画法，哪种最简单呢？（展示课件，让学生浏览）

生8：第一种画法简单，没多画腿，省了擦的工夫。

师：以后我们解题时，既要善于探讨不同的方法，又要比较哪个方法更好，争取掌握最好的方法。

【评析：不同画法的展示及优劣比较，既培养了学生的发散思维能力，又渗透了数学优化思想。尤其是让学生把画的过程用语言表述出来，实际上是解决问题思维过程的展现，有利于学生思维的清晰化、条理化、系统化，以及方法的内化和语言表达能力的培养。】

四、抽象提炼，思维升华

师：既然大家都认为第一种画法简单，我们一起把这种画画数数的过程边说边用算式来表示一下。endprint

师（课件展示过程）：把8个身子当鸡来画，在每个身子下画2条腿，数一数画了16条腿，可以列成——

生9：2×8=16（条）腿。

师：比实际的20条腿少4条腿，可以列成——

生10：20-16=4（条）腿。

师：一只兔比一只鸡多两条腿，可以列成——

生11：4-2=2（条）腿。

师：画的每只鸡上添2条腿就改成兔，4条腿添到了2只鸡上，所以兔有2只，鸡有6只。可以列成——

生12：4÷2=2（只）兔，8-2=6（只）鸡。

师：同学们真棒！写出画的过程太麻烦，我们把能用式子表示的语言替换下来，写成下面的解法。

解：全当做鸡，有2×8=16（条）腿，比实际少20-16=4（条）腿。一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，兔有4÷2=2（只），鸡有8-2=6（只）。

答：有6只鸡，2只兔。

师：同学们看，简单吧？

生：简单。

师：以后我们再解这类问题就没有必要真的去画，只要在自己大脑里展现画的过程，边说边写就行了。

【评析：首先，教者不厌其烦地引导学生从画法中提炼、抽象算式的做法有着重要的意义。这种把汉语语言转化为数学语言过程的展现，有利于学生掌握转化的方法，为升入高年级解数学应用题奠定了基础。因为，解应用题的实质就是实现这两种语言的转化。同时，也有利于学生的认知由具体运算阶段向形式运算阶段过渡，由具体形象思维向抽象逻辑思维发展。

其次，教者在画画数数方法的基础上进行提炼、升华，呈现出了用假设法解决鸡兔同笼问题的解题过程。这一浑然天成的处理方式，既抓住了两种方法之间的联系，又展现了假设法的实质就是画画数数解决问题的这一学前儿童都能掌握的方法，实现了两种方法的统一，有利于学生掌握。另外，假设法出而不点的处理方法还是很有新意的，既避免了不同方法的罗列，又避免了学生产生新的疑惑。】

师：同学们能仿照着老师写解法的过程，把第二和第三种画画数数的过程，边说边写吗？（课件展示画法及画图过程）

（教师巡视指导，让两个学生板演）

生13：写第二种。

解：5只当做鸡，3只当做兔，共有2×5+4×3=22（条）腿，比实际多22-20=2（条）腿。一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，所以多了2÷2=1（只）兔，兔有3-1=2（只），鸡有8-2=6（只）。

答：有6只鸡，2只兔。

生14：写第三种。

解：全当做兔，有4×8=32（条）腿，比实际多32-20=12（条）腿。一只兔比一只鸡多4-2=2（条）腿，鸡有12÷2=6（只），兔有8-6=2（只）。

答：有6只鸡，2只兔。

师：同学们都写得很好（课件展示这两个解法）。大家都掌握这个问题的解法了吗？

生（齐声答）：掌握了。

【评析：教者首先示范，再让学生去抽象、提炼解法，既发挥了低年级学生模仿性强的优势，又可促进学生抽象逻辑思维的发展。尤其是三种不同假设法的展现，打破了大多数书籍、教学论文中只假设全是鸡或全是兔的做法。事实上，若鸡和兔共有n个头，可以假设有m（0≤m≤n）只鸡（兔）来解答。】

五、巩固拓展，建立模型

师：前面说过，我国古代的劳动人民早就提出了鸡兔同笼问题。大约在1500年前，数学著作《孙子算经》中就有一个这样的问题。（课件展示）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

师：雉就是鸡，足就是脚，几何是指多少。用现代话来说是“现在有若干只鸡和兔在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问鸡兔各有几只？”

师：同学们帮古人解决这个问题好吗？要边在大脑里画，边说边写解法。

（学生独立练习，小组交流自己的解法）

师：《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题还漂洋过海传到了世界上很多国家，如日本、俄罗斯等。人们又仿照它编出了“龟鹤问题”、“人狗问题”等，这说明了它具有重要的价值。其实，“鸡兔同笼”问题不是一个题，而是一类问题，画画数数的解题过程可作为一个模型用来解决很多类似的问题。

师（课件展示）：这个问题就属于“鸡兔同笼”类问题。老师买了两种不同的圆珠笔共16支，一种每支3元，另一种每支5元，共花了62元。问两种圆珠笔各买了多少支？

生15：这里没有鸡和兔啊？

师：不要紧啊，我们可以把每支3元的圆珠笔当成“1个头，3条腿”的“怪鸡”，把每支5元的圆珠笔当成“1个头，5条腿”的“怪兔”。这样，16支变成了什么？62元变成了什么？

生16：16支变成了16个头，62元变成了62条腿。真有意思！

师：那就在大脑里想象画画数数的过程，边说边写，把解法写出来吧。可要灵活啊！

生17：全当做是3元的圆珠笔共花3×16=48（元），比实际少62-48=14（元）。1支5元的圆珠笔比1支3元的圆珠笔多花5-3=2（元），所以5元的圆珠笔有14÷2=7（支），3元的圆珠笔有16-7=9（支）。3元的圆珠笔有9支，5元的圆珠笔有7支。

师：大部分同学解的都很好，只是个别同学把圆珠笔真的写成了“怪鸡”、“怪兔”。我们说可以当做 “怪鸡”与“怪兔”，但不要机械地往上套啊！

【评析：教者通过对有关史料的介绍，在传承我国古代数学文化的同时，也使学生体会到我国文化的博大精深，有利于学生民族自豪感的培养。另外，让学生感受问题的变式，使其解法成为解决这类问题的模型，既渗透了建模思想，又有利于学生的灵活应用。】

六、课堂小结

师：今天我们学习了什么内容？你有什么收获？

生18：学习了“鸡兔同笼”问题，会解这类问题了。

师：这类问题难不难？

生：不难。

师：这可是五六年级的哥哥姐姐们才学的呀！

生：啊！

师：这说明只要我们勤动手、勤动脑，数学一点都不难。也说明同学们真棒（伸大拇指）！最后请同学们在大脑里再画一遍，嘴里默默地把过程再说一遍好吗？

生：好！

【评析：通过回顾总结，让学生对知识进行梳理，再次巩固和内化了解“鸡兔同笼”问题的数学模型。最后揭示该问题是五六年级所学知识，使学生树立了信心，培养了学生的自豪感。】

七、课后作业（略）

总评：“鸡兔同笼”问题是我国广为流传的有名的古算题。由于解决这个问题的思维含量高，人们常常拿它来考察一个人的智力状况，也成了小学高年级奥数的经典题型，现已进入小学五六年级的数学教材。因此，让二年级的学生掌握这类问题的解法，是一具有挑战性的教学任务。当我的学生刘慧进行课外实践，提出想给二年级学生讲这堂课时，我为她捏了一把汗。没想到的是，她的教学设计取得了很好的教学效果，不仅深受学生欢迎，还得到了任课教师的好评。总之，这是一堂出色的课，除了穿插的评析外，再指出以下几点。

1.符合学生的认知和思维发展水平是本节课成功的关键

教学从画画数数入手，抽象与提炼解法时要求学生脑子里想象画法、边说边写，以及解法用语言与式子混合写出，没有只用算术表达式（含综合算式）等，均符合二年级学生的认知发展与思维发展水平。

2.引导到位，放收合理

本节课教师的引导与学生的自主探究结合得比较好，教师始终有效地掌控教学，没有大撒把，避免了自主探究流于热热闹闹的形式。

3.语言简练，亲和力强，不乏幽默感

语言表达通俗易懂，犹如日常交流谈话，具有亲和力但又不多余，拉近了师生之间的距离，易被学生接受；没有华丽的语言，但像怪鸡、怪兔等语言的出现又不乏幽默感，有利于活跃课堂气氛。

（责编 金 铃）endprint